Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 2

2тс' 7. Какой физический смысл имеет величина р„ в выражении волновой функции аих 6(х)=~!(х)с а, если функция 1а(х) действительна. 8. Показать, что среднее значение импульса в стационарном состоянии дискретного спектра и == О. 9. Волновая функция свободной частицы в момент вреаяес меня г=-О задана саедучощиы образом ф(х, 0)=е(х)е " . Функция з(х, 0) действительна и заметно отличается от нуля лишь для значений х, лежащих в обласги — й .

х <. +с. Определить, в какой области значений х будет отлична от нуля волновая функция в момент времени !. 1О. Найти изменение волновой функции, заданной в момент времени !.=- 0 (расплывание волнового пакета): а) свободное движение 1 1 1Раг га 1 6(г, 0)- —, екр![ (яра)" !а 2аа ~ б) движение в однородном иоле «р,г 6 (Р, 0) =,„сер ) — — — 1; (яаау'" ) й 2ЬЯ ) Нааха в) движение часгицы в потенпиалын>м поле К=в ! !рсх аа(х — хо)Ч /набу'" ф(х, О)=-секр) — — — '— — 1. а=-1 — 1 11.

Доказать справедливость соотношения егае" й = а+ [!а) + —,[!. [Й~) ])- „—,[ц!. [!а) ] ]+ 1 ' 1 21 12. Осциллятор при !.=- — Со находился в основном состоянии. Определить вероятность того, что при 1== + со 16 ЗАДАЧИ осциллятор будет находиться в и-м возбужденном состоянии, если на пего действовала сила Е(Е), где Е'(Е) — произвольная функция времени (Е= — 0 при Е-+:~.оо). Провести расчет до конца для г а) ДЕ)=Де ", б) У(Е) ==Л „,',— 13. Показать, что задача определения движения осциллятора под действием вынуждающей силы Е'(Е) може~ быть сведена к болсе простой задаче определения движения свободного осцнллягора, если ввести новую переменную х, =-.х — ч(Е), где ч(Е) удовлетворяет классическому уравнению (А( =- Е (Е) —,ме'1. 14.

Найти функцию Грина для осциллятора, собственная частота которого меняется во времени, вырааив ее через решение классического уравнения для осцнллятора с переменной частотой. 16. Использовав функцию Грина, полученную в предыдущей задаче, определить изменение во времени плотности вероятности для часгицы, движущейся в потенциальном поле (алле У(х) = (м .= сопя(). Волновая функция частицы в мо- 2 мент времени Е = 0 равна ы ф(х, 0)=-= се 16. Найти функцию Грина для осциллятора, собственная частота которого меняется во времени и подверженного действию возмущающей силы Е'(Е). Указание. Использовать результаты задач 13 и 14 3 3.

17. При Е = 0 осцнллятор находился в и-и энергетическом состоянии. Определить веров»ность перехода осциллятора в т-е состояние под действием возмущающей силы Е(Е). Найти среднее значение и дисперсию энергии в момент времени Е. 18. Поскольку уравнение Шредингера является уравнением перв»го порядка по времени, ф(Е) однозначно определяется заданием ((0). Запигпем эту связь в виде ф(Е) =-5(Е) Е(0), где 5(Е) — некоторый оператор, пегестлноночные ОООтнОшения а) Покааать, что оператор Я(т) удовлетворяет уравнению лв5 (л) =- гЦ(1) и является унитарным оператором, т. е. Ь+ = 5 '. б) Показать, что в случае, когда Н не зависит от времени, Я(г) имеет вид ейг Б(с)=е !9.

Среднее значение некоторого оператора Ь в момент времени л определяется следующим выражением: Ц1)=1 ',ОЕЦЦа., а) Покааать, что зависящий от времени оператор .у = я л (1) Ы(т), где Б(л) определяется соотношением :л(Г)ф(0) = 6(Г), удовлетворяет условию ~ о*(О) У~(О) )( Хс1 =- Йс). б) Проверить справедливость операторного уравнении где в) Показать, что если операторы 1. и М удовлетворяют правилу коммутации 1.М вЂ” М1.= сйг, то для зависящих от времени операторов УЙ вЂ” Й 2'=ьА'.

20. Определить зависящий от времени оператор координаты х (в координатном представлении) для: а) свободного движения частицы, б) осциллятора. 2!. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, определить зависимость от времени дисперсии координаты в случае свободного движения. Зак. Паз И. И. Гюльдюа В. д. Кнеллелллв 1ь' задачи 22. Волновая функция частицы в момент 1 =. 0 имеет чйе вид ф(х) = с (х) е ", где Е(х) — действительная нормированная к единице функция. Определить значение дисперсии (Ах)а в любой момент времени в случае а и б задачи 20 3 3.

