Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга.djvu), страница 5

«б». Это первое урав- нение. Применяя теперь тождество задачи 1.1, п, «б», можно напи- сать б) Из задачи 1.4, и. «в» имеем Кт/К, = у = Ср/С,. Следоаателыт, иэ и. «а» (Кт Ка)ср=КТ (1 с )Ср=упсер Р в) В задаче 1.5 было показано, что Г = и/тр. Но, согласно задаче 1.7, п. «6», имеем в соответствии с вторым законом т»=Т( — ) = — Т( — ) Реп«ение а) Из соотношения С,ЫТ + /,й = СфТ + /ребр следует, что Глава 1 20 Следовательно, для адпабатнческого процесса Г«» (1п и) + «1 (1п Т) = О, откуда следует, что величина Т ехр ~ ~ Ге( (1п и)1 постоянна, ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ 1.9.

а) Получить следующие результаты: б) Закон Дгкорлк для газа плп жидкости гласит, что (дС~'М) г =- .= — О. Исходя из результата п. «а» и используя закон Джоуля, показать существование функции объема Г (и), такой, что р) (и) = Т. в) Газ, подчнняющнйся уравнению состояния ри = АТ, где А — постоянная, называется идеальным классическим газом. Исходя из соотношений, приведенных в п. «а», показать, что для пего справедлив закон Джоуля. Мол«но ли с помощью соотношения ри = Аг, в котором используется эмпирическая температура г, вывестн закон Джоуля? г) Убедиться, что для идеального классического газа в обозначениях задачи 1.4 справедливы соотношения ф— С,=А, Л »»т=— р д) Газ, удовлетворяющий уравнению состояния ри =- дб', гдо д — постоянная, носит название идеального квантового гага»), Исходя из задачи 1.5, п.

«б», покааать, что для такой системы ксгфсбиииент Грюнайвена равен Г =- л и, таким образо»г, является постоянным. (Это утверждение носит название закона Грюнайзена. ) е) Доказать, что идеальный классический газ с постоянной теплоемкостью Ср является идеальным квантовым газом, у кото- ') Зто макроскопнческое опредезевве было дано Ланд«бергом 141; см.

также рабаты !2 — 41. Законы термодинамики рого д = у — 1 н С, = А!д, при условии, что его внутренняя энергия обращается в нуль при абсолютном нуле температуры. Решение а) Независимыми переменными явля«отея и и Т, Запишем уравнение, объединяющее первый и второй законы (основное уравнение термодинамики), в виде рйо Отсюда ( — ) сЬ+ ( — ) «1Т=Т ( — ) й+Т(=) ЫТ вЂ” рйп Таким образом, если» = Тт, то т. е. закон Джоуля получается, только если» = Т. г) Значения величин пр н 1гт находим непосредственно из уравнения состояния ри = А Т.

Для вычисления разности Ср — С, мохспо использовать задачу 1.6, п. «в» вместо с соотношением (доведи)т =- О из и. «б» настоящей задачи. Зто приводит к выра- жению Ср — Со=р ( з') =-А. Подстановка згнх результатов в определение величины Г, приве- денное в задаче 1.4, дает с — с, 7 и р А à — — л— гггс, Т С„Со Се Сравнивая коэффициенты прп ди и используя соотношение Максвелла, находим искомый результат. Второй результат получается аналогично, если в качестве независимых пера»сенных принять р н Т и срзвнивать козффпппепты при Ыр. б) Используя закон Джоуля, результат, полученный в п.

«а», можно привести к виду р = Т (др,'дТ),. Интегрирование этого выра»кения прс«постоянном объеме приводит к соотношеншо 1п р + 1п ) = — 1п Т, где величина 1и ( является постоянной интегрирования и, коне ч по, может зависеть от объема; таким образом, имеем р) (и) = Т. в) Результат и. «а» справедлив прв использовании абсолютной температуры Т в качестве независимой переменной и приводит для системы, удовлетворяющей уравнению состояния рг =- Ад к соотношению даава 1 22 д) Если ри = дУ, то в соответствии с результатом аадачп 1.5, и. «б» имеем е) Если теплоеикость Ср постоянна, то из и. «г» следует постоянство величин С, = Ср — А и у = Ср~С„.

В соответствии с п. «в» такой газ подчиняется закону Джоуля, так что функция П (р, Т) зависит только от Т н ИУ .= С,ЮТ; поэтому У = С„Т + сопзь. Так как У обращается в нуль при Т = О, константа в этом выражении равна нул»о. Далее пз и. «г» имеем СВАТ АТ ра С,— С„т — 1 О~сюда следует соотношение рр = (т — 1) У, характерное для идеальных квантовых газов. Аналогично нз соотношения рр=дУ= АТ вытекает ~К7 А С, =- — =— ИТ х 1АО. а) Газ, уравнение состояния которого имеет вид ри = А», где А — постоянная, испытывает квазистатпческий адиабатическпй процесс. Используя результат задачи 1.4, и. «б» и считая величину у постоянной, установить следующие законы: р =В, где В; — постоянные.

Показать, что Втв=АВ» ~ =А»В~», б) Предположим, что рассматриваемый газ является идеальным классическим газом с постоянным значением у, т. е. что в и. «а» выбирается абсолютная шкала температуры. Показать, что постоянные В; могут быть выражены через онтропи»о Я газа посредством соотношения вида В»=А ехр (-й- — «), Я где в — термодинамически неопределимая постоянная (но не «гв — 1). в) Газ, рассмотренный в п. «б», расширяется из начального состояния (Т„р,) в вакуум, так что его объем возрастает до зна- Закона термодинамики чения р». Получить выражение для увеличения энтропии ЬБ и определить совершенную газом работу. (В качестве постоянных в п. «а» целесообразно выбрать величины Вт и Вт ', а не просто В„и В;, см. задачу 1.23.) Решение а) Из задачи 1.4, п.

