Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости, страница 2

Вся рукопись была прочитана Г. Куерти, который предложил важные улучшения. С. Гольдштейн по временам предоставлял нам возможность пользоваться его уникальной способностью охватывать всю механику в целом. М. Шиффер всегда был готов дать совет по тонким вопросам, более близким к. математике. Влияние важного вклада К. Трусделла в историю механики ясно ощущается во многих примечаниях; он также охотно снабжал нас более специальными сведениями.

Весьма существенная помощь была оказана нам В. Гибсоном и С. Шагом, которым мы сердечно благодарны за глубокий интерес и ценную помощь. Приносим также благодарность М. Мургаи, составившему предметный указатель, и Д. Рубенфельду, сделавшему чертежи. Мы чрезвычайно благодарны Ф. Н. Френкилю как вдумчивому и терпеливому консультанту. Работа Гильды Гейрннгер на факультете техники и прикладной физики Гарвардского университета была любезно поддержана Научно-исследовательским управлением военно-морских сил; работа Дж. Ладфорда протекала при сочувственном отношении сотрудников Института гидродинамики и прикладной математики Мерилендского университета и его директора М.

Х. Мартина. Наконец, мы выражаем здесь гораздо больше, чем формальную благодарность, Гаретту Биркгофу, который предоставил Г. Гейрингер возможность выполнить ее задачу при идеальных условиях работы. Его внимательность и заботы сыграли значительную роль в сохранении этой последней работы Рихарда Мизеса. Гильда Гейрингер, Доте. Ладфорд Кембридж, Массачусетс конец $958 г. Любое рассуждение, любое описание, в которое мы облекаем явления действительности, сопровозкдается лейтмотивом, постоянно повторяющейся мелодией: мы обязаны подчиняться опыту и подвергать непрекращающейся логической проверке язык, которым мы пользуемся.

Из ННОНУНПИКОВАННОИ РАБОТЫ Р. МИЗЕСА ГЛАВА! ВВЕДЕНИЕ 1 1. ТРН ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЯ 1. Закон Ньютона Теория движения жидкости (сжив~аемой или несжимаемой в зависимости от того, имеем ли мы дело с капельной жидкостью или газом) основана на законах Ньютона для движения материальной точки. Сущность закона Ньютона может быть выражена следующими двумя утверждениями: а) каждой материальной точке можно поставить в соответствие некоторое положительное число лт, которое не зависит от времени и нааывается массой этой точки; б) точка движется таким обрааом, что в каждый момент времени произведение вектора ее ускорения на массу т равно сумме некоторых других векторов, называемых силами и определяемых условиями, при которых происходит двин(ение (второй закон Ньютона) '), Например, если пуля движется в атмосфере, то одной иа сил будет сила тяжести ти з), направленная вертикально вниз (я=981 см/сект при 45' с.ш.), а другой силой, по.

направлению противоположной вектору скорости, будет сопротивление воздуха. или трение, величина которого зависит от величины скорости и т. и. При помощи предельного перехода этот аакон можно распространить на случай сплошной среды, в каждой точке которой существует вектор скорости и и вектор ускорения Ыц/Ж. Пусть Р†. точка, положение которой определяется координатами (и, у, з) или радиусом-вектором г, а НК вЂ” элемент объема в окрестности точки Р; этому объему можно приписать массу йсЖ, где о — плот- ') Векторы будут обозначаться жирным шрифтом а, т и т.

п. Абсолютная величина нектора будет обозначаться той же буквой светлым куре"вом: а= ай компоненты бУдУт обозначатьса индексами: а„, аз.... Скалярное и векторное произведения векторов а и Ь будут обозначаться соответственно через а Ь и а х Ь. 12 Гл. Г. Введение ность, или масса, отнесенная к единице объема. Плотность можно измерять в граммах на кубический сантиметр. Для воздуха при стандартных условиях (температура 15' С, давление 760 мм рт. ст. или 1,033 кс /см') 9= 1,293 г/дмг; для сравнения приводим плотность воды, 9 = 1000 г!дмг.

На этот элемент объема действует внешняя сила тяжести йй Ж~ и внутренние силы, возникающие вследствие взаимодействия с соседними элементами объема. Таким образом, если все силы, действующие на элемент объема, разделить на ссК, то утверждение (б) можно для начала записать в следующем виде: 9 — = йб+ Внутренние силы, действующие на единичный объем. (1) Й$ Чтобы сформулировать часть (а) аакона Ньютона, заметим, что масса, приписываемая лсобой конечной части сплошной среды, равна ~ 9 ссФ', а так как масса с течением времени не изменяется, то ,~ реп =О. (2) В последующих пунктах эти два соотношения будут рассмотрены более подробно, но сначала необходимо выяснить смысл символа дифференцирования сс,сЖ, фигурирующего в уравнениях (1) и (2).

