Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга.djvu), страница 6

Для малых а, Ь приближенное уравнение имеет вид ри = Ай Используя зто выражение в двух поправочных членах, получаем т. е. Е, = Ъ вЂ” —,'«. Ас р =А7 — — „, +Ьр, ар д) Е, = О, если Ь = 8в —— а/АЬ. Следовательно, — = — ь — =-=З,ЗУЗ. е) Как показано в задаче 1.9, п. «аз, ( — ').+ ='(Ф),. т.

е. Для газа Ван-дер-Ваальса правая часть обращается в нуль. Дифференцируя зто уравнение по температуре при постоянном объеме, получаем Законы термодинамики к) Дифференцируя решение, полученное в п. еа», находим [ АК< К< =: <Х [Ао</(о — Ь)г[ — [за~о») ' Г о — о ' Полагая и ==- и, =- ЗЬ и используя значение для»м находим искомый результат. 1.12. а) Идеальный квантовый газ, уравнение состояния которого, как указано в задаче 1.9, и.

«д», имеет вкд ри = дУ, обладает внутренней энергией, удовлетворяющей уравнению Получить этот результат (мол<но использовать решение задачи 1.9, и. «а») и убедиться, что этому уравнешио удовлетворяет решение вида (У = о-г 1(тол), где ) (г) — некоторая функция. б) Показать, что если этот газ испытывает квазистатический адиабатнческнй процесс, то следующие величины остаются постоянными: ри<+«, То« Т ~д~'~.~~ Решение а) Из решения задачи 1.9, п. «а», имеем ='( — '") -( — ")- Умножая это выражение на о/д и используя соотношение р<ьд = «<', находим Пусть П = о '1(То«); тогда, если ~' (г) = — <е)<Ыг, имеем так что уравнение для б< удовлетворяется.

б) Умножим <[Я = Т ' (<1«<' + рй~) на Ти«, тогда Тв«<И = нз ( <1бг -[- к <й< ) = о< (б<в«) . В соответствии с п. «а» правая часть равна <1 [1 (То«)[, <ыкуда видно, что энтропия должна быть функцией только от То«. Следо- 28 Глава 1 вательио, при процессе, для которого энтропия постоянна, вели- чипа Ткг также постоянна. Согласно п. «а», из постоянства величины Тик следует, что величина Сия = — рог+я »1.

05 также постоянна. Деля постоянную Ти«на постолнную ри"а, нагоним новую пост япную для рассматриваемого адиабатнческого процесса: Т[р«гп'-". Заметям, что входящая в аналогичные адпабатические законы для идеальяого классического газа величина у — отногпение постоянных теплоемкостей — заменяотся здесь величиной 1 --' д, как и следовало о»кидать нк оспозакпн задачи 1.9, и. «е». 1.13. Полипц~оггнылг прогшссшвв с показателем и называется такой процесс, при котором величина рй' остается постоянной '). а) Идеальный классическвй гав с постоянными теплоемкостями С, С„совершает кваанстаткческий процесс„для которого бьг = Сг[Т, где С вЂ” некоторая «окстакта. Показать, что рас сматриваемый процесс являетгя полктропным с показателем Сс — С С,— С,„ Показать далее, что в ходе расс»г тризаемого процесса остаются постоянными следующие величины: — ш,„= — „ ву т б) В каком смысле п.

«а» является обобщением результата задачи 1.10, п. «а»г в) Объяснить, почему теплоемкость С для полптропного процесса может быть отрицательной. г) Идеальный квантовый газ испытывает процесс, прн котором бгг = ЬС„ЙТ, где Ь вЂ” постоянная, тогда как теплоемко ь С, не обязательно является постоянной. Показать, чго величина Тьллг ' для такого процесса постоянна. Решение а) Из основных уравнений задач 1.3 и 1.5 имеем д() = г[бг [- рг[и = С„г[Т + [,г[ш Нетрудно видеть, что [.=-р+( ~ ),. г) Детельвое обсугггдекие полптроп было проведено [[ейпером [5). Реоркя в осповвом разработана Эмдепом в первой четверги нашего века. Ее применение к проблемам астрономии рзссматрквается в обзоре Милке [6[; »тот обзор был перепечатан в сборнике [7[.

