Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 8

Еч М,/., т" и =1, М Г.. т М~ з — 1 ! М~ 1,з ь, с. т, г, ' откуда Таким образом, скорости взрослого и молодого животных одинаковы. Прн этом взрослое животное делает большие шаги медленнее, чем молодое животное. В последнее время профессор Хилл [8] вос- по размерностям является необходимым, но недостаточным условием правильности составления уравнения.

Важным применением анализа размерностей является определение коэффициентов пересчета пвн переходе от одной системы единиц измерения к другой. Об этом простом и ускоренном средстве уже шла речь в гл. П. Выше было также рассмотрено использование анализа размерностей при моделировании. Путем экспериментов с моделямн можно определять сопротивление движению самолетов в воздухе нли кораб. лей в воде. Данные, полученные этим способом, оказы; ваются полезными, тогда как математическая твори~ явления чересчур сложна.

Теорця моделирования~ основанная на использовании метода размерностей~ необходима инженерам в областях судостроения и авиастроения при планировании экспериментов. В то же время теория моделирования является одним пз самых ранних применений метода размерностей.

Ранее физики интересовались также системами, об.,а- дающими «динамическим подобиемъ. Классическим примером является сравнение движений взросли о и молодого животных. Плотность тела обоих живогных может быть принята одинаковой, в' то время как мускульная сила изменяется пропорционально площади поперечного сечения конечностей. Представив формулы размерности для плотности и силы в ви "е Ы мч Гмлч †,~ и ~ †, ~, соответственно получаем пользовался методом «динамического подобия» для объяснения загадки высоких скоростей дельфинов и китов.

100-тонный голубой кит длиной 25 м и 80чснлограммовый дельфин длиной 2 лт могут двигаться со скоростью 15 узлов и делать «рывки» со скоростью 20 узлов; однако их мускульной силы, по-видимому, совершенно недостаточно, чтобы двигаться с такими высокими скоростями '>. Еще одним применением анализа размерностей является выявление необходимости в постановке того или иного эксперимента, так как в ряде случаев эк. сперименты оказываются ненужными п информация, которую они могли бы дать, выявляется уже на основании априорных выкладок. Весьма странно, что такой подход не привлек достаточного внимания со стороны физиков.

Приведем высказывание Релея по этому поводу г9): «Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия даже со стороны весьма крупных ученых. Перед. ко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые «законы», которые тем не менее можно было получить априорно в течение нескольких »гинут».

Высказывание Релея сопровождалось многочисленными примерами. Простой пример (см. также гл. 111, пример 2) достаточен для того, чтобы показать важность применения анализа размерностей в подобных случаях. Лнзлиз размерностей Г>ез помощи эксперимента устанавливает следуюшее соотношение между натяжением Р горизонтальной проволоки, ее весом и, длиной 1 и провесом з: Р = сопз1 и> Я где гх — неизвестный показатель степени.

Отсюда сразу же следует, что нет необходимости экспериментально искать связь между натяжением и весом т ср- ю*> ю ')Ки»., ' Ф постигая>тся аа счет >правления пограничным слоем воды иа их телах. — Прим. перел. определять экспериментальным путем соотношение между провесом и длиной проволоки. Анализ размер. ностей устанавливает, что эти соотношения являются необходимыми следствиями условий эксперимента, Значение анализа размерностей ярко проявляется в тех случаях, когда с его помощью выявляется необходимость в постановке экспериментов, которые могут действительно дать полезные результаты, Например, нахождение зависимости Р от 1 или з позво.

пило бы найти неизвестную величину а. Полезность анализа размерностей при планирова. нпи необходимых экспериментов особенно ценна в тех случаях, когда математические соотношения между переменными сложны илн вообще неизвестны. В ряде случаев может оказаться, что метод размерностей позволяет раскрыть некоторые характерные особенности конечного решения задачи, неразрешимой обычными методами математического анализа; это, как было уже отмечено, дает экспериментатору возмож. ность отбора экспериментов, имеющих правильные результаты.

Предварительные сведения. Одним из наиболее интересных применений анализа размерностей является возможность вывода ряда основных формул физики путем оперирования одними лишь размерностями величин. Многочисленные примеры даны в гл. !Н и Н, где показано, что соотношения, существующие между некоторыми (или всеми) переменными величинами, которые входят в физическое уравнение, являются необходимыми соотношениями, которые выводятся из априорных предпосылок и не зависят от эксперимента. Формулы, которые считались драгоценными плодами многочисленных экспериментов, на поверку оказываются логическими и необходимыми следствиями постулатов и определений.

Рассмотрение этих примеров уже подготовило читателя к восприятию прогрессивного взгляда Эддингтона [101 на это обстоятельство: «Я полагаю, что целая система основных гипотез может быть заменена науковедческими пршщипами. Иными словами, все законы природы, которые обычно рассматриваются как основные, могут быть предсказаны полностью на основе науковедческпх понятий...

все основные законы и константы физики, без сомнения, можно получить на основе априорных соображений, и по этой причине они являются субъективнымп». Как бы ни судили потомки относительно этого поразительного утверждения, можно с уверенностью сказать, что начинающий физик, впервые осознающий возможности анализа размерностей при выводе формул, будет удивлен, узнав, что многие из егоуравнений, которые, как он предполагал, были основаны исключительно иа результатах экспериментирования, в действительности являются несомненным следствием природы входящих в эти уравнения физических величин, отраженной в их формулах размерности, Отметим еще одно применение анализа размерностей.

Он удобен как дополнение к обычному математическому анализу в тех случаях, когда задача слишком сложна, а различные эксперименты, в том числе и на моделях, неосуществимы. Ученые и инженеры иногда сталкиваются с задачами, характеризующимися большим количеством переменных величин — плотностью, упругостью, эффектами трения, температурой, вязкостью и т. д. В таких случаях может оказаться, что, в то время как полное решение задачи получить в принципе невозможно, анализ размерностей позволяет найти частное решение, которое может показать, что, какой бы ни была форма недостижимого конечного решения, ему присущи некоторые характерные особенности, выявляемые с помощью формул размерностей величин, входящих в уравнение, В заключение этого обзора перечислим области применения анализа размерностей как метода исследования в современной науке: 1.

Помощь при восстановлении в памяти забытых формул. 2. Выявление алгебраических ошибок (путем обнаружения неоднородности по размерностям в уравнениях). 3. Нахождение коэффициента пересчета при переходе от одной системы единиц к другой. 4. Обоснование поведения масштабных моделей и обобщение информации, получаемой из экспериментов на моделях. б. Помощь экспериментатору в выборе экспери. ментов, обеспечива>ощпх получение полезной инф>р. мании.

6. Получение частных решений задач, слишком сложных для решения обычными прпемамп математического анализа. Этот итог показывает, что систематическое изучение анализа размерностей вполне оправдывает затраченное при этом время. Его практическое приме пение несложно, и он достаточно интересен сам по сеГ>е.

Привычка рассматривать физические символы с «размериостной» точки зрения приобретается лег. ко. Студент-физик вскоре обнаружит, что неболыпие затраты времени п усилий существенно повысят его уровень знаний и обогатят его математическое мышление. ЛИТЕРАТУРА 1. Ро и г >ег ). В. Я., ).а ТЬеог1е Апа1у1ьчие ае !а СЬа!епг, сЬ, 2, аес.