Плотность 9 и вектор скорости с1 рассматриваются как функции четырех переменных х, у, з и с, так что можно брать частные производные по времени и пространственным координатам, а также производную по любому направлению 1, которая задается следующей формулой: ' д д д д — =соз(1, х) — +сов(1, у) — +сов(1, з) —, дС ' дх ду ' дс' где соз (1, х), соз (1, у) и соз (1, з) — направляющие косинусы для направления 1. В частности, если 1 совпадает с направлением вектора скорости ц, то направлясощие косинусы могут быть выражены через сс, так что получаем д д д ' д (3) где г использовано вместо 1 для того, чтобы обозначить направление линии тока; для этого направления ссг = дЖ.

Символ с(/Ф в уравнениях (1) и (2) означает не частное дифференцирование по с при постоянных х, у, з, а дифференцирование для данной частицы, положение которой изменяется согласно уравнению (3), т. е. сС д сСх д сСу д ~й д — = — + — — + — — + — — = Ыс дс сСс дх дс ду дс дт д д д д д д = — + 'у — + с( — + с) = — + д — .

дс "дх гду * дг дс д8' (4) Пз. Уравнение Ньютона днл идеальней у«едко«обе Вектор ускорения йс(/йс является скоростью изменения во времени вектора скорости ц для определенной материальной частицы, которая движется в направлении «1 со скоростью у/ = йв/йс. Операцию й/Ыс можно назвать полным дифференцированием в отличие от частного дифференцирования по времени в фиксированной точке пространства. Другая форма записи уравнения (4) такова: е)с д«+ (Ч'Огай). д (4') Здесь через ягай обозначен символический вектор с компонентами д/дх, д/ду и д/дг в соответствии с хорошо известным обозначением игай/ для вектора с компонентами д//дх, д//ду и д//дз, который называется градиентом /. Скалярное произведение с1 игай есть произведение у/ на проекцию игай на направление «1, т.

е. а д/де= б/„д/дх+ д„д/ду+ д,д/дг. Мы будем говорить, что уравнения (4) и (4') определясот вйлерово правило дифференцированию»). Когда условия таковы, что частные производные д/дС от всех переменных обращаются в нуль, то процесс называется установивисимсл, например установившееся течение, установившееся движение. Полное дифференцирование по времени приводится тогда к операции д д/дв. 2. Уравнение Ньютона для идеальной жидкости Выписанное ранее уравнение (1) выполняется для произвольной непрерывно распределенной массы, в каждой точке которой плотность о определена в любой момент времени.

Различные типы сплошных сред характеризуются различной формой слагаемого, представляющего силы взаимодействия между соседними частицами жидкости. Жидкость, относительно которой предполагается, что сила, действующая на любую элементарную площадку й8, по которой соприкасаются две жидкие частицы, направлена по нормали и элементарной плон/адле ИЮ,' называется идеальной. Можно показать (см., например, (16)е)), что в каждой точке Р напряжение, или сила, действующая на единичнусо площадку, не зависит от ориентации (направления нормали) йЮ.

Величина этого напряжения называется гидравлическим давлением, или, кратко, давлением, Р в точке Р. Слово «давление» показывает, что эта сила стремится сжать частицу жидкости, на котоРую она действует; отрицательные значения для р не допуска«ется. Если выделить в жидкости элементарный прямоугольный параллелепипед, имеющий объем йу=йхйуйг (см. рис. 1), то б р бр буб бубу б «ь * б ) Н б у р помещенному в конце ванги. $4 Гл.

У. Введение давления, направленные вдоль оси х. Если ось х направлена вправо, то на левую грань параллелепипеда действует сила ре(уеьг, г Р н с. 4. Элемент объема в форме прямоугольного параллелепипеда н силы давлении, действующие на него в на- правлении осн х. направленная вправо, а на правую грань — сила (р+Ыр) ееуеьг, направленная влево; здесь е(р=(др(дх) Ых.

Результирующая сила в направлении оси х, таким образом, равна д др др дх Поэтому действующая на единичный объем внешняя сила, которая входит в уравнение (1), имеет составлявощую по оси х, равную — др!дх. Аналогичным образом устанавливается, что остальные ее составляющие равны — др!ду и — др!дг соответственно. Следовательно, уравнение о —,=Ея — нгаар Й) выралвает пункт (б) закона Ньютона. Это уравнение впервые было получено Леонардом Эйлером (1755), но обычно его называют уравнением Ньютона з) *). Векторное уравнение (1) эквивалентно трем скалярным уравнениям ' е „=йу.— —,„,1 Ив„др <Це др (1') ет=еу,— — „.

) Уравнения (1) и (Г) справедливы только для идеальной жидкости. Если учитывать вяакость, то в выражение для внутренней силы, *) В отечественной литературе уравнение (1) называется уравнением ЭйлеРа,— Прим. ред. 1.8. яр«вменив иераврывнвети 15 действующей на единичный объем, необходимо включить дополнительные слагаемые н таким образом обобщить уравнение (1).