Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга.djvu), страница 4

Закона термодинамики Решение а) Имеем (((х+((У) = (хг — х() + (Уг — У,), (1) ((гх+ ((у) = (уг — у() + (хг — х(). ( 1) Эти два линейных интеграла имеют одинаковые значения, а именно и ()) — и (Р) = (хг + уг) — (х, + у,). С другой стороны, 1 Й7= о (х — хе) т х2 (Уг У()> (1) ((и = х( (Уг — У() т ~ (хг — х ) (и) Эти два результата оказываются неодинаковыми; следовательно, пе существует такой функции и (х, у), для которой приведенную в условиях задачи дифференциальную форму ((и можно рассматри- вать как ее полный дифференциал, так как в противном случае оба интеграла должны давать и (()) — и (Р).

В рассматриваемом случае би, хотя и не является полным дифференциалом, имеет интегрирующий множитель, т. е. суще- ствует функция д(х, у), преобразу(ощая би в полный дифферен- циал Ксли существует один интегрирующий мнол(итель, то существует бесконечно много интегрирующих множителей, и простейшим из них в рассматриваемом случае является функция д = —; тогда ((г' = д (Ь = ((х+ ()у. б) Для полного дифференциала справедливо соотношение (У =-( — ) ((х+ ( — ) ((у=Х((х+г' с)у, так что в) Пусть б) = Х(гх + У'(гу, где Х, 1 — непрерывные, дифференцируемые и однозначные функции независимых переменных х, у. Это ограничение на Х Гваеа 1 )2 и У вместе с условием У =,ьО означает, что уравнение ав х св )' имеет решение вида г (х, у)=С, т.

е. г)Р= ~ —.) Их+( — ) с(у — О, где С вЂ” постоянная. Сравнивая коэффициенты в уравнениях бу = О к аР = О, получаем Х ( ~ )„'= У (Е,— = д(' Р). Следовательно, дб~ = дХдх + дУду = йР и б) имеет интегрирующий множитель д (х, у). г) Положим дв (х, у, э) = — хау + йа» =- д (х, у, х) с(г'. Тогда Пз пункта «б» следует, что р,в Ограниченная функция д (т, у, с) не может удовлетворять этим уравнениям.

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 1) ).3. Для газов и других простых веществ возможными переменными являются давление р, объем и и эмпирическая температура С Они связаны уравнением состояния, так что только две иа этих трех переменных являются независимыми. Элементарное количество тепла, полученное при квазистатическом процессе, может быть выражено следующими эквивалентными способами: бД =- С,гы + 1,г)и = С„й + ) др = т„г)г + той, где коэффициенты, которые сами могут зависеть от р, а и 1, являются величипами, характерными для данного газа или жидкости.

Термин эмпирическая температура относится к произвольной г) Процессы, состоящие вэ множества равновесных состояний. Закона термодинамики шкале и применяется для отличия от абсолютной температуры, обозначаемой через Т. Доказать, что выполняются следующие соотношения: Г,С 1 С„ а) т, =, та=- —,, — '+ — =1; ф— С„' ' Ск — С, в) Пояснить физический смысл коэффициентов в выражении для бб). Решение а) Иа первых двух выражений для б11 получается уравнение для Ш: (Ср Со) ой 1 «1и 1рг1р Подставляя теперь йо во второе выра«пенно для ббпр, имеем Сравнение с последним приведенным в условиях выражением дчя б~) приводит к искомому результату.

б) Искомый результат получается сразу пз первого уравнения в п. «а». в) ф— количество тепла, необходимое для увеличения эмпирической температуры на единицу при постоянном объеме, называемое также теплоемкостью при постоянном объеме; 1р — количество тепла, необходимое для увеличения давления на единицу измерения при постоянной температуре, называемое иногда скрытой теплотой увеличения давления.

