tasks (Задачи)

1 Задачи по физике. Мехмат, 9 семестр. Яасть | 1. Провести квантование по Бору-Зоммсрфсльду одномерного гармонического осциллятора: 2 а Н= — +— 2т 2 2. Провести квантование по Бору движения заряженной частвщы в постоянном однородном магнитном поло В в плоскости ортогональной В, представив гамильтониан в видо: (р — -',А) 2т где вектор-потенциал А = ~~г х В. 3.

Найти измснснис во времени волновой функции свободной частицы заданной при $ = О (расплывание волнового пакета) х21 ф(х,О) = Аехр 2а~~ 4. Найти,как изменяются сточенном времени срсднссзначснисидиспсрсиякоординаты для одномерного волнового пакета, сели в момент времени 1 = О волновая функция имеет вид ха ф(х,О) = Аехр — — + ъйех 2а2 Вычисления провести в шрсдингсровской картине а также в картине Гсйзснбсрга. 5. Определить уровни энсргии одномерного движения в полс у(х) = уе9(~х~ — а). Отдельно рассмотреть продел Ус — ~ оо, 6. Найти спектр энергий связанных состояний в поло У = — а(с(х — а/2) + с(х+ а/2)), а > О. При каких д энергия связи "одномерной молскулы" Е = Ед(а)+д~/а (где Ес(а) — энергия основного состояния) имеет минимум? 7.

Найти комплсксныс собствснныс значения энергии квазистационарных состояний в поло У = оо В( — х) + ас(х — а), а ) О, предполагая, что при х > а 4~(х) = Аехр(4йх), й е С. 8. Найти спектр энергий частицы, движущейся в поло У = а ~, 6(х — ап). 9. Найти коэффициент прохождения чсрсз потенциальный барьер У = Усд(а/2 — )х~), Уе,а) О. 10. Найти коэффициснт прохождсния чсрсз потснциальный барьср У = п6(х). 11. Построить гсйзснбсрговскис опсраторы координаты и импульса для частицы движущсйся в однородном поло У= — Рх а такжс для гармоничсского осциллятра. Показать, что в послсднсм случас сущсствуют нсраеплывающисся волновыс паксты.

12. Построить гсйзснбсрговскис опсраторы координаты и импульса для элсктрона в однородном магнитном поло 13. Записать стационарнос уравнснис Шрсдингсра в импульсном прсдставлснии для одномсрного движсвия в поло У= — аб(х), а>0 и построить рсшсния, принадлсжащис дискрстному и нспрсрывному участкам спсктра. 14. Найти энсргстичсскис уровни частицы движущсйся в потснциальном полс слсдующсго вида: тпрр х У = сод(-х) + 2 15. Найти значсния слсдующих матричных элсмснтов для гармоничсского осциллятора: (О/х~~~1), (О~х~~~/2003).

16. Имсст ли опсратор 4 ~ самосопряжснныс расширсния в Ьэ((0, оо))? Построить Д~ я самосопряжснныс расширсния опсратора з — „в Ь|([0, 1]) 17. Получить опсратор каноничсски сопряжсвный радиальной координатс г. Каков явный вид этого опсратора в координатном прсдставлснии? 1. Найти козффицнснты в рскуррснтных соотношсниях для нормированных собствснных вскторов ~1, тп > опсраторов Ь~ = Ь~ + Ь2 + Х ~ и Ь, И+~1,т >= С~(,т+1 >, Ь ~(,т >= Щ,тп — 1 >, гдс Ь< =- Ь, ~ «Е„.

2. Найти спсктр энсргнй частицы в «нспробиваамой конссрвной банкса и=о, Р ,Р<т <~,ю<.<ь, и У = оо во внсшнсй области. 3. Вычислить срсднсс значснис кинстнчсской энсргии элсктрона в основном состоянии атома водорода 4. Доказать соотношснис е'" = ~~ «'(21+ 1)ЯЯт)Р~(х(т), ь=а <нт,<т*<, „-,ф,р „,, фу«ц,< в~ ~, Р< ~,~ Лсжандра.

5. Вычислить амплитуду расссяния частицы в потснциальном поло ~1(т) = — Уо (т с а), У(т) = О (т > а) в прсдслс низких энсргий. б. Проквантовать движснис элсктрона в атомс водорода алгсбраичсски, используя интсграл движсния Лапласа-Рунго-Ловца и симмстрию ЯО(4). 7. Построить интсгралы даижсния для элсктрона в постоянном и однородном магнитном поло (описывас жом уравнснисм Паули) включая спиновый. Доказать, что угловая скорость прсцсссни спина совпцдаст с угловой скоростью орбитального движсния.

