Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 4

Величина с определяется через х из условия нормировки ~ Язгаг1г=-!. о 11. Определить энергетические уровни и волновые функции частицы. находящейся в сферическом «потенциальном ящике». У(г)=0 (г < а); (/(г)=сэ (г> а). Рассмотреть случай 1 = О. 12. Определить дискретный спектр энергии частицы с моментом 1 = О, находящейся в центрально-симметрической потенциальной яме — (г с. а), 0 (г » а).

13. Применяя теорию возмущения, качественно определить изменение энергетических уровней при переходе от задачи 1 70(г < а) потенциала (/(г)=( 0 (« а) к потенциалу, изображенному на рис. 16. 14. Потенциальная энергия а-частицы в поле ядра состоит из двух частей: кулоновского отталкивания и короткодействующего притяжения поля ядерных сил. Вид потенциаль- Рас. 16. Рис. 17. ной энергии схематически изображен на рис. 17. Непускание а-частиц представляет собой специфически квантовое явление, обусловленное прозрачностью барьера. Рассмотреть прохождение частицы (с моментом 1 = 0) через сферический потенциальный барьер упрошенной формы: (У(г) = 0 (г < г,), (7 (г) = (7 (г, < г < г,), У (г) = 0 (г < г).

Найти соотношение между периодом распада и энергией. $6. 11ВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ НОЛЕ 1. Пусть волновая функция электрона в начальный момент времени имеет вид 1р(х, у, з, 0)=ф(х, у, 0)о(л, О). Тогда в однородном магнитном поле д17, направленном вдоль оси з, волновая функция в момент времени г будет твкже иметь вид пронзведения 1Е(х, у„з, Г) =ф(х, у, Г)Х ф 6) двкжвнйа частицы в магнитном пола 29 Х е (л, г), поскольку в уравнении Шредингера переменная л допускает отделение. Показать, что функции р~ (х, у, Т) принимает с точностью до фазового множителя начальное значение, если Т вЂ” период классического движения частицы в магнитном поле.

2. Показать, что в случае наличии магнитного поля для операторов компонент скорости имеют место следующие правила коммутации: !ей — = — Ю; е в з ~ 1,ас- гед оп — пп = — Ю'; а ° * л пхс сга по — по =- —.ьЖ. пес 3. Основываясь на результатах задач 2 й 6 и 6 й 1, определить энергию заряженной частицы, движущейся в постоянном магнитном поле. 4.

Определить энергетический спектр заряженной частицы, движущейся в однородном электрическом и однородном магнитном полях, направления напряженностей которых взаимно перпендикулярны. 6. Определить волновые функции заряженной частицы при движении во вааимно перпендикулярных однородных магнитном и электрическом полях. 6.

Заряженная частица находится в однородном магнитном поле и в центрально-симметричном поле вида ~У(г)= 2 й = —. Определить энергетический спектр частицы. 2 7. Определить зависящие от времени операторы координат х. у заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле (векторный потенциал Ам = — — — у, Ав — — х, А,=-О). Найти(х — х)' и (у — у)' как функции времени. 6. Определить уровни энергии и волновые функции заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле, Воспользоваться цилиндрической системой координат.

задачи Векторный потенциал взять в форме Ат — — — р, А = Ж т= 2 = А, = Р. и. Найти компоненты плотности тока для заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле для состояния, характеризуемого нвантовыми числами и, и, л, (см.

предыдущую задачу). 1О. Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии заряженной частицы, находящейся в однородном магнитном поле (цилиндрические координаты). 1 1. Определить классически доступную область радиаль- ного движения частицы в магнитном поле (см. предыду- щую задачу). 12. Оценить минимальную «размазанность» орбиты в радиальном направлении для заряженной частицы в маг- нитном поле.

13. Выразить, согласно классической механике, коорди- наты центра окружности, по которой движется заряжен- ная частица в однородном магнитном поле через коор- динаты х, у и обобщенные импульсы р, р„. Рассматривая в этих выражениях координаты и импульсы как операторы, найти перестановочные соотношения для введенных таким образом координат «центра орбиты» и соответствующие соотношения неопределенностей.

Показать, что сумма квад- ратов координат «цеитра орбиты» принимает дискретные 2й« значения (и+'/г), где л=-б, 1, 2„... )е(Ж 14. Показать, что з однородном магнитном поле, пере- менном во времени, волновая функция частицы со спином распадается на произведение координатной и спинозой функций.

15. Частица со спином '/з находится в однородном маг- нитном поле, направленном по оси в, изменяющемся по абсолютной величине по произвольному закону 4Ж'=-4Ю11д В начальный момент времени ~Г =- О) спнновая функция ~е -"соз Р, имела вид ~ . ~. Определить среднее значение проек- 1 е' з1по,l' ции спина на оси х и у, а также на направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение в мо- мент времени Г. 0 б) движение чАстицы в мАгнптном пОле 31 1О. В области х > 0 имеется однородное магнитное поле ОУР =-Ю = — О, ИЮ,==ОЖ; в области х < О поля нет. На плоскость раздела падает из области х < 0 пучок поляризованных нейтронов с импульсом и. Найти коэффициент отражения нейтронов от границы раздела.

