Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 5

1760. РР. И. Гвааамак, В Д. Крквчаккав задачи произведение водородных функций с эффективным зарядом Я'. Релятивистскими поправками пренебречь. 14. Волновую функцию атома гелия с достаточной степенью приближения можно положить равной следующему выражению: уев я сч нъ) 271 ф= — е а 127 =- — ~ (см. задачу 13 2 7). яаз ( - -- .~ Показать, что электростатический потенциал, создаваемый атомом, равен ал'г э(г) =-2е( — + — ) е 15.

Воспользовавшись приближенной волновой функцией основного состояния атома гелия (см. задачу 13 2 7), вычислить диамагнитцую восприимчивость гелия. 16. Определить при помощи вариационного метода энергию основного состояния атома лития с учетом обмена. В качестве собственных волновых функций электронов взять зодоролные функции для электрона в состоянии 1з в виде ф,ее =- 2/,'е-л", для электрона в состоянии 2а "б — л,к в виде я 9 ф, =с,та'е а (1 — 7Л г); ° ча а 2, и 7а з этих выражениях являются вариационными параметрами, с определяется из условия нормировки волновой фУнкции фасо, а 7 из УсловиЯ оРтогональности фУнкций ф„зе, Если бы мы при решении задачи применяли обычную теорию возмущений, то положили бы У, = Ла =- 3.

Вволя вариационные параметры Л, и Уа, мы тем самым учитываем экранирующее действие электронов. 17. Определить смещение энергетических уровней атома вследствие движения ядра. Вычислить величину смешения в атоме гелия для триплетного и синглетного состояний 1 апр, воспользовавшись собственными функциями в форме водороднополобных функций отдельных электронов с эффективным зарядом. э 7) АТОМ 18. Потенциальная энергия Сl(х, у, я) является однородной функцией координат с показателем однородности « Е/(Лх, Лу, Ля) =- Л"С/(х„у, г). Доказать, что среднее значение кинетической энергии в состоянии дискретного спектра связано со средним значением потенциальной энергии следующим соотношением 2Т = «(7 (теорема вириала).

19. Оценить порядок следуюгцих величин согласно модели Томаса — Ферми: а) среднее расстояние между электроном и ядром; б) средняя энергия кулоновского взаимодействия между двумя электронами в атоме; в) средняя кинетическая энергия электрона; г) энергия, необходимая для полной ионизации атома; д) срелняя скорость электронов в атоме; е) средний момент количества движения электрона; ж) среднее радиальное квантовое число электрона. 20.

Выразить приближенно энергию атома через электронную плотность р (и) согласно модели Томаса — Ферми *). 21. Показать, что уравнение Томаса — Ферми получается как условие минимума полной энергии при вариации плотности р(г). Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. При варьировании тс(р) учесть условие нормировки рдт=7«' (для нейтрального атома К==У). 22. Найти вариациониым метолом наилучшее приближенное выражение для электронной плотности в модели Томаса — Ферми, беря в качестве лопустимых функций функции вида р= — „, х== ~ -, где Л определяется хч из условия нормировки ~ рс)т =- И (для нейтрального атома И=Я), а Л вЂ” параметр, подлежащий варьированию. Определить энергию атома (иона). ч) В задачах М 20 — 25 применяется система единиц е = й = = р.

= 1. задачи Примечание. При выборе вида допустимых функций учтено то обстоятельство, что точное решение в области соп51 малых г имеет особенность вида р гп 23. Доказать справедливость теоремы вириала для модели Томаса в Ферми. 24. На основании теоремы вириала доказать, что в модели Томаса †Фер в нейтральном атоме энергия электро- 1 статического взаимодейстия электронов составляет — от ве- 7 личины взаимодействия электронов с ядром. 25. Вычислить энергию полной ионизации атома (иона) в приближении Томаса — Ферми. 28. Определить смещение энергетических уровней атома, возникающее вследствие конечности размеров ядра. Потенциал внутри ядра (г ( а) считать постоянным (физически это означает, что электрический заряд ядра распределен по поверхности сферы радиуса а).

27. Рассчитать значение ф'(О) для валентного э-электрона в атоме с большим л, используя квазиклассическое приближение. 28. Определить слагаемое напряженности магнитного поля в центре атома водорода, создаваемое орбитальным движением электрона. Вычислить эту величину для состояния 2р. 29, Как изменится выражение для магнитного момента атома водорода в случае учета движения ядраг 30. Определить расстояние между термами сверхтонкой структуры для л-электрона атома водорода.

31. Определить энергию сверхтонкой структуры одно- электронного атома„ орбитальный момент количества движения которого не равен нулю. 32. Диамагнитный атом находится во внешнем магнитном поле. Определить величину напряженности индуцированного магнитного поля в центре атома. 33. Решить предыдущую задачу в случае гелия.

34. Указать возможные значения полного момента у состояний 'Ь', з5, аР, Ч1, ЧЭ. 35. Какие состояния (термы) могут осуществляться для двух электронов а) пал'а, б) лэл'р, в) лап'д, г) при'р. Атом 37 30. Указать возмо>нные термы следующих конфигураций: а) (ир)з, б) (пс()а, в) пз(и'р)А, 37. Определить основные термы следующих элементов: О, С1. Ге, Со, 1>з, Еа. По поводу электронных конфигураций атомов см. Л.