Другие коэффициенты могут быть объяснены аналогично. 1.4. Пусть — коэффициент объемного расширения при постоянном давлении, и пусть ( до ) — пээтера«иве«вал сжиэ«аеэ«ость газа или жидкости (используются обоаначения задачи 1.3). а) Показать, что коэффициент Грюнайзена Г = — аро/К«С» для вещества удовлетворяет соотношению Г и 1дрlд«)а С Гла«а 1 б) Показать, что отношение теплоемностей у =— Ср/С, удовлетворяет соотношениям (др/др) (др/др)с 1 (др/д% т — 1 (ди/д1)р т (др/д1) у — 1 (др/д1), где (...), обозначает величину, определенную для квазистатического адиабатнческого процесса, т. е. при Щ .= О. в) Доказать, что Л~ К где К, — адиабатическая сжимаемость.

г) Рассматривая «) (1п р), показать, что Решение а) В соответствии с задачей 1.1, п. «а» имеем р (др/д1) р (др/др)» р (др/д»)о à — — С о с б) Из уравнения приведенного в задаче 1.3, и. «а», имеем Возьмем теперь отношения величин, стоящих в левом столбце, к соответствующим величинам в правом столбце. Первая пара сразу дает выражение для у. Вторая пара дает СОЖр С5 р 1 С Ср1ц Ср Ср Сц т 1 где использованы выражения, приведенные в задаче 1.3, п.

«а». Третья пара приводит к выражению для у/(у — 1). в) Искомый результат следует из и. «бю г) В качестве независимых переменных следует выбрать 1 и р. Вид уравнения, которое следует доказать, наводит на мысль, что можно воспользоваться методом, описанным в задаче 1.2, п. «б». Поскольку, согласно условиям, мы должны рассмотреть Й (1п и), «5 Законы термодинамики можно написать е)(1пи)= — й =- — ( ( — ) «1«+ ( — ) г)р~ Эта величина равна арей — Хееор, н мы действительно можем при- менить метод, использованный в задаче 1.2, и.

«6». ПЕРВЫЕ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 1.5. Согласно первому закону термодинамики, существует такал функция У, называемая внутренней энергией, что для газов илн подобных веществ в дополнение к первому уравнению задачи 1.3 справедливо соотношение б() = «)У + р«)и, где р — давление и ре)и — механическая работа, производимая системой. а) Наказать, что дифференциальное выражение для работы НИг =- реои не является полным дифференциалом. 6) Доказать, что для коэффициента Грюнайэена (с»ь задачу 1.4) справедливо выражение Г= дП'д в) Найти наиболее общее уравнение состояния газа, для которого коэффициент Грюнайзена не зависит от давления. Решение а) Замечая, что у нас имеются две независимые переменные, можем написать бИ' = р«»и + хну, где х = О и у = Т или у = р.

Если бы величина бИ' была полным дифференциалом, то мы имели бы ( — ") =( — ',.",) =О. Если теперь положить у = р, то получим 1 = О; следовательно, бИ" не является полным дифференциалом '). б) Из выражения 60 = «1«э' + ре)и = С,е)е + 1,«1 = т,сЬ + тр«1р находим «) См.

примечание редактора перевода в ковке главы.— Прим. ред. Глава 1 16 Подставляя эти соотношения в выражение, полученное в задаче 1.4, и, «а», получаем Г» (дд/дю)в» в Св (дв11дд)в»»р в) Интегрируя результат и. «б», находим искомое уравнение состояния газа , (~ +1(в)) где Г и 1' могут быть функциями объема и ~!à — постоянная интегрирования по р.

