Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 7

Принцип однородности по размерностям можно продемонстрировать на примере уравнения, которое нами уже рассматривалось: г = п)+ — а) . 2 2 Показатель размерности длины для физической величины э равен !. Так как формула размерности для и) есть 11.) (Т! —.; Х [Т), то показатель размерности длины в этом члене также равен 1, а так как формула размерности '/заР есть —., Х )Т'), то показатель размерности длины опять равен 1. Другим примером является уравнение в~и~+ ими,, иье о= + Х(и,— и), ии+т, им+им где и и о — скорости, >и — масса, е — отношение скоростей.

Принцип однородности по размерностям, который в сущности утверждает, что разнородные величины нельзя суммировать друг с другом, имеет важнейшее значение для теории размерностей. Он обнаруживает себя почти при всех применениях теории размерностей. Физик, который сегодня использует этот принцип как известный прием, может найти достойным 39 удивления тот факт, что впервые он был четко сфор. мулпроваи лишь около столетия назад. Фурье пе только выразил принцип однородности по размерно. стям в строгой формулировке, но и обосновал неоо. ходпмость его использования (31: кСледует отметить, что любой неизвестной величине или константе присуща только одна размерность и что члены одного и того же уравнения нельзя было бы сопоставлять друг с другом, если бы они не имели один и тот же иокпзагель размерности.

Мы ввели эти соображения в теорию теплоты для того, чтобы сде лать наши определения более точными, а также для проверки результатов анализа; онп вытекают из первичных понятий о величинах; по этой причине в геометрии и механике они эквивалентны аксиомам, которые древние греки оставили нам без доказательств». Современное состояние вопроса. После работ Фурье наблюдался лишь сравнительно слабый про. гресс в области теории размерностей, Нельзя сказать, чтобы этот предмет утратил интерес для физиков, тах как за последние 50 лет в научных журналах появилось достаточно много работ по теории размерностей. В числе наиболее ранних можно отметить работы Рук.

кера (1888), Рассела (1903) и Максвелла (1904), Г1озднее к теория размерностей обращались в своих трудах Букингем (!914), Релей (1915),Толмен (1917). Вопросам теории размерностей были посвящены также монографии Бриджмена в США (1922), Портера в Англии (!933) и Пельтри во Франции (1945). Следует особо отметить блестящую и многостороннюю деятельность Релея по применению анализа размер.

настей для решения многих физических задач. Соединяя превосходное знание предмета с удпвительныи умением проникать в сущность изучаемого явления, он использовал анализ размерностеи в качестве ин. струмента для четкого и простого решения разно. образных физических задач. Хотя исторически метод размерностей был развит применительно к изучению проблем теплопередачи, он гораздо более широко использовался при решения задач механики, в частности динамики и гидродина. мики. Его ограниченное применение для решения задач в области теплофизикп объясняется неясностью 40 вопроса о характере формул размерности теплоты и и лаературы.

Литература по рассматриваемому предмету за последние годы не содержит каких-либо новых идей я посвящается преимущественно вопросам о том, какие размерности считать «действительно основными», действительно лн теплота и температура не зависят от длины, времени и массы, каковы размерности (если таковые вообще существуют) диэлектрической проницаемостиК магнитной проницаемости П и каково минимальное число независимых основных единиц, позволяющее построить логическую и достаточную схему формул размерности. Типичным примером может служить дискуссия, которая имела место в 1915 г.

на страницах журнала «Уа!иге» между Релеем и Рябушинским 14!. Рябушинский указывал, что формула для теплового потока, выведенная Релеем методом размерностей !51 в предположении, что количество тепла, температура, длина и время являются базисными независимыми величияами, была бы иной и менее удачной, если бы температура рассматривалась не как независимая величина, а как усредненная кинетическая энергия молекул, характеризуемая размерностями длины, массы и времени.

В ответе Релея 16! содержится недвусмысленное мнение о том, что данная тема требует более глубокого освещения; «Вопрос, поднятый Рябушинским, относится скорее к логике, чем к применению анализа размерностей, преимущественно интересовавшему меня. Вопрос вполне заслуживает дальнейшего обсуждения. Мой вывод получен на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла учитываются как ве.