И. Влохинцев «Основы квантовой механики», 1949 г., стр. 503 †5, Указание. Лля определения необходимо воспользоваться эмпирическими установленными правилами. 1. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим значением 3 при данной конфигурации электронов и наибольшим (возможным при этом Я) значением 1. (правило Гунда). 2. Для нормального состояния атома 7=-~1. — 8~, если в не вполне заполненной оболочке находится не более половины максимально возможного для нее числа электронов и .7=- Е+ о, если оболочка заполнена более чем наполовину. 38. Определить четность основных термов элементов К, гп, В, С, Н, О, С1. 39. Система из 1>7 электронов характеризуется И тройками квантовых чисел и, 1, >и>. Определить число состояний, соответствующих данному значению Мз проекции суммарного спина. 40.

Найти число состояний, связанных с конфигурацией п1 . 41. Показать, что если х ~ 21+ 1, то терм с наибольшим значением 5 для конфигурации п1~ будет синглетным 1 с 1. = х1 — — х(х — 2), если х четно, или дублетным с 1. = 4 1 4 =-х1 — — (х — !)а, если х нечетно. 42. Из волновых функций одноэлектронной проблемы построить собственные функции, характеризуемые квантовыми числами Я, 1., Мв.

Мд для конфигурации рз. Указакие. Рассмотреть действие операторов (Š— Й ) и (8„ — Вз) на антисимметричные функции нулевого прибли>кения. 43. Получить собственные функции для каждого из двух термов Ю конфигурации Ф. 44. Два электрона движутся в центрально-симметричном поле. Электростатическое взаимодействие электронов будем ЗАДАЧИ считать возмущением. Найти энергию возмущения первого порядка для терман конфигурации ирл'р. Указание. Сумма корней векового уравнения равна сумме диагональных элементов, входящих в это уравнение. 45.

Показать, что спин-орбитальное возмущение, определяемое формулой $'яг. = АЯ., обладает тем свойством, что среднее возмущение всех состояний терма (терм характеризуется числами Е и 8) равно нулю. 46. Найти расщепление уровней атома в случае слабого ей магнитного паля, когда — К ~( ~ ЬЕзр ~, где ЬЕд — рас2ис стояние между уровнями в мультиплете. 47. Найти пределы изменения множителя Ланде д при заданных значениях Е и 5.

48. Показать, что для термов Юч„, зро ЯО1ь отсутствует линейное по полю расщепление. 49. Определить множитель Ланде для одноэлектронного атома (водород, щелочные металлы) непосредственно при помощи собственных функций Паули (см. задачу 20 6 4). 60. Выразить магнитный момент атома через множитель Ланде. 6$. Определить расщепление герма одноэлектронного ей атома в случае среднего поля — сЯ' ~ЬЕ!у~.

2пс 52. Найти волновые функции электрона, находящегося в условиях, указанных в предыдущей задаче. 53. Определить расщепление уровней атома водорода, наг' ей ходящегося в сильном магнитном поле ~ — оУЕ ) ~ Е„ц — Ещ ' ~ ) ° ~2г с Для применения теории возмущений необходимо потребовать, чтобы энергия атома в магнитном поле была мала по сравнению с разностью энергии различных мультиплетов, т. е. еЬзгя — ( (Евб — Ежи ~. 64.

Определить зееманозское расщепление компонент сверхтонкой структуры герма АК~, ! Г'=.-'/а, (=-О) в случае / ел среднего магнитного поля! — Ж ~МГГ(). (Расщепление, 2ве вызываемое полем одного порядка с интервалами сверхтонкой структуры.) э 7) АТОМ 66. Показать, что при произвольном значении напряженности магнитного поля сумма изменений энергий, вызванных магнитным полем, по всем состояниям с заданным М,г равна еа ~т ) 7(7+ 1) — е 1е+ 1)+6(е+1) ~ 2~лс .ьм' 1 27 (Х+ 1) Здесь суммирование производится по 7, заключенным в пределах Е+ 8 (./ < ! Š— 8~,,7 ь Мз. 66.

Показать, 1то при цомещенни атома водорода в однородное электрическое поле а) энергия состояния с квантовыми числами 1= и†1, и = и†1 в линейном по полю приближении не изменяется; б) не меняется положение центра тяжести расщепленного терма; в) состояния, отличающиеся только знаком проекции момента, имеют одну н ту же энергию. 67. Вычислить расщепление уровней атома водорода в слабом электрическом поле 1эффект Штарка мал по сравнению с тонкой структурой).

68. Найти магнитный момент атома водорода, находящегося в слабом электрическом поле. 69. Вычислить расщепление герма с и= 2 атома водорода. находящегося в среднем (по величине напряженности) электрическом поле 1эффект Штарка и тонкая структура одного порядка). 6). Рассмотрим атом, находящийся под действием возмущающего потенциала и, Применяя теорию возмугценнй, получим для волновой функции ф в первом приближении выражение следующего вида: те+ ~л~и Еа — Ев ~" чге а для энергии (~~)з Е=ЕО+, -+ .т, в=О 1)ля того чтобы в дальнейщем применить вариационный метод, упростим, насколько это возможно, вид ф.

Так как Х 7ь,.= — п Фе+ Хп.ОФ.=ФО(л — и ) чфе в=а ЗАДАЧИ то ф приближенно запишем следующим образом: где Е' можно в некоторых случаях считать равным среднему значению Ез — Е„. После того, как вид возмущенной волновой функции приближенно установлен, мы можем для определения энергии применить вариационный метод. Определить вариационным методом энергию атома, находящегося под действием возмущающего потенциала и. Минимум энергии искать в классе допустимых функций вида ф =фа(!+Ли), где Л вЂ” вариационный параметр.