8. В рамках тсории возмущсний рассчитать расщсплснис уровнсй атома водорода (с учстом спина злсктрона) в слабом однородном магнитном поло. Спин- орбитальным взалмодсйствисм прснсбрсчь. 9. В борновскол« приближснни вычислить диффсрснциальнос ссчснис расссяния с на потснцналс Юкавы: У(т) = д 10. Построить квазистационарныс состояния в цснтральном поло У = ао(т — 1т) со значсниями орбитального момснта 1 = О, 1 11. Построить гсйзснбсрговский опсратор спина элсктрона в однородном магнитном поло, зависящсм от врсмсни.

12. Построить спиновыс состояния двух элсктронов с опрсдслснными значсниями полного спина и сго проскции. 13. Нсйтральная частица со спином Я = ~ и магнитным момснтом р находится при 1 = 0 в состоянии с проскцисй спина на нскоторос направлснис, равной —. Рассмотрсть прсцсссию магнитного момснта в магнитном полс, псрпсндикулярном этому направлснию и имсющсм нвпряжснность В. Рсшить задачу в прсдставлснии Гсйзснбсрга.

Найти направлснис, вдоль которого ориснтирован спин в момснт врсмони $. 14. Найти собствснныс значсния и собствснныс вскторы опсратора схр(оьа~), гдс о'ь — матрицы Паули, а а~, ар, аз — дсйствитсльныс числа. 15. В рамках тсории возмущсний вычислить поправку к энсргии орто- и парагслия в основном состоянии за счст взаимодсйствия мсжду элсктронами.

16, Вычислить всроятности квантовых псрсходов одномсрного гармонического осциллятора под дсйствисм возмущсния Ъ'= ахб(~). 17. Построить матрицу плотности для гармоничсского осциллятора в тсрмостатс при тсмпсратурс Т. 18. Найти КПД замкнутого цикла из двух изотсрм при тсмпсратурс Т~, Т~ и двух изохор Р~, Р~. 19. Выразить диспсрсию энсргии систсмы в тсрмостатс чсрсз тсмпсратуру и тсплосмкость при постоянном объсмс 20. Найти соотношснис мсжду внутрсннсй энсргисй и давлснисм чсрного излучсния при тсмпсратурс Т.

21. Вычислить тсплосмкость идсального фсрми-газа при низких тсмпсратурах. 22. Получить урввнснис состояния вырождснного рслятивистского Фсрми-газа. 'Яд ~~~',~ ';, ~м ~г' '~а ~ ~~",А~М ' ~„~„~жеди,о .,~рф~Мш~й ИЖ М~Ф" ~~" ~~4. — Ь ~ ', Щ И-4. ' '14'--. '5~ Я Й с Л~ Кй~иЯЫЫ~44~4- ~'~~ ~ мЩ,,ус~а~ 7/4ФМ~Ф~М4~ . й,фх, ' .ЫЪюФМФ, 4, Ь~-~""'~~ 'Р' 1 я ~а ~ о: -:-- ';::- (Ф~~айя, мм~~,Жс~ж~ ~Й~ф~~~~""Р: / ~4СЕЮ~ фИ(~й~44~" ''"'; —,, ~~! ., ~$.~ 'д ), ~~ ~ )~ ,Р Д -("' . ~ у.'фА,.; 1Р:~1~~,м~,, '-.~Кф Й~ "--6~4~» ~ .

р„у~~р „~~',~~~. ~, „~~„~',~~:~.ур~~ 1;,~ ~.;~ф >+~с'~ 3 с у ,'с.~Й М' '. ф! " ' ~6х-. К6~ф-7й,'-, Ф.': Фф-. " д ~Е':Й Сл 6.4. — ~ ~,~, 6.д, -.( —,З„.) 1,", !......: ~ '=-: ~ Я~, ~ ~(. -~~,~,'.~.д,,' ~ -к.-й, Г1-.' ~ р.р.