1У. Частица со олином '/з находится в однородном магнитном поле, постоянном по абсолютной величине и изменяющемся во времени по закону Я' . ===- г%' сйп 0 соз ыГ, рЯ,'„=-;"~'и а|п 0 яш ЫР, ;.Я7,:=- Я! соз О. В момент времени 1= —.О проекция спина на направление магнитного поля имела значение + '/ж Определить вероятность перехода частицы к моменту времеьи 1 в состояние, в котором проекция спина на направление магнитного поля равна †. 18. Частица, обладающая спином '/я и магнитным моментом р, движется в неоднородном магнитном поле вида аВ = Юе+ йл, ОЮз = — — Ау, ь00'м = —. О 011Т зл =- 0).

а) Найти выражения для зависящих от времени операторов координат х, у, е. б) Определить средние значения координат и зависимость дисперсии координат от времени, если волновая функция частицы а момент времени ~ = О имеет вид 1О. Нейтральная частица находится в прострапственнооднородном магнитном поле. Изменяющемся во времени лишь по направлению.

но не по абсолютной величине. Написать уравнения для спиповой функции в ч1лпредставлении, где ось 1 направлена вдоль магнитного поля, Показать, что в случае достаточно медленного изменения направления магнитного поля вероятности тех или иных значений проекций момента на направление поля не изменяются. задачи $7. АТОМ 1. Используя неравенство ~ ~7ф+Еф7г~вйт>. О, найти минимальную энергию одноэлектронного атома и соответствующую этой энергии волновую функцию. Показать, что для основного состояния атома выполняется соотношение 2Т )~ ~ е [.

2. Электрон в кулоновом поле ядра заряда 2 находится в основном состоянии. Показать, что средний электростатический потенциал в пространстве, создаваемый ядром и электроном, равен 2 — +е( + )е л ~п ) 3. Показать, что в основном состоянии атома водорода: йа а) наивероятное значение г равно а = — , нФ 1 1 б) среднее значение — = —, г и ' 1 2 в) — = — —,.

гз ла 4. Волновая функция ф(г) описывает относительное дви- жение двух частиц: протона н электрона. Пусть коорди- наты центра масс атома водорода точно известны и равны Х=О, г'=О, л =О. Показать, что в этом случае плотность вероятности для протона имеет вид где гл и М вЂ” массы электрона и протона соответственно. б. Найти распределение по импульсам электрона в атоме водорода для состояний 1л, 2а и 2р. 6.

Вычислить ге †' среднее квадратичное отклонение расстояния электрона от ядра для электрона в атоме водорода, находящегося в состоянии с квантовыми числами л,1. 7. Выразить собственную волновую функцию атома водорода в параболических координатах с и, = 1, ла = О, АТОМ Рл = 0 через волновые функции в сферических координатах.

Показать также, что Фк,=е, =о, = -Р(1 тя т)=--Ф,,Р=п-ч„в=в Р(», й, р) 8. Показать непосредственно, что степень вырождения п-го собственного значения энергии атома водорода при решении уравнения Шредингера в параболических координатах равняется пе. 9. Найти поправку к уровням энергии атома водорода за счет релятивистской зависимости массы от скорости (учесть О2Р член порядка †) . с 1О. Из релятивистского уравнения для электрона (уравнения Дирака) следует, что, кроме поправки, учитывающей зависимость массы от скорости ( †), существует еше 22) ' один член в гамильтониане РР2 1 ФР ~2 2=ЯРР222 г Лг где 1 †операт орбитального момента„ а в оператор спина, (.Р(г) — потенциальная энергия электрона (потенциал предпо- лагается центрально-симметричным). Наглядный смысл этого члена заключается в том, что при движении магнитного момен- та р,(связанного со спином электрона) появляется дипольный 1 электрический момент Ы =-.- — (пф, который взаимодействует с с полем ядра.

Найти поправку к уровням энергии атома водорода. учитывающую член Н2 (так называемое взаимо- действие спин-орбита), 11. Показать, что квадрупольный момент атома водо- рода равен 1 у — -~- У й2 Рач =- . - — га ~ гв =- —,(5222+ 1 — 31(1+ 1)~ — 1Р ~. )+1 ! й 1аев 12. Опрелелить суммарную вероятность возбуждения н ионизации атома трития На при РЧ-распаде. Вычислить также вероятности возбуждения и-го уровня. 13. Найти энергию основного состояния двухэлектрон- ной системы в поле ядра с зарядом л вариационным мето- дом. В качестве допустимых волновых функций взять 3 Зак.