29 Законы термодинамики Поэтому для рассматриваемого процесса получаем сат=с,ат+~р+(',~1 1а. Используя результат задачи 1.9, п. «в» о равенстве нулю производной (дУ/аи)т и деля полученное выражение на Т с учетом того, что р.'Т = Аэп == (Ср — Со)!г, находим (С, — С) — + (С вЂ” С,) — = О. Прн использовании приведенного в условиях определения показателя и это выражение прияимает вид — +( — 1) — =О, так что если Ва — — сопз1, то Тпп '=-Вп '. 2 Отсюда следует, что другой константой является В",= Атэи'= и Тэ" '=рэп такам образом, газ совершает полнтроппый процесс с показателем и. Последний результат вытекает из соотношения Т То"'- ' (п- 1 ил ( п)1п — ! Эп б) При С = О процесс является адиабатическим, тогда как при С = со процесс изотермнческпй; при этом показатель и раасн соответственно у и 1, Существуют и другие возможности, так как — оо ( С ( оэ.

в) Из решения п. «а» имеем а~1 = аУ + рад = С аТ + рад, откуда НУ = С,аТ. Из соотношений рР = В,", рэ = АТ также имеем э$-и АТ В," ' Следовательно, алементарная работа, совершаемая идеальнг«м классическим газом при политропном процессе, равна о" А ф— С бРУ=— ра = р — ат= ат= " 'ат. л — 1 роп л — 1 л — 1 Отсюда Глава в Таким образом, если 1 п ~ у, совершенная работа превышает уменьшение внутренней энергии газа. Следовательно, величина бт',т = т)У + оИ~ положительна, в то время как воличина т(Т отрицательна. Далее, из соотношения сразу видно, что при 1 ( п а у величина С действительно отрицательна.

г) В решении задачи 1.12, и. «б> было показано, что если г = Тег, то Утте = Г (г), и, кроме того, т)Ь' =- г ЧГ (г) = г тт' (г) гтг = г »С,«)г. К последней форме записи мы приходим, замечая, что Происходящий процесс определяется соотношением ТНЬ = ЬСвт(Т, откуда твт ття ттв б — = — = —. т с, » Интегрирование этого выражения показывает, что величина гТ = — Т' » ие является постоянной. 1.14. а) Если жидкость находится в равновесии с насыщенным паром, то давление в системе не зависит от объема, а зависит только от температуры.

Исходя из соотношений Максвелла, при- веденных в задаче 1.7, п. «а», показать, что при этих условиях справедливо уравнение Т вЂ” =- — (уравнение Клапейрона — Клаузиуса), ер тт =в,—, где Лт ' — количество тепла, необходимое для изотермического перехода массы т вещества из агрегатного состояния 1 в агрегатное состояние 2, и ит и эг — объемы, занимаемые веществом в двух агрегатных состояниях. (Еслтт иг — единица массы, то Л— скрытая теплота и и — удельные объемы.] б) Показать, что увеличение давления повышает точку кипения и точку затвердевания нормальной жидкости, но что для воды увеличение давления понижает точку затвердевания.

Решение а) При указанных условиях получаем Лр ол Лт 1 ат аа ໠— ат т Законы имрмодииамики б) При Л ) О имеем инсат )и~ )О )и1 )О <и, <О Состояние 1 Состояние 2 Пар Жидкое Жидкое Жидкое Твердое Твердое Испарение Плнвлеиие (нормальное) Таяние льда ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ вЂ” ТОМСОНА 1.$5. Если газ проникает через пористую перегородку между двумя сосудами, в других отношениях изолированных друг от друга и от окружающей среды, то значение энтальпип Н, =— = уу1 + р1и1 до начала процесса равно значению энтальпии L, после окончания процесса. Происходящее при этом иаменение температуры определяется коэффициентом Джоуля — Тозшона у =— (дТУдр)н.

а) Показать, что и, следовательно, у = — = (Та — 1). С и б) Показать, что Т (др(дТ)е+ и (др(ди)г Ср (д р/ди) т в) Убедиться, что у = О для идеального классического газа. г) Показать, что для газа Ван-дер-Ваальса, введенного в задаче 1.И, 2аУи — ЗаЫив — Ьр р — а(ив+(2аЫиз)С, д) Получить уравнение кривой, отделяющей на р — и-диаграмме область у) О от области у( О, для газа Ван-дер-Ваальса.

Эта кривая носит название крияой инверсии. [Расширение ведет к охлаждению только для состояний, лежащих в области у О.[ е) Показать, что для газа Ван-дер-Ваальса давление, соответствующее максимуму кривой инверсии, есть руе = ирс. Показать также, что Ты = ЗТ,. [Максимум кривой инверсии соответствует значениям давления и температурнб превьппающим их критические значения.[ Глава 1 Зг Решение а) Используя соотношение в((.( = Тв(Я вЂ” Рв(р, получаем в(Н = в1ТТ+ рв(и+ идр =- Тв(3 + сор.