Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 3

Этот вопрос мы обсудим позднее (н. 3.2). Движение жидкости может быть также описано, если мы будем следить за положением каждой частицы жидкости для всех моментов вре»<евйл. Если стоять на такой точке зрения, то можно вывести так называемые лагранжевы уравнения движения, определяющие положение (х, у, з) каждой частицы как функцию 1 и трех параметров, характеризующих частицу, т.

е. положение частицы прн 1=1««). Эа исключением некоторых случаев одномерного течения, более удобно пользоваться уравнениями Эйлера. Далее взводу используются следующие основные понятия. Пространственная кривая, которую описывает движущаяся частица, называется ее нутвм или траекторией, Семейство таких траекторий определяется дифференциальным уравнением Иг/Ш = =<1(г, 1). С другой стороны, в каждый фиксированный момент времени 1=1« существует двухпараметрнческое семейство линий тока: в момент 1=1 линия тока касается в каждой своей точке вектора скорости, так что дифференциальное уравнение линий тока имеет внд аг х <1(г, 1») =0 или «(х:е(у:аз= у„: дв: д„где <1„= а„(х, У, з, 1«) и т.

д. Таким образом, в общем случае семейство линий тока изменяется со временем. Ясно, что линия тока, проходящая через некоторую точку г при 1=1„касается траектории частицы, проходящей в данный момент через зту точку. В частном случае, когда движение установившееся, т. е. когда в каждой точке Р в любой момент времени происходит одно и то же, существует единственное семейство линий тока, которое тогда должно совпадать с семейством траекторий.

В общем случае удобно, кроме того, рассматривать линии в<истиц [или «мировые линии» (<г«ог1<1 11вез»)). Эти линии определяются в четырехмерном пространстве х, у, з, 1; каждая из них соответствует одной частице. В гл. 111 они будут фигурировать как линии в плоскости х, 1. Траектория частицы является проекцией соответствующей линии частицы на трехмерное простран- СТВО Х, у, з. 3. Уравнение неразрывности Чтобы выразить пункт (а) аакона Ньютона — сохранение массы— в форме дифференциального уравнения, нужно выполнить операцию дифференцирования в формуле (2), преобразовав надлежащи»< образом интеграл (см.

ниже п. 2.6). Однако проще будет ~нова рассмотреть прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 1. Через левую грань параллелепипеда в каждую секунду втекает масса жидкости, равная йд„«(у<Ь, а через праВую грань вытекает масса жидкости, равная [йд„+<1(й<1„))йуйз Гл. Г. Вееаение где а' (Ед„) — произведение ах и производной от Ед„в направлении оси х, или (д(Ед„)/дх] ссх. Таким обраэом, чистый прирост массы в данном элементе объема, выаваикый течением черве эти дее грани, равен — [д (Ед„)(дх) с(У; аналогичные выражения получаются и для других пар граней.

Если воспользоваться обоапачеиием йч ч (диеереениия вектора ч) для суммы до„/дх -с до„/ду+ +до,Сдг, то общее иэмвиеиие массы эа единицу времени будет равно — йч(Ес1) Л'. Если масса каждой движущейся частицы яе зависит от времени, то разность между массой, вошедшей в параллелепипед, и массой, вышедшей из него, должна быть уравиовешеиа эа счет изменения плотности массы, находящейся внутри параллелепипеда. Масса внутри параллелепипеда вначале была равна Ес(у, а через время сй будет равна (Е+ ИЕ) ду, где ЫЕ = (ддддС) ссС. Таким образом, изменение массы внутри параллелепипеда эа единицу времеви равно (дЕ/дс)аУ, так что йч(ее) = — ае . (Г() Это соотношение,' верное для любой сплошной среды, известно как уравнение нераерыеностиэ).

Уравнение (11) принимает несколько иную форму, если продифференцировать Ес(, что дает д — +д — +д — +Ейчс1= — —; ее ае ае . ае л ае ч аа * ас ас ' если затем воспользоваться правилом Эйлера (4), то ейче= — —,. ие ссс ' (ГГ) В далькейшем будут испольвовакы обе формы этого уравнения, и (П) и (1Г). В случае установившегося течения уравнение (П) сводится к уравнению йч(еп) = О, в то время как в случае Е=сопэс, т. е. для несжимаемой жидкости, уравпепив (1Г) дает йчс1= 0 как для установившегося, так и для иеустйяовившвгося течения. Уравнение кераэрывиости остается неизменным и при наличии вязкости. 4.