~ ' Е~.и. - 1 ' ' '- . ~~~4-Ь;...М' ф-, ~ М~4Ь, „~, бФ~ Ы: ~:О ' '-'... '"' ':. ' " ' Й", ~ .'г ':~-"'~ — — =- к ~,й~;~ ~, АЫ~': сс-" ~- Ъ."- у- -ф-' + -'~" '-"" -А4с ~Я~ ~ ~ =~у - ~М ~ ' Ьа, К." ~' ~- .+ '' '4 2. -(-.ф=.-' ! .=р ~.~ =,ц "' " ' = "-'- ~.:.", ' ~р.- ~'- l~.;~,~'р ~А Г,~ р /Р~ ='-г Ь.,», $+Ф~фДс$' ~.:.у ~Щ~~Х~рф~ ~~ Щ~3 ЬлР, ~ф» ~.(",~фс.Ф-ф,.С?~.4Б.~ К Ф~ > М Кфф,д «;;,»,, ф ' ~Д~' "$$) ="- 4( Я~-~ТГД ~а„' $'~~+~;.,~Р) "'~~а с ЪтФЬч Г, .:~ву,и.„...-, йК.—.,-~~Т~р), у~~~) = * ~~ / ф ~,- ~~~ ~~~ 1", зу ) ~.~~ .~'гл у, +~. $.~,ь+~д.Ц~,ф — а,-~с~ =р,. ~Ц~ -",Я„~ фф ~~ ~р~-.. а,.

