В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979)

В.М. АЛЕКСЕЕВ В.М. ТИХОМИРОВ С.В. ФОМИН ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ допущено Министеастаом ° тошево и суеднвм специальном обаалования СССР а качестве унебноло пособия Уля студентов математических снецщевьностсд ° мстил уввбпвщ заведений МОСКВА «НАУКАл ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ еРИВИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1979 22.18 А 48 УДК 519,6 Оптимальное управление. Алексеев В.

Мл Т и х о м и р о в В. М., Ф о м и н С. В. — М.; Наука. Главнаи редакция физнко-математической литературы, 1979. Главна» редакция фи«и«о-математическое латеватуР3а над»тел»став «Натка» ! 979 а -И вЂ” а а-Ваа. Исаа~раааа 20204 — 170 Книга написана на основе преподавания курса «Оптимальное управление» иа механико-математическом факультете МГУ.

Оиа состоит из трех концентров: 1) элементарный вывод обновиых условий экстремума и решение конкретных задач; 2) применение теорем дифференциального исчисления в банаховых пространствах к доказательству необкодимых условии экстремума; 3) дополнительные вопросы теории экстремальных задзч. Особенностью книги является единый подход к различным задачам иа экстремум. Книга, согласована с учебником А.

Н. Колмогорова и С, В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие, Г л а в а ' !. Введение 9 1.1, Как возникают экстремальные задачи? 1.1.1. Классическая иэопериметрическая аадача. Задача Дидоны (12). 1.1.2. Другие старинные экстремальные задачи в геометрии (16). 1,1.3. Вариационный принцип Ферма и принцип Гюйгенса.

Задача о преломлении света (20). 1.1.4, Задача о брахистохроне. Зарождение вариационного исчисления (24). 1.!.5. Аэродинамическая задача Ньютона (27). 1.1.6. Задача о рационе и транспортная задача (28). 1.1.7. Задача о быстродействии (29). $ 1.2. Как формализуются экстремальные задачи? 1.2. !. Основные определения (29). ' !.2.2. Простейшие примеры формализации экстремальных задач 31). 1.2.3. Формализация задачи Ньютона (33). .2.4. Различные формализации классической изопе- 6 нметрической задачи и задачи о брахистохроне. ростейшая задача о быстродействии (35).

1.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи о рационе (38). 1.2.6. Основные классы экстремальных за. дач (39), й 1.3. Правило множителей Лагранжа и теорема Куна — Так. хера 1.3.1. Теорема Ферма (44), 1.3.2. Правило множителей Лагранжа (47), 1.3.3. Теорема Куна — Таккера (52). 1.3.4. Доказательство конечномерной теоремы отделимости (57), 9 1.4. Простейшая аадача классического вариационного исчисления и ее обобщения 1.4,1. Уравнение Эйлера (58). !.4.2.

Необходимые условия в задаче Больна. Условия трансверсальности (64). 1.4.3. Расширения простейшей задачи (66). 1.4,4. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса (74). 1.4.5. Изопериметрическая задача н задача со старшими производными (77). $ 1.5. Задача Лагранжа и основная задача оптимального управления, 1.5.1. Постановки задач (80). 1.5.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа'(82). 1.5.3. Принцип 11 11 44 58 80 Глава 4 2.1 максимума Понтрягина (84). 1.5.4.

Доказательство принципа максимума в задаче со свободным концом (87). 4 1.6. Решение задач 1.6.!. Геометрические экстремальные задачи (95). 1.6.2. Аэродинамическая задача Ньютона (99). 1.6.3. Простейшая задача о быстродействии (103). 1.6.4, Классическая изопериметрическая задача и задача Чаплыгина (!07), 1.6.5. Задача о брахистохроне и некоторые задачи геометрии (1!2).

11, Аппарат теории экстремальных задач . Предварительные сведения из функционального анализа 2.!.!. Линейные нормированные и банаховы пространства (!15). 2.!.2. Произведение пространств. Фактор-пространство (1!7). 2.1.3. Теореца Хана— Банаха н ее следствия (120). 2.1.4. Теоремы отделимости (123).

2.1.5. Теорема Баиаха об обратном операторе и лемма о правом обратном отображении (!27). 2.1.6. Лемма о замкнутости образа (129). 2.1.7. Лемма об аниуляторе ядра регулярного оператора (130). 2.!.8. Абсолютно непрерывные функции (!Э1). 2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в пространстве С. Формула Дирихле (134). 6 2.2. Основы дифференциального исчисления в линейнмх нормированных пространствах 2.2.1. Производная по направлению, первая вариация, производные Гаго н Фреше, строгая дифференцнруемость (137). 2,2.2. Теорема о суперпозиции дифференцируемых отображений (!44).

