В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979), страница 2

... . 370 4А.1. Уравнение Эйлера. Условие Вейерштрасса. Условие Лежандра (370). 4.4.2. Условия второго порядка для слабого экстремума. Условия Лежандра и Якоби (373). 4А.З.,Гамильтонов формализм. Теорема об интегральном ннварианте (377). 4.4.4. Достаточные условия абсолютного экстремума в простейшей задаче (386). 4.4.5. Сопряженные точки. Достаточные усЛовия сильного и слабого экстремума (39!).

4.4,6. Теорема Э. Нйгер (402). 4.4.7, Вариациониый принцип и законы сохранения в механике (407). Комментарии и путеводитель по литературе Литература Список основных обозначений Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблеМам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных .и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в ХХ ваке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, создание электронной вычислительной техники. На атом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основание думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.

Всюду, где имеется возможность активного участия человека, возникает проблема отыскания наилучшего, или, как говорят, оптимального из возможных управлений. Вызванные к жизни потребностями экономики и техники, оптимизационные проблемы потребовали в свою очередь создания новых разделов математики. В 40-х годах исследование задач экономики породило новое направление анализа, получившее название линейного и выпуклого программирования.

В те же годы приобрели актуальность задачи управления летательными аппаратами и технологическими процессами сложной структуры. Соответствующая математическая теория была создана в середине пятидесятых годов и получила название теории оптимального управления. Выдающуюся роль сыграл в этом «принцип максимумаз Л. С. Понтрягина. В теории оптимального управления произошел синтез идей и методов исследования, с одной стороны восходящих к классикам вариационного исчисления, а с другой — вполне современных.

Ее развитие самым существенным образом связано с именами советских математиков. Эта книга задумана как учебное пособие по различным курсам оптимизации, читаемым в университетах и вузах,с повышенной математической подготовкой. Расскажем вкратце об общем замысле и плане книги. История исследования задач на экстремум, или, как сейчас обычно говорят, «экстремальных задач» началась не в наши дни — в той или иной мере такие задачи всегда привлекали внимание математиков. Мы хотели раскрыть перед читателями с самой разной предварительной подготовкой эту связь времен и неразрывность научной дороги.

Это сделано в первой главе, рассчитанной на широкую аудиторию. Хотя используемый здесь математический аппарат минимален, мы старались выдержать стиль точного математического текста, ограничиваясь наиболее выразительными, но элементарными фрагментами истории изучения экстремальных задач. Наша цель — связать воедино первоначальные замыслы И.

Кеплера и П. Ферма, задачи, поставленные Х. Гюйгенсом, И. Ньютоном и И, Бернулли, идеи и методы Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, и К. Вейерштрасса с современным этапом теории, непосредственно продолжающей исследования великих предшественников. Кроме того, в первой главе описаны методы решения конкретных задач и приведены примеры решения на базе единой идеологии задач, поставленных в разные времена учеными разных направлений. Остальная часть книги адресбвана по преимуществу математикам. Возникновение новой теории стимулировало развитие и старых и новых разделов математического анализа. Не все эти разделы должным образом представлены в современном математическом образовании.

Нам представляется, что фрагмент классического анализа, объединенный вокруг темы «неявная функция», играет ныне исключительную роль во всех аспектах конечномерного и бесконечномерного анализа. То же самое можно сказать и об основах выпуклого анализа. Наконец, для теории оптимального управления существенно, что основные факты теории дифференциальных уравнений остаются верными и для уравнений с разрывными правыми частями. 6 Названные выше три раздела анализа н геометрии излагаются во второй главе. Изложение теории собственно экстремальных задач 'представлено в третьей и четвертой главах.

Их главную часть составляет содержание обязательного полугодового курса, читавшегося авторами на механико-математическом факультете МГУ. Текст препарирован так, что доказательства основных теорем занимают не больше одной лекции. Всюду выдержан принцип полноты изложения.

Мы старались везде избежать пропусков, ссылок на очевидность и т. д. Некоторые стандартные обозначения (из теории множеств, функционального анализа и т. п.) употребляются в тексте без пояснений. Поэтому для облегчения ориентировки читателей в конце книги приведен список основных обозначений с краткой их расшифровкой. Параграфы, номера которых отмечены в тексте и в оглавлении звездочкой, призваны подвести читателя к современным методам теории экстремальных задач.

Здесь изложение более соответствует монографическому стилю, допускаются отдельные, правда минимальные, ссылки на теоремы, хотя и ставшие классическими, но находящиеся пока за пределами традиционных программ. Эти параграфы написаны на основе специальных курсов «Выпуклый анализэ, «Дополнительные главы теории экстремальных задач«и других, также читавшихся на механико-математическом факультете МГУ в течение ряда лет. Более подробно о содержании читатель может узнать из оглавления, где выделены и названЫ все важнейшие результаты и факты, нашедшие отражение в книге. Из сказанного следует, что мы рассчитываем на разную читательскую аудиторию: прежде всего — на студентов университетов и вузов с повышенным математическим курсом, но также и на инженеров, экономистов и математиков, сталкивающихся с необходимостью решать различные экстремальные задачи.

Для этих читателей написано введение, а для тех, кто интересуется теорией экстремальных задач более серьезно, в «овце помещен путеводитель по литературе — монографической и обзорной. В постановке и лекционной разработке на механико- математическом факультете МГУ курса «Оптимальное управление«очень большая заслуга принадлежит Сергею Васильевичу Фомину; по его же инициативе создана и настоящая книга. В ней использован первоначальный конспект лекций, написанный С. В. Фоминым совместно с В. М.

Тихомировым. Безвременная кончина Сергея Васильевича в расцвете сил и таланта не дала ему возможности увидеть завершение своих замыслов. Мы выражаем свою искреннюю признательность коллективу кафедры общих проблем управления механикоматематического факультета МГУ, принимавшему активное участие в обсуждении как методики преподавания курса «Оптимальное управление», так и характера изложения отдельных затрагиваемых в книге вопросов. Мы считаем своим обязательным долгом отметить, что на формирование математических концепций, положенных в основу этой книги, значительное влияние оказала творческая деятельность А.

А. Милютина. Мы благодарны А. И Маркушевичу за ценные консультации, а также А. П. Буслаеву и Г. Г. МагарилИльяеву, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд весьма полезных замечаний. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ й 1,1, Как возникают экстремальные задачи9 Людям свойственно стремление к лучшему, и если им приходится выбирать из нескольких возможностей, то желание найти среди них оптимальную представляется вполне естественным. Слово «оптимальный» происходит от латинского орНпшз, что значит — наилучший, совершенный.

Для того чтобы найти оптимальную из возможностей, приходится решать задачи на отыскание максимума илн минимума, т. е. наибольших и наименьших значений каких-то величин. Оба эти понятия — максимум и минимум — объединяются единым термином «экстремум» (от латинского ех1гешшп, означающего <крайнее»).

Поэтому задачи на отыскание максимума нли минимума называют экстремальными задачами. Методы решения н исследования различного рода экстремальных задач составляют специальные разделы математического анализа. Почти тот же смысл вкладывается в название <задачи оптимизации»; в последнем более отчетливо прослеживается связь с практическими применениями математики. Цель этой книги познакомить читателя с теорией н приемами решения экстремальных задач.