Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 6

Предположим, например, что требуется преобразовать поверхностное натяжение о дин7см в 5' !!аундаль!фут. Так как величина поверхностного натяжения не зависит от характера употребляемых единиц, то 8 = — Я м, М, откуда Коэффициент пересчета М!/Ма есть отношенп. грамма к фунту. '1 1 пауилаль = 0,138288 н, — Прим. иерее. 1 фут 30,48 см, поэтому 1= Е!712 = 30,48; Т21Т!= 1, так как секунда является общей единицей для об! пх систем. Следовательно, У = 32,2 30,48 = 981 см ° сеь-1 (приблизительно).

Предположим теперь, что требуется перевес!и 1 лошадиную силу в киловатты: '1 1 л. с. = 550 футо-фунтов работы в 1 сек = й! эрг в 1 сек, т. е. 32,2 Х 550 ф)гтоагаундаль ° сея ' = У см-дан ° сек ', Глава Ш ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР Метод размерностей, нли анализ размерностей, основан на прцнципе, предложенном Ньютоном в его :1-1ачалах» (Н, теорема 32), Это .;принцип подобия». Он был использован Ньютоном в период разработки основ механики как фундаментальной науки. Хотя Галилей, Кеплер, Гюйгенс и другие ученые сделалн многое для развития этой новой науки, которая начала оформляться в Х71 — ХИ1 нв., именно гений Ньютона продвинул вперед научную мысль его вре. мени в отношении таких понятий, как инерция, сила н т. д., и наполнил механику логическим н философ.

ским содержанием. В системе Ньютона были четко выделены три физические категории: длина, инерция !лхасса) и прел~я, которые рассматривались как основные н независимые. Онп до сих пор считаются первичными попятиямн, и никакими философскими рассуждениями не удалось доказать, что одна пз нпх зависит от любой из двух других. Другие, вторичные понятия были выведены пз этих основных категорий. Скорость, момент, сила и энергия являются примерамн производных понятий. Два века спустя при изучении магнетизма и электричества понадобилось ввести дополнительные первичные понятия, однако вопрос об их первичности до сих пор все еше остается спорным.

На основе немногих простых прпнцнпов, четко сформулированных Ньютоном (например, тех, которые воплошены в его законах движения), были получены уравнения, описынаюшпе поведение материальных частиц нлп тел при действии па них системы внутренних или внешних сил, Именно для таких уравнений Ньютон применил «принцип подобия», Этот принцип можно пояснить с помошью простого примера. Уравнение ос=2( — )з дает конечную скорость о тела с массой гп, перемещаюшегося прямолинейно из состояния покоя на расстояние з под действием постоянной силы Р.

Если имеется ряд тел с различными массами и одинаковым отношением Г~~п, то в этом случае принцип подобия утверждает, что отношение от/з также одинаково для всех тел, Или, другими словами, если конечные скорости, приобретаемые телами с различной массой па одинаковых расстояниях, равны, то действующие на них силы прямо пропорциональны их массам. Ньютон часто использовал принцип подобия; по-видимому, это было первое применение метода размерностей, Геометрическое моделирование. Принцип подобия применяется теперь для экспериментов с моделями. При движении снаряда или самолета в атмосфере, подводной лодки или надводного судна в океане возникает сопротивление среды, которое является сложной функцией скорости п линейных размеров движущихся тел, а также плотности, вязкости и упругости текучих сред, в которых движутся эти предметы, и других физических величин. Ученые и инженеры в области судоплавания, аэроиавтики п баллистики в ряде случаев могут преодолевать трудности, возникаюшпе при решении таких задач, применяя принцип подобия к уменьшенным моделям тел.