2.2.3. Теорейао среднем и ее следствия (147). 2,2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале (151). 2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора (154). 4 2.3. Теорема о неявной функции 2.3.1. Формулировка теоремы о существовании неявной функции (!6!).

2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих отображений (162). 2.3,3. Доказательство теоремы (163). 2.3лц Классические теоремы о неявной функции и обратном отображении (166). 2.3.5. Касательное пространство и теорема Люстерника (171). 4 2.4. Днфференцируемость некоторых конкретных отображений 2.4 1. Оператор Немыцкого н оператор дифференциальной связи (174). 2:4.2. Интегральный функционал (178). 2.4.3. Оператор краевых условий (181). 4 2.5. Необходимые сведения из теории обыкновенных диф.

ференцнальных уравнений 2.5.1. Основные предположения (!84). 2.5.2. Локальная теорема существования (186). 2.5.3. Теорема единственности (189), 2 5,4, Линейные дифференци- 115 115 161 174 183 альные уравнения (191). 2.5.5. Глобальная теорема о существовании и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров (195). 2.5.6. Теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (20!). 2.5.7. Классическая теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (204). 3 2.6'.

Элементы выпуклого анализа . 2.6.!. Основные определения (208). 2 6.2. Выпуклые множества и функции в линейных топологичсскнх пространствах (2!6). 2 6.3. Преобразование Лежандра — Юнга — Фенхеля. Теорема Феихебя — Моро (224), 2.6.4, Субдифференциал. Теорема Моро — Рокафеллара. Теорема Дубовицкого — Милютина (229). Г л а в а 111.

Принцип Лагранжа длн гладких задач с ограничениями 9 3.1. Элементарные задачи ЗЗ.1, Элементарные задачи без ограничений (238). 3.1.2. Элементарная задача линейного программирования (243). 3,1.3. Задача Больца (244). 3.1 4. Элементарная задача оптимального управлений (247). 3.1.5. Принцип Лагранжа для задач с равенствами н неравенствами (248). 3 3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и.неравенств 3.2.1. Формулировка теоремы (252). 3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами (253), 3.2.3. Редукция задачи (256).

3.2.4, Доказательство теоремы (257). 6 3.3". Принцип Лагранжа и двойственность в задачах выпуклого программирования 3.3.1. Теорема Куна — Таккера (субдиффаренциальная форма) (261), 3.3.2. Метод возмущений и теория двойственности (263). 3.3.3. Линейное программирование.' теорема существования и теорема двойственности (269).

3.3.4. Теорема двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии. Лемма Хоффмана и лемма о минимаксе (275). 9 3.4', Необходимые условия второго порядка к достаточные условия экстремума в гладких задачах 3.4.1. Гладкие задачи с равенствами (287). 3.4.2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами — необходимые условии второго порядка (289). 3.4.3. Достаточные условия экстремума для гладких задач с равенствами и неравенствами (293). Гл а в а !ту.

Принцип Лагранжа в задачах классического вариацнониого исчисления и оптимального управления 2 4.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа . 4.1,1. Постановка задачи и формулировка теоремы (297). 4.!.2. Редукция аадачи Лагранжа к гладкой задаче (303). 4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа — Реймона (306).

4.!лй Вывод условяй стационарности 238 238 261 287 297 297 411 4!4 420 425 308), 4.1.5. Задача со старшими производными. равнение Эйлера — Пуассона (3!О). 4 4.2. Принцип максимума Понтрягина ......... 3!4 4.2.1. Постановка задачи оптимального управления 314). 4.2,2. формулировка принципа максимума.

риицип Лагранжа в задаче оптимального управления (319). 4.2.3. Игольчатые вариации (322). 4.2.4. Редукция к конечномериой задаче (326). 4.2.5. Доказательство принципа максимума (328). 4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок (335). 4.2.7. Доказательство леммы об интегральных функционалах (345). 6 4.3э. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным .......

.. ....... 347 4.3,!. Редукция задачи оптимального управления, линейной по фазовым переменным, к задаче ляпуновского типа (347). 4.3.2, Теорема Ляпунова (350). 4.3.3. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач 353)., 4,3,4. Теорема двойственности (36!). 4,3.5. рннцип махсимума для задач оптимального управления, линейных по фазовым переменным (366). В 4.4. Применение общей теории к простейшей задаче классического вариационного исчисления . ..