Замыкающее уравнение Уравиевия (1) и (11), выражающие заковы Ньютона для двяжеиия идеальной жидкости и известные обычно под иазваниелс ураененшс 'Эйлера, содержат одно ввкторвое и одно скалярное уравиекив или четыре скалярных уравнения. В эти уравнения 1.е. Заыыееюы»ее ыреененые 17 Р (р, о, 11, х, у, з, 1) = О, (111) причем предполагается, что производные от р, й и е1 могут также входить в Р '). Простейшая форма замыкающего уравнения получается в предположении, что плотность о является постоянной величиной, не зависящей от х, у, г и г.

Очевидно, что если о постоянно, то число неизвестных уменьшается до четырех и достаточно уравнений (1) н (П). Это случай несжимаемой жидкости. Самая обычная форма аамыкающего уравнения выражает предположение, что р и о являются переменными, но все время связаны вааимно однозначным соотношением вида Р(р. й) =О (Ш') Это означает, что если давление. одинаково в любых двух точ- ках, то плотность также одинакова в этих двух точках незави- симо от того, имеет ли это место в один момент времени или з разные моменты. Вот примеры такой связи между р и о: — = сопзс, Р е (5а) — „= сопзС, (5б) е" р=А — —, В>0 '), (5в) Я где х, А и  — постоянные.

В первом из этих примеров давление и плотность пропорциональны; в общем, случае предполаг Мизес входят, однако, пять неизвестных: д„, ды, дю о и р. Отсюда следует, что для того, чтобы решение системы уравнений при данных «граничных условиях» определялось единственным образом, необходимо еще одно уравнение. Граничные условия в обобщенном смысле представляют собой уравнения, которые содержат те же самые переменные и которые, однако, удовлетворяются не в четырехмерном пространстве х, у, з, е, а только в некоторых определенных подпространствах, например на некоторой поверхности Ф(х, у, з) =0 для всех г (граничные условия в более узком смысле) или в некоторый момент времени 1=1» для всех х, у, з (начальные условия). Не существует общего физического аанона, который снабдил бы нас пятым уравнением, справедливым для всех случаев движения идеальной жидкости, как это имеет место для уравнений(1) и (11), То, что может и доля«но быть прибавлено к уравнениям (1) и (Щ, есть некоторое предположение, определяющее частный вид рассматриваемого движения.

Это пятое уравнение мы будем называть замыкающим уравнением. Общая форма его такова: Гл. Г. Введение гается, что с увеличением давления плотность увеличивается н наоборот, так что Ыр(дй > О. Если замыкающее уравнение имеет форму (11Г), то жидкость называется упругой (по аналогии с упругим телом, где поле напряжения определяет поле деформаций и наоборот). Большая часть результатов, полученных до сих пор в теории сжимаемой жидкости, справедлива только для упругой жидкости*). Частное предположение, что замыкающее уравнение имеет форму (111'), оказывается, однако, слишком стеснительным, например, для того чтобы можно было удовлетворить условиям, выполняющимся для атмосферы в целом. Из термодинамики хорошо известно, что для каждого типа вещества существует определенное соотношение между тремя переменными: плотностью, давлением и температурой, так называемое уравнение состояния.

Таким образом, температура может быть вычислена, если р и д известны. Если считать, что атмосфера является упругой, т. е. что замыкающее уравнение имеет вид (11Г), то достаточно измерить давление р, чтобы узнать также и температуру. Ясно, что это не так, поэтому замыкающее уравнение в форме (11Г) не может быть выполнено для атмосферы в целом. (Уравнение состояния не является замыкающим уравнением даже более общего вида (1П), поскольку оно включает температуру как новую переменную.) Во многих аадачах аэродинамики необходимо рассматривать только сравнительно малые участки атмосферы, например в окрестности самолета.

В этих случаях в принципе нет возражений против использования замыкающего уравнения в форме (111'), если это поаволяет решить задачу. Частные случаи соотношений между р и о, которые даны формулами (5), могут быть интерпретированы при помощи основных понятий термодинамики. Для так называеьюго совершенного газа**) уравнение состояния записывается так: (6) здесь Т вЂ” абсолютная температура, а  — постоянная для данного газа величина е).

Для сухого воздуха, если рассматривать его как совершенный газ, величина Л может быть взята равной 29,2 м!град. Из уравнения (6) следует, что для совершенного «) Соответствующее течение жидкости з отечественной литературе называется баротропиым. Поэтому мы будем польеоеаться термином «баротрояяый» по отзошевию к потоку, сохраияя за самой жидкостью иегееяие «упругой» (е)аеас), кек сто делает автор. — Прим.