В результате экспериментирования Бешфорт установил следующий закон (известный как закон Бешфорта): сопротивление движению тел, имеющих одинаковую форму, пропорционально квадрату их скоростей. Этот закон можно получить теоретическим путем, применяя принцип подобия при определенных упрошаюших допушениях, Другим примером может служить закон Фруда. Каждому ясно, как важно для инженера-судостроителя знать сопротивление воды при разных скоростях двнжения судна данной конструкции. Для ответа на этот вопрос следует воспользоваться масштабными моделями судна, пере- двигаемыми в длннномерном водном бассейне с различными скоростями, Определив сопротивление, инженер-судостроитель может прнмепить принцип подобия: «сопротивление, испытываемое кораблями с одинаковыми геометрическими формами, пропорционально отношению кубов нх характерных размеров, тогда как их скорости пропорциональны корню квадратному пз отношения их характерных размеров» (закон Фруда).

Авиаконструктор сталкивается с подобными же задачами и решает их путем наблюдения за поведением моделей, подвешенных в аэродинамической трубе. Исследование Фурье. Более ста лет спустя после Ньютона теория размерностей исследовалась Фурье в его классической работе «Аналитическая теория теплоты» (1), опубликованной в 1822 г. Фурье ввел два понятия, которые имеют важней.

гпее значение в современной теории размерностей. Первое является понятнем того, что в настоящее время называется «формулой размерности», а второе соответствует «однородное>и по размерностям» уравнений физики. Эти идеи он изложил в связи с полученной нм весьма сложной формулой, относящейся к проблеме теплового потока через проводники. Столь же успешно нх можно выразить посредством простой формулы. А Формула рпзмерности Рассмотрим в качестве примера уравнение кинематики, связывающее расстояние з, пройденное телом за время 1 из состояния покоя с ускорением а: г = — ар. > 2 Данное соотношение между переменпымн не зависит от применяемых единиц измерения.

Именно это и является важным. Правильно составленные уравнения физики остаются неизменными по форме прн переходе от одной системы единиц к другой. Этот принцип был подчеркнут Лармором [2) в слсдующ>гх словах: «В размерностях нет ничего транспендентного; конечный принцип точно выра>каем (по термпнолопш Ньютона), как принцип точного илн приближенного подобия, который следует проверять при помощи то~ о правила, что простое изменение геличпн в принятой системе единиц измерения не должно заметно влиять на форму уравнений, которые адекватно выражают объективно существующие соотношения между величинами в задаче».

Допустим, мы изменили единицу длины, и ее численное значение вместо з стало з', где з' = оз, а и является отношением двух единиц длины. Допустим такзке, что а' = аа и 1' тй Тогда поскольку оз = — аа (т1), 1 1 з — а1 2 то о=ах» или ас пт '. Показатель степени — 2 был назван Фурье «показателем размерностц времени»; таким образом,ускорение имело показатель размерности + 1 по длине и — 2 по времени В настоящее время ради сокращения терминологии сами индексы часто называют «раь мерностями». Категории длины, массы и времени, принятые Ньютоном в качестве основных, обозначаются как [Ц, [М] и [Т).

Поэтому формула размерности производной физической категории <ускорение. имеет вид [Ц[Т-'). Последнее выражение можно рассматривать как сокращенный эквивалент определения ускорения, раскрывающий физический смысл этого понятия. Формула размерности любой постоянной или переменной физической величины выводится на основе определения этой величины. Последнее замечание является важным вкладом Фурье в рассматриваемый предмет. Для каждой физической величины может быть найдена формула размерности, основанная на формальном определении этой величины и показывающая ее связь с некоторыми физическими категориями, которые приняты в кз. честве основных Каждой физической величине соот.

ветствует одна и только одна формула размерности. И наоборот, каждой формуле размерности соответствует одна и только одна физическая величина. (Исключения из этого правила рассмотрены на стр. 80.) 2. Однородногть но размерностям Второй вывод Фурье был не менее ценным, Его можно назвать «принципом однородности по размериостям». Физическое уравнение обычно представляет собой алгебраическую сумму двух или более членов.

Пользуясь терминологией Фурье, можно сказать, что показатель размерности» длины (массы, времени) в ;цобом члене уравнения должен быть одинаковым. Госоря современным языком, уравнение должно быть иднородным по размерностям». Если это не так, то, следовательно, при составлении уравнения была дол щена ошибка.