«6», используя соотношение ро =>Ац получаем Следовательно, для квазистатического адиабатического процесса при постоянном у имеем др до — = — у —, т. е. ро»=-В(, р у где В1' — постоянная интегрирования. Прн тех же условилх имеем также с вт> тот-> т — ' — В1-> ри А Наконец, а,т-> В~1А Р (т->нт .' т (т->мт в)'-> А (ро ) Зги законы можно было бы получить и исходя иэ любого другого соотношения, установленного в задаче 1.4, и. «б». б) Из лорвого и второго законов получаем соотношение "' =- г ("+"") = т ~'"Т+( — ") '"+р'1). Так как (дЮ(до)т = О (см.

задачу 1.9, п. «в») и р1Т = АЬ, имеем АЯ = С,А 1п Т + АА 1п о = С,Ы 1п (Тпт- ') = = С, (у — 1) д1п (Тм«т-'> о) = А А 1п (Т'дт-'> о). Поскольку у — постоянная величина, интегрирование дает Я = А 1и (Т>дт-'>н) — 1п ( — ), где последний член является постоянной интегрирования.

Отсюда следует, что В,= оТ>ц'-» = Лехр ( †„ — 1) = А ехр ( С вЂ” С 1) ' р о В,=Л В» =А ехр ( — -1 — ), „., <т >Нт ту .т — 1> (с„т )' в, !В .т — 1> В»= — =ехр ( — — > — ) . А >ср т )' 24 Глава 7 в) Из и. «а» и «б» имеем Я = С„1п (ргт) + сопз». Следова- тельно, ЛЯ=С.1п~" ( — »)')=С,1п) —,' ("-)' '~. Так как выполняется закон Джоуля (сп.

задачу 1.9, п. «б»), то У,=У„т. е. тв г, ~ С. АТ = )' С„йт, о о так что Т, = Т». Ото»ода следует, что ЛЯ=С„(у — 1)1п — '=(Ср — С,) 1п — '- =-А1п — ' (задача 1.0, п. «г»). о~ " ' »1 »в Работа газа прк расширении в пустоту равна пулю, так как при этом он ке преодолевает никакого сопротивления '). 1.11. а) Уравнение состояния Пан-дер-Ваальса имеет вид Ср+ „) ( Ъ)=АЬ где а, Ь, А — постоянные. 11а (р, о)-ди»грамме точки экстремумов функции в левой части для различных значений Ь образуют некоторую кривую. Найти уравнение этой кривой. б) Показать, что максимум найденной в п.

«а» кривой отвечает следующим значениям переменных: а оа и=ЗЬ р= — 8=— в в Рв 27»» в в 27АЬ так что Аг,!р,ов = 2,667. [Эта точка называется критической точкой ) в) Показать, что уравнение Ван-дер-Ваальса может быть записано в виде (и+ —,) (Згр — 1) =8«, где и р» вр = — л = — т = — . ов .в Рс»в г) Иногда общее уравнение состояния записывают в виде ро = Е, + Е р + Е,р' + ..., где Е„Е„Е», ... являются функциями от г и называются соответственно первым, вторым, третьим,, вириальными коэффициентами.

') См. првмечанне редактора перевода э конце глазы.— Прим. рвд. Закоии терл~оаикамики Показать, что при достаточно малых а и Ь второй вприальный коэффициент для газа Ван-дер-Ваальса приближенно определяется выраженисм Е.=Ь— д) 7аапжратрра Бойля !з определяется соотношением (д (Ри) др)и=„=- О, так что Е, =.— О, и состоанпе газа пРиближенно описывается газовым законом Бойля (для малых Е„, п ". 3) з окрестности этой температуры. Показитго что для газа Ван-дер-Ваальса з =-3,375. Ьс е) Показать, что Си для газа Вап-дер-Ваальса не зависит от объема.

ж) Показать, что при о = и, АЬ 2 С ЗА (Ь вЂ” Ьс) 1 Р 3 (С вЂ” 8с) так что этп величины расходятся прк Г =- ),. (Уравнение состоянии считается здесь заданным. Близкое к рассматриваемому уравнение выводится с помощью статистической механики в задаче 9.7. Применяются различные онределения вириальных коэффициентов; наиболее часто применяемое определение дано в задаче 9.8, См. также задачу 10.1.) Резпение а) Из уравнения состояния АЬ а Р=— и Ь ии получаем Таким образом, для экстремальных значений, обозначенпь1х через ), имеем (ос — Ь)и (оз — Ь)х 2а АЬ (р~+а)иЗе)(и~ — Ь) Слодовательно, уравнение искомой кривой на (р, и)-диаграмме имеет Вид а 2аЬ Ре = —.— —.

ол ил Глава 1 б) Полученная кривая имеет максимум, когда и«удовлетворяет соотношению 2а баЬ 2« — — + — = — (ЗЬ вЂ” н~) = О. а«Р«а« Убедимся, что зто действительно условие максимума; для атого рассмотрим вторую производную а"ю ба 24аЬ ба / 4Ь т —,= —,— —,= — (1 — — ) . В точке, в которой производная драй, равна нулю, зта величина отрицательна, что отвечает условию максимума. Следовательно, в точке максимума ив = ЗЬ и р7 = р„так что а 2аЬ а в — баа 27Ь« 27Ь« Подставлял зто апачение в уравнение Ван-дер-Ваальса, получаем теперь следующее значение 7в: а а 1 ба А4 — + — (ЗЬ Ь) в — ( 27Ь« 9Ь«) 27Ь' в) Очевидный алгебраический результат. г) Запишем ро=Аг(1+ —,) (1 — — ) жАЬ вЂ” — + —.