Уравнение состояния твердого тела иногда выбирается именно в этом виде: Г („) П (, У) в (,) ».6. Показать, что ( д11 ) (да ) +Р' д11 ~ ( д11 ) 1 ( дв ) б) Решение а) Из соотношения ~~аи) 1„~~~ ви) находим Дифференцируя, получаем б) Выберем в качестве независимых переменных (о, 1) и (р, 1), поскольку нам может потребоваться замена одной переменной Законы гнерлгодинамаки двумя другими. Имеем ( ЗП) =-(~'.),~(~о),др+(%)„1+(Ф).« = Следовательно, в) Из первых уравнений задач 1.3 и 1.5 находим б() = Ср с]г + 1 р с[р = <111+ р «Ь, откуда ( эг ) + р ® ) Комбинируя ото выра<кение с соотношением, доказанным в п.

«б», и с вырап;опием С„= — (д(11дг)о, прпходгг»г к искомому результату. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 1.7. Согласно второму закону термодинамики, обратная абсолютнал пгемггерагггура 1г Т является интегрирующим множителем для бсг; получающаяся в результате функция состояния называется энтропией о, так что для квазистатическнх процессов аЯ = бОгТ. Зто дополняет соотношенян, приведенные в начало задач 1 Зг и 1.5.

Используя эти соотношения, где в качестве эмпирической температуры следует выбрать абсолютную температуру как наиболее удобную, установить следующие результаты. [Заметим, что для квазистатнческого аднабатпческого процесса энтропия постоянна.] а) Расс»гатривая соотношения г[бг —" Та$ — рг]и, дР = = д (11 — ТЪ), дН = д (11 + ри) гг ЗС = д (11 + ри — ТЬ), получить гоотноигсния г)гагггвелла [Здесь Р— свободная энерют, Π— энтальпия (тепловая функция) п 6 — терлгодинамикеский потенциал Риббса г),] ') Употребляемые в оригинале термины <свободная энергия Гельмголька» я «свободная аяергия Гвббсаг> при переводе заменены на общепринятые в советской литературе.

— Прим. ред. 2-ОЗВВ Глава 1 б) в= (д ) в р — = (дт) в вп р =- Т ( — ), тв = Т ( — ) в) 1рш, =- — ХСР, 1вжр — 7С„, 1»(р — — — 7 (Ср — С„). г) Имея в виду зги и предыдущие соотношения, указать, какие из шести функций С, 1, т слодует использовать как независимые величины, через которые могут быть выражены остальные. Решение а) Применяя процедуру, указанную в задаче 1.2, и. «6», к уравнению для «1У, приходам к первому искомому результату. Затем этот же метод можно примеяить к вырая«ению Ы (У вЂ” ТЗ) = НУ вЂ” Тоо' — ЫТ = — — рй — БоТ.

Это дает последнее искомое соотношение. Два оставшихся реаультата получаются аналогично. б) Эти результаты непосредственно следуют из уравнения, приведенного в начале задачи 1.3, за исключением выражений для 1, и 1р, для установления которых нужны, кроме того, соотношения Максвелла. Например, из соотношения 7«»Я = С„бТ + + 1,«Ь следует в) Имеам из п. «6» в» = — 7 ( т) = — 7С «дд« 1 дт вр 1т =7»( — ) =ТС.

вд5« '1 дт В задаче 1.3, п. «а» было показано, что м /лр — '+ — =1. ~в 1р Подставляя новые соотношения для ж, и ш, получающиеся нз второго закона, приходим к искомому результату тс тс, Р + в врв» 1»1р Закона термодинамики 19 г) Выберем 1, и теплоемкости. Для других величин имеем ТСа т,= — ' (см. п. «в»), г' » т„= ' ", (см.

результат задачи 1Л), р С вЂ” Са — Т (см. и. «в»). ео 1.8. В обозначениях задачи 1.4 получить следующие результаты: Ср — Са=Т ( — ) ( — ) .=-Тр а) Яр Кт Ка -- Ти б) в) Используя задачу 1.5, показать, что ирн адиабатнческом квазистатическом процессе величина Техр ~ ~ Г«)(1п о)~ длн простого газа остается постоянной; здесь à — коэффициент Грюнайзена, введенный в задаче 1.4, и и, — удельный объем. где использован результат задачи 1.7, п.