Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 3

17. Момент частицы равен г', проекция момента на ось г имеет максимальное значение. Определить вероятности различных значений проекции момента на направление, составляющее угол 0 с осью г. 18. Система, обладающая полным моментом l, находится в состоянии ./,=-М. Определить вероятность того, что при измерении (например, в опыте Штерна †Герла) проекции момента на направление в', составляющее с осью д угол 9, получится значение Л4'. 19. Показать, что если ф есть собственная функция оператора 1„ соответствующая собственному значению и, то функция о'„„ =-е те в е~„~ является собственной функцией оператора .(~=.! ып9созл~+3„з!пйз!по+/„соз9, принадлежащей тому же собственному аначению, т. е. Ьт = лгЪв Указание. Использовать соотношения (см.

задачу 11 Э 3) е ' в l~ в = l,соз 9-+.! зш 9, е ' ~т./„ег т=,l созэ+./„з)пэ, 20. Частица со спином '/з движется в поле центральных сил. Найти волновые функции этой частицы, являющиеся одновременно собственными функциями трех коммутирующих операторов 21. Состояние электрона характеризуется квантовыми числами !. /, лг. Воспользовавшись волновыми функциями, задачи полученными в предыдущей задаче, определить возможные значения проекций орбитального и спинового моментов н соответствующие этим значениям вероятности.

Найти также средние значения проекций. 22. Условимся под направлением спина понимать то направление, вдоль которого проекция спина с достоверностью имеет значение +2/2. Будем это направление характеризовать полярными углами г), Ф. Пусть состояние частицы описывается волновой функцией ф(1, у =1-."'/2, гл) (см.

задачу 20 й 4). Очевидно, что направление спина такой частицы в различных точках пространства будет, вообще говоря, неодинаково. Установить зависимость между углами г), Ф и пространственными координатами частицы. 23. Найти волновые функции системы иа двух частиц со спином '/„которые являются собственными функциями коммутирующих операторов квадрата и проекции на ось г суммарного спина. 24. Система состоит из двух частиц, причем момент первой частицы 1, =-1, а второй !2 =-1.

Полный момент У в этом случае может принимать аначения 1 + 1, ! и ! — !. Выразить собственные функции операторов .Р и .12 через собственные функции квадратов момента и проекций момента на ось л отдельных частиц. 26. Обозначим через аы яе спиновые операторы двух частиц, а через г — радиус-вектор, соединяющий эти частицы. Показать, что любая целая положительная степень каждого из операторов (в~па) и Яж = — — — (Ф2пе), 3 (я~в) (аег) г2 также как и произведения этих степеней, могут быть представлены в виде линейной комбинации этих же операторов и единичной матрицы. 26. Показать, что оператор 822 (сьь предыдущую задачу) 1 выражается через оператор суммарного спина 5 = †(й,+ аз) следующим образом: Н (~г) 262 ' 12 4) момент кОличестВА дВижения.

спин 23 и что в случае, когда суммарный спин двух частиц равен единице, 8,2 можно представить в виде трехрядной матрицы )гг У312, -г — $' 3 Угг — 2 122 )/б Угг У3 Угг 312,— 2 )~3 Уг 4 41'и ~гг уе5 27. Показать, что нормированная часть волновой функции состояния 21ЭН содержангая спиновые и угловые переменные, может быть записана следучощим образом: ! 5и О (.1=" 1, 4 У22 О е — ~22 ! (У 3,2 О (.У=-1, Х,=2, Я= 1), 2.=2, 5=- 1), М = — 1.

г'.= — 2, 5= 1). Указание. См. аадачу 24 3 4. 28. Доказать справедливость следующих равенств: а) 1,22, А1 = ю'(!А.Р) — [.РА)), б) (,Уг, (,Уг, А)) = 2(У-'А+АР) — 4/(УА), '"пы чм (еА)ег лг .) (А)л,' ' —,(,+„(Л,„'. Здесь А есть некоторая векторная физическая величина, удовлетворяющая правилу коммутации 1.)о Аг) ==!егг,АН 29. Найти сРеднее значение опеРатоРа 12 =ьгд',+й~У~ в состоянии, характеризуемом квантовыми числами 1, М,г, ум уг, если полный момент г равен,г =.22+12. Указанае. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче задачи 30. Найти магнитный момент (в ядерных магнетонах) ядра Х®ь, в котором до заполненной оболочки не хватает одного протона в состоянии Р, .

Магнитный момент свободного протона равен р =- 2,79. 31. Вычислить магнитный момент ядра О", содержащего сверх заполненной оболочки один нейтрон в состоянии Ф, . Магнитный момент свободного нейтрона равен р„ =- — 1,91. 32. Каково было бы численное значение магнитного момента дейтрона, если бы дейтрон находился в состоянии: а) з8„6) 'Р„в) 'Р,, г) Ч),. 33. Предполагая, что основное состояние дейтрона есть суперпозиция з5, и Ч), состояний определить вес .0 волны, если рр-— .-2,78, р„=- — 1,91, рл — — 0,88. 34. Выразить квадрупольный момент дейтрона через среднее квадратичное расстояние, предполагая, что дейтрон находится в состоянии: а) 'Р,, б) аР,.