Показать, что в случае осциллятора (Ьх)~= = (дх)~ е, т. е. расплывания нет, если Е(х) = се " (см. задачу 10 в) 3 3). $4. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. СПИН 1. Получить выражения для операторов 1„, 1„, 1, в сферических координатах, исходя нз того, что 1, 1„, 1, являются операторами бесконечно малого поворота. 2. Доказать следующие коммутационные соотношения: а) ! 1;, х„) = 1есыхп б) 11о р„1 =- геоирн где е;ы есть антисимметрический единичный тензор третьего ранга, компоненты которого меняют знак при перестановке двух любых его индексов, т. е. е;т — — — е;и„ причем е„, =- 1 (1, 2, 3 соответствует х, у, з). 3. Доказать справедливость соотношения: а) (1, (ре + р' + р',)) = О, б) 11, (ха+уз+аз)1 =О. 4.

Показать, что в состоянии 6 с определенным значением 1, (1,6== т6) среднее значение 1„и 1а равно нулю. Указание. Найти среднее аначение в состоянии 6 левон и правой частей соотношений коммутаций 1а1, — Ц„= 11е, 1,1. — 1 ~,=-11е. б. Получить выражения для оператора момента относительно некоторой оси (г') через операторы 1„, 1„„1,. В. Показать, что если в некотором состоянии 6 1,5 =- тф, то среднее значение момента относительно оси е', составляюгцей с осью е угол О, равно тсоаО. 9 4) момвнт количества движения. спин 19 Этот результат можно истолковать наглядно следующим образом.

Вектор момента в состоянии 6 равномерно «размазан» на конусе, осью которого является ось л, причем длина образующей равна ф'/(/+ 1), а высота т. Среднее значение проекции на плоскость ху раино нулю, а проекция на ось л' после усреднения оказывается равной тсоае. 7. Найти закон преобразования шаровых функций ум, Уге, 1',, при повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера ч, ?, ?. Указание. Представить шаровые функции в виде 8.

В приборе типа установки Штерна †Герла пучок атомов, обладающих полным моментом з, отклоняется различным образом в зависимости от значения проекции момента на направление магнитного поля прибора. Если пучок частиц имеет определенное значение момента относительно оси, не совпадающей е направлением магнитного поля прибора, то он расшепится иа 2./.+ 1 пучок.

Определить относительную интенсивность этих пучков, если /= 1, а проекция момента относительно некоторой оси, составляющей угол 0 с направлением магнитного поля прибора, имеет определенное значение Л (+1, О, — 1). 9. Проекция спина электрона на ось л с достоверностью имеет аначение + '/ . Какова вероятность того, что проекция спина на направление л', составля1ошее угол б с осью з, будет иметь значение + '/а и — '/е? Определить среднее значение проекции спина на указанное направление. 1О.

Наиболее общий вид спинозой функции частицы со свином '/з в «зз-представлении есть ?, =.= е"" соз е, ф. =.— еф сйп 6. Эта функция описывает такое состояние частицы, в котором вероятность значения проекции спина +'/, на ось з (или †'/ ) равна соэай (или з1пзе). Каков будет результат измерения проекции спина на совершенно произвольное направление? задачи 11. Спиновая функция в «я»-представлении имеет вид Существует ли такое направление в пространстве, вдоль кото- рого проекция спина с достоверностью имеет значение+ "/.„7 Если существует„то найти сферические координаты (0, Ф) этого направления.

Указание. 0 и Ф найти из условия обращения в нуль второй компоненты спинозой функции. 12. Имеется совокупность невзаимодействующих частиц одного и того же сорта. Импульс частиц одинаков; спин равен '/,. Если бы эти частицы не обладали спином, то мы бы имели право такую совокупность называть чистым ансамблем.

Но нам неизвестно, одинаково ли направление спиноз у всех частиц. Можно ли посредством эксперимента типа опыта Штерна— Герлаха сказать, является ли этот пучок частиц чистым ансамблем илн смешанным г 13. Показать, что оператэр„преобразуюц!ий компоненты спинозой функции при повороте на углы Эйлера О, ф. Ф, имеет вид Т(ф, О, и) = еат'«ебы»е'т~», 14. Показать, что при повороте системы координат на угол Ф относительно оси, направляющие косинусы кото- рой равны а, р, у, матрица преобразования компонент спино- вой функции может быть представлена следующим образом: Т=е ."' "я т' =-соз 2 +2!(аз~-+;Йв+ !г»)з!и 2 . Указание. Углы Эйлера 0, ф, Ф свяваны с а, р, у и Ф следующими соотношениями: Ф 6 ! соз — =- соз — соа — (Ф+-ф), 2 2 ' 2 Ф .

0 1 а з!и — = з!и — ° соз — (Ф вЂ” ф), 2 2 2 Ф . 6 . ! з!и — =" Б!и — ' э111 2 (Р ф) 2 2 Ф 0 1 т 5!и — =- сов — 3!и (9+'/)' 2 2 ' 2 ОтМЕтни, ЧтО Е«»'"«гааз~!0»! НЕ раВНО Е « ° Е я . В 9 4! момент количества движвния. спин 21 18. Найти собственные функции оператора аз +Зля+узы где аз+9з+ та= 1, и показать, что коэффициенты разлоlф~! жения какой-либо спинозой функции ~~') по этим функциям т'з определяют вероятность того, что значение проекции спина на направление, характеризуемое направляющими косинусами а, р, 1, равно +'/з или — '/з. 18. Найти матрицу преобразования компонент спинозой функции частицы со спином 1 при произвольном повороте системы координат.