личины зп! лепет!з. Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла, ставшее возможным благодаря молекулярной теории, привело нас к худшему положению, чем раньше, когда рассматривалась частная задача. Решение состоит, по-видимому, в том, что в уравнениях Фурье содержится нечто, учитывающее природу тепла н температуры. Это обстоятельство не принято во внима. ние в альтернативной аргументации Рябушинского». Основные величины. Замечания Релея были приведены здесь с целью показать, что некоторые затруднения принципиального характера еще не решены даже наиболее выдающимися учеными из тех, которые обращались к теории размерностей.

В настоящее время на страницах физических журналов все еще встречаются подобные расхождения точек зрения. Например, Браун и Данкенсон снова рассмотрели (7) вопрос о том, какие физические величины целесообразнее считать основными. Браун полагает, что достаточно иметь только две основные единицы— длину и время; масса имеет размерность (длина)»7(время)', А и р безразмерны. Данкенсон, напротив, приводит аргументы в защиту выбора «етьцгех основных независимых единиц измерения, а именно длины, массы, времени и колпчества электричества с7.

Эти интересные статьи с их различными точками зрения подтверждают, что при более внимательном подходе к предмету сам термин «размерность» все еще нуждается в разъяснении; ждет своей разработки н философская сторона вопроса. К счастью, эти обстоятельства не влияют на практическую ценность метода размерностей для многих областей физики, как это будет показано в дальнейших примерах. Между тем анализ размерност и важен для физиков главным образом своей практической полезностью. Также важными являются ег ~ логические и философские аспекты; история науки подтверждает, что глубокое изучение этих аспектов приносит свои плоды, Однако в последующих главах нас будет интересовать главным образом применение анализа размерностей как повседневного рабочего инструмента. На практике выбор основных единиц измерения определяется самим характером изучаемого явления.

Например, в задачах, касающихся вопросов теплопередачи, удобно бывает использовать четыре основные единицы; длины (Ь), массы (М), времени (Т) и температуры (6). Иногда в число основных включают единицы силы (Р) и количество тепла (Н) (если это дает какие-либо выгоды), Таким образом, критерий выбора единиц является чисто прагматическим. Значение анализа размерностей. Очевидным досгоинством анализа размерностей является приносимая им помощь физику в достижении его повседнев. ных делей — как теоретических, так и практических. укажем некоторые случаи применения этого метода.

Не следует пренебрегать той мнемонической помощью, которую обеспечивает метод студентам младших курсов. Экзаменующимся знакомо состояние, когда бывает трудно восстановить в памяти полузабытую формулу плп выписать все члены уравнения. Б таких случаях может выручить даже беглое зна. смство с методом размеряостей. Студент-новичок, оторый, например, забыл правильную формулу пе, пода колебаний маятника (2п 'у'д~~ нлп 2я 'г'1~а), »бнаруживает, что учет размерностей позволяет быстро решить возникшую перед ннм дилемму. Даже школьник, знакомый с применением этого метода, не будет использовать формулу 4лг» для определения объема сферы или формулу '/зпг'л для определения лион~ада поверхности конуса.

Сложные члены уравнений неэлементарной фпзпкп следует проверять по размерностям в порядке обычной процедуры. В тех случаях, когда получению окончательного результата предшествует длительный ряд аналитических выкладок, имеет смысл проверять однородность по размерностям как на промежуточных этапах работы, так и в конечном результате. Соблюдение пршщипа однородности по размерностям, который Фурье завещал всем, изучающим физику, должно стать образом мышления физика, его второй натурой. В этой связи пелесообразно, по-видимому, отметить, что, в то время как метод размерностей доста.

точен для обнаружения в уравнении, составленном правильно во всех прочих отношениях, «инородного тела», не выдерживающего проверку на однородность по размерностям, обратное утверждение не является правильным Если в уравнение необходимо ввести еще один член, хотя бы и подходящий по признаку его однородности по размерностям, то с помощью одного лишь анализа размерностей нельзя выяснить приемлемость этого действия, Другпмн словамп, однородность 43 — '.