~ Ц -~~'г~ -а, $ ~~- Смет~ ф~ ро игл ~~~ ~' ~ Р'Ф~) ~Ж>= '~~1 ~д, ъ 'Й М О ~ ~7м~~) ( ~фк ~~~'~~ ь'а б «Лм'4 Ьт ха):> '6 (ЧБФ~=' Ь~~ Х~) Ф.~ фф фбАИ, .ИХ КФ~, ~фрей ' 4й~~~ф М~ Йу 1~у)Гс, ' М~ '.."Х~ «=ь' ( ~ -~ -' ~ ) —.';;, ~ .="-'- ~ ~~=Я~~" ~~ ~ ~'~ =й~ ь, Ю7:.,;~а~;~ ф.; ','й+4 Р . ~„,,~~ ~ф,.' 'ф ~: Г~.йй~.~ ~~~ Д~ф,.ь,, —,2, а .„~;, Ж1'" Ъ, ~=: ~3~:: в~: ', ',:..":. ",."." ~ф~'~' $А~-л~~ . й~ 1-М риФ.~с~„..еъ д, ~ .~ ~,~~~~у .Я~ .:... ' ' ф," Й4~~ДД~„' ."~~~~ у~.

~~~ у~ ~"Щ~~~~ ~ ?~М.~'Ъ~ 1.йЕ Я .ЭКф' 74М. ~ ЫМф,~~,: К ~~й; РИФА М '«~ И (.Я ) ..+ ф„~ „. ~ ~~~~ ~ ~, . ' ', ф ."~~6~ф ЫЖМ~4 4~, /'-Фс/-~' Я~Ф~Мм~л~' ~~Г 'Я3~~,—: . Й =, й-к~ н 1 Ь-М =пуф . ~ ~МД*Д" у~~~~ уд~:: "?М~ЛФ~4~ ~Ф~, ~„, ..., „, ~„-.,~~, а~, ~ы(ре~, ЪЮ ~~-, ~.„,~;~~~О' ", Ф: ~ф ,~ .

-р.~~:~. ~~~ ~,, — — — — — — — Ф ~1~) =' ь' ' Ц у. ~' ~ -Щ~., ~~„~„д ~<.~:я~Х~2~Мс~-Ф„( ...Д ру„»," ~, ) ~ ъ Д ф. ~ ~~ ~~ ид~й~с~д',' ~::,'."'." .",.""Ё',~Д,' А~". Ьф(~й~ с ~ ~ФВФ), -".~ф 4 ~» Ф~~~ Ь ф~,~~й ~О~.,~ ф-~~»."::„' ~." ф.'.,— ', . ф:~, ~,. ~,-:~: ~..„'; 4 ..-: Мьа ф~ ~; '. ~'р ~(~у~~ «~~,~ . $; Яф~Я ~" " -.~~- ~~Е» Ф~",'. ' 'ф!' ~Ф4~ Д ~ Ж~х..~~, 6,, =.

~1.и А~:," В,:-ЪГи.:и~а иь;~,' "~У""'."~~ ФЪ ф~ «4~~:У~см!ай~ " '~Мчи '7 .( *~Ы ~~й'"4: ~ Ы. ~~' ® ф~Р Ф~~ ь6сФ ф4Ъ~ + с с: ( ~-, г~ ~дгйа.~) —,и у~=.; ~ ~~~ ~~ = лу .~ и.(ъ~~ рИ ЭВ Г ' ~-у' ~р,4лЫ ~д" и.~ ~ ~~.рз4 Ю -4су ~,- Г~~Ж+Я. ~~ .цю ~Фр, /2шгМ~е й ~Ъж) Ф7' ' ~4Й~~ ~.» ИДЫ4 ° Й ~„~М ~~~ "'ь 2 Йа ~~~~фч И Ъ1~. 4у;», фЩ+~) фее ГЙА~"'~ «~.Ю 337~~ ~у~~.~ ~~ /4 ГЫ =ь Г~~-4 Яг~~ ~~~+1.) ~~ д~~р ~~ Ц~~~Щ+Х ~ „: з ~ ~(ф~~. $..1) « г~ф~Я 4 ~, ) ( 1 Ф,. ~ ~~ ~~Я -7~~М.- ~~~ .

Ъ ~у,у.у-1~: Ф ф ':.';$Ф"ОЗ. Я;~ ~ ~„"„'~ ЮМЙ ~'о1: ~~~2) =.~--- ~~ -~ Р~~".В~':: «~-/~~ ф -;:= ~.~'-,.;~ ~ ~фф$:. ~456,"1+-.)~ ОйС~'-~-~ ~.-. (М»ф 4'йл .: НА:Л~ ~ МЙ~1,с. '~ ~-4 1'У-" ' ~ ~ =Щ ~а у..~ ~ ею'у 8~1 Ь ' ~ ~'. '., )2 А~'Т р 14Ю~ ~~4' с ~ф~) "~ ЦХВ~'- ' Йфйк":Й4юе'ФМ~' ~,""). И,р~,Е.ф ~Д» д~~~,.р ф Д '.

~Ъ~ 6Мсеффйю$4аФ ф. +,, ~~+ и. = ГФь Ф, ~ ~,Д,Йф .~.4 ~ /'с.И р~ ~, ~р~ ~уЫГ" йЖ.: / р ~ ~й ~Ф" ®+„)"'~ ~6Ф~ . ~Ь.~+О. Яф~,'~~ "~~ ~Ф ~.~ Фс: ~ ~ ~ ~ .'+) ~ ~~ У фъ. Я'-А4 ~ И ~ Й; +Ъ4ИР ~-! 70 Д,ФФ-~7,",~.Д'.,~ ~к у: ~~, ~~~, ~у 1,~Ы =~ ь.~ ьус~.~.а с.".- '- ~'. Я'-; ~'~."~ ~4 +2 ФС' 2 „~~~ йф),Ь, г „,— ~,р~м~ ~ ~ "+ ', ' ~~ И~=~» 'м - Злее Ь Г 1. ~,'~„.ф т с ~ЖА~ - ~ =~~- --. -«-'~ -ы;,-, ".-..'."ы..

=-.--.,-~--.- 2ас:~ , ." ' 'д ~.4~В~~: у ',2,ф~ "~ ~Г~Ъ'И 'С~-~!а~," !' г) . '„,.щ~е~ ' ~'-7 Д зТ - ~-'.-- %~"-"' ~~"а ф:,""."' К~' ~' ~ ° р~,"," ~ - -- ~ ~~ф~ф ~ ф"р '-.".7 7Л ЯЙ~ВЖ и Й .«фс амсМ-И гАХВО..4~ ...... 6Ж4.— "«~.Й», ХффсЕХй4ф . Х%45й4~г" 4~:;~ф.'-М«'.:й".-'-~„ !у.:.. 1 ъ' '~ 'Я ~ ~р .~ р';,.т ф» . ~- ф~ ~ 'а и,с А~ХЪ.~уЖй ~с~ й~ 6 4ф'И. ф"~~~::( ~ 4::м: „асс ~. Ы 1+» ~-~~~-:~Р- ~ ~у ~ '~) =ф )а~~ е"'~ 6. б Й ~ об® ь ~+ '-4Р~-~ ~-~~ф.

=о А'у ж ~ 1р)уФ~~,~" ~ ~ ~~.:...у'~- ~"~ '~ ~ Ъ;Р ~,Ъ~д.. , о ' ~~=,.г ~~.. „"- ', . У ~„Р' -+ . Я а) ~ ~„~.;г)~ у: '+ '~~~ Р ~ р) 4й Ъ.~ .~. Х вЂ” ~ ~~~~~+ ~~ -~- — ',Б' мф! ~фФ-~ — "~Г4+ Э~~- ~ УР р ' г ~» М вЂ” ~~~ -Ц~) "):~в. у» ' ~». Р Г. ~~ ~) — ~ 4 4 *?.~ ' .-- ~.