ЗБ. Используя выражение для матричных элементов векторов (см. Л. Ландау и Е. Лифшиц, Квантовая механика, 1948 г., стр. 116), показать, что квадрупольный момент ядра равен Я =- У (27 — 1) ~~,~~~ (2 (У+ 1) ) (з;),",', г,, ~ — 27 ( (з;)); Суммирование проводится по всем протонам, число которых равно л. Здесь 7 †сп "ядра, а и †совокупнос всех остальных квантовых чисел, характеризующих состояние. ЗЗ. Обозначим через сн спиновую переменную 1-го электрона. Эта переменная принимает два значении, +1 и — 1.

Показать, что на функцию Дам ам ..., ан .. „ е„) спиновых переменных и-электронов операторы паж'' (1 О) 1 е1В ~у О) 1 еы (О 1) относящиеся к электрону номера 1. действуют следующим образом: '! У=у( ° .' ю ° — г г+ ° "ъ). а~ 7= — -- 1зьДе,..., е~ ы — ан аь, .... е ), змУ= еь7(еп..., ег и ан аг+м..., еи). Ф 41 момвит количества движвния. спин 25 37. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать. что оператор квадрата полного спинового момента и-электронов может быть представлен в виде пз %~ Юз=п — +Ьры 4 ь<~ где Ры есть оператор перестановки спииовых переменных оь и ои т.

е. РьД(аы..., ал и аы аз+„., аг и оп аг+ы ..., а ) =- =1(а,..., аь „ап ал+,..., о~ „аы а~+„..., о„). 38. Показать, что в системе из двух частиц, обладающих спином г/з, в случае гамильтоииана, симметричного относительно спиноз, величина суммарного спина 5 представляет собой интеграл движения. 39.

Система состоит из двух частиц. Спин одной равен '/з, другой О. Показать, что при любом законе взаимодействия этих частиц орбитальный момент количества движения является сохраняющейся величиной. 40. Имеется возбужденное ядро А со спииом 1, находящееся в четном состоянии. Энергетически возможна реакция с испусканием а-частицы Устойчивое ядро В, получающееся при этой реакции, пусть имеет спин.

равный нулю, и находится также в четном состоянии. На основании сохранения момента и четности показать, что такая реакция запрещена. 41. Показать, что 1.— орбитальный момент относительного движения двух а-частиц — всегда является четным числом (А=О, 2, 4, .). 42. Может ли возбужденное ядро Вез со спином, равным единице, распасться на две а-частицы. 43. Исходя из того, что единственное связанное состояиие системы иейтрон — протон (п, р) четко, суммариый спин в этом состоянии равен единице и силы взаимодействия (п, п) и (п, р) одинаковы, показать, что два нейтрона не могут образовать связаииой системы, 26 ЗАДАЧИ 5 5* ПЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ Н Частица движется в центрально-симметричном поле.

Уравнение для радиальной части волновой функции /1„1 преобразовать к зилу уравнения Шредингера для одномерного движения. 2. Найти радиальную волновую функцию частицы в центрально-симметричном поле в квазиклассическом приближении. 3. Доказать, что в центрально-симметричном поле в случае дискретного спектра минимальное значение энергии при заданном 1 (1 †орбитальн квантовое число) растет с увеличением 1. 4. Система состоит из лвух частиц, массы которых р, и Р,.

Выразить оператор суммарного орбитального момента 11-) 1, и суммарного импульса р,+р, через координаты центра тяжести )т =-- †'-'+ " з и взаимного расстояния 'г1+Рз г =-гз — лы Показать, что если потенциальная ' энергия взаимодействия частиц зависит от их взаимного расстояния 1/=--1/()г,— г, ~), то гамильтоннану можно придать вид //=.— "' Ав- ""'+"" А„+и<г), 2 1н1+ Рт) йг1нз где Ал и Л,— операторы Лапласа по компонентам векторов Й и г.

5. Определить волновые функции и энергетические уровни трехмерного нзотропного осциллятора. 6. Решить предыдущую задачу разделением переменных в декартовых координатах. Представить волновые функции для и„=--О, 1=-1 (см. предыдущую задачу) в виде линейной комбинации найденных волновых функций. 7. Считая, что нуклон в легком ядре движется в усред- ~ ~ма ненном потенциальном поле вида 1/(г) = — — 1/е+- —, г, 2 определить число частиц одного сорта (нейтронов или протонов) в заполненных оболочках. Под оболочкой следует понимать совокупность состояний с одним и тем же значением энергии. 8. Вычислить теоретические радиусы ядер Не' и О„" имеющих вамкнутые оболочки, исхоля из прелположений 27 й 5) ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ относительно потенциала, выскааанных в предыдущей задаче. Под теоретическим радиусом ядра следует понимать расстояние от центра тяжести ядра до той точки, где «ядерная плотность» р(г) =- ~' ф„(г) у.,(г) (суммирование проводи.гся по всем нуклонам) падает сильнее всего, т.

е. 9. Взаимодействие между протоном и нейтроном можно приближенно описать потенциалом У(г)= — Ае "~«. Найти волновую функцию основного состояния (1=0). Определить связь между глубиной ямы А и величиной а, характеризующей радиус действия сил, если эмпирическое значение энергии связи дейтрона Е =- — 2,2 Млл. 1О. Определить приближенно энергию основного состояния дейтрона, если потенциал У(г) =- — Ае-"~"(А = — 32 Мзв, а = — 2,2 ° 10-'з сж), исходя из варнационного принципа Ритца. В качестве класса допустимых радиальных волновых функций взять функции вида Д = се 1, зависящие от параметра и.