Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 5

!Ч. В о п р о с !. Су>цествует лн возможность неоднозначности формулы размерности физической величины? Можно принять в качестве аксиомы теории размерностей, что в случае принятия лишь одной совокупности основных единиц измерения формула размерности физической переменной величины илп размерной постоянной может быть выражена лишь единственным способом, Олнако при изменении основных единиц впд формулы также может измеяяться. Например, при выГ>оре единицы силы р в качестве основной формула размерности энергии имеет внд [тЦ.

Если в качестве основных единиц приняты Ь, М, Т, то формула размерности энергии принимает'впд' (1'>МТ-т) Следует отметить, что, в то ~рема как одной физической величине не могут соответствовать Лве разные формулы размерности, одна формула размерности может соответствовать двум разным физическим величинам.

Например, формулы Размерности работы (РМТ-т> и момента ара>ценил совпалают (см. стр. 90). Вопрос 2. Каким образом определять значения "веденных коэффициентов в формуле? Значения коэффициентов С определя>отся экспер"ментальным путем илп на основании практпческого опыта, но отнюдь не методом анализа размерностей Это обстоятельство является одной из главных пря. чин, по которым нспользованце этого метода для вм. вода физических формул является ограниченным. Од.

пако встречаются задачи, когда значение чнсленнг|ге коэффициента устанавливается по соображенпяя здравого смысла или на основании практическоге опыта, без обращения к эксперименту. Вон рос 3. Каков критерий выбора оптимальньц физических аслнчнн для составления конкретногс уравнения? На этот вопрос не существует краткого ответа Оптимальный выбор влияющих физических величин зависит от «физической интуиции», которую дает ис. следователю его практический опыт. Новичок, впер. вые рассматривающий пример матеыатическог0 маятника, по-вндимому, может задаться вопросок, почему не учитывались трение маятника о воздуг или плотность тела маямшка.

Более опытный физщ знает, что правильные результаты мокнут быть полу. цены лишь при колебаниях маятника в вакууме и чтс плотность тела маятника имеет нс больше значении, чем его цвет. Однако утешительным обстоятельствох для новичка с его недостаточной «интуицией» яв ляется знаппс того, что неудачный выбор фпзнческнг переменных обычно приводит к результату, которы~ сразу же подсказывает более удачный выбор, и чтг общий итог неудачного выбора заключается в полу.

чении не неправильного решения, а лишь такого, ка торое оказывается менее удачным, чем оно могло бк быть при иных переменных. Вон рос 4. Что такое размерная постоянная? В физических задачах встречаются величины дву~ видов. Величины одного вида назывшотся физиче. скими переменными. Они часго зависят от времене а также изменяют свое численное значение при из менении единицы измерения. Величины другого впд~ не зависят от времени, но также изменяют свое чис ленное значение при изменении единицы измерения Следовательно, величины последнего вида не суп постоянные в том смысле, в каком ими являются, на пример, 3 или и. Онн называются размерными поггоянньсли, имеющпмп неизменные размерности либо таины, либо массы, либо времени или же двух или всех трех этих основных переменных.

Примером размерной постоянной является с скорость света в вакууме. Она равна произведению длины волны на частоту свсзового излучения кт = с. Очевидно, Х и т могут иметь самые различные значения, однако численное значение с для данной системы единиц является инвариантным. Тем не менее, если Х измеряется в милях, а не в сантиметрах, и т — в минутах, а не в секундах, численная величина с будет равняться 1! 160000 миль!мин вместо 2,99 ° 1О'" см/сек, Дру|тпы примерами размерной постоянной вели- чипы могут слух<нть гравитационная постоянная, плотность тела при постоянной температуре н т. д. Каждой размерной постоянной соответствует своя формула размерности.

Ее численное значение, будучи однажды зафиксированным для данной системы единиц измерения, остается неизменным в процессе рассмотрения конкретной физической задачи. В о и р о с 5. Можно ли получить правильное решение задачи путем анализа размерностей, когда число физических переменных величин превышает число основных единиц измеренняр Ответ на этот вопрос был бы более понятным, если бы были рассмотрены дальнейпше примеры применения анализа размерностей.

Ограничимся здесь лишь кратким пояснением. Если функция имеет р аргументов и д основных единиц, то р — д обычно является положительной величиной. Если р — д = 1, то задача разрешима, но значения численных коэффициентов, как всегда, остаются неопределенными. Если же р — д 2, то полное решение теоретически получить нельзя, хотя иа практике оно обычно может быть найдено с помощью дополнительной информации, получаемой па основе имеющегося практического опыта или путем постановки экспериментов, В случае когда р — д = 3, можно лишь выявить определенные соотношения, существующие между переменными. Однако не следует пренебрегать даже столь слабым анализом 31 некоторых задач физики, которые не поддаются решению обычными аналитическими приемами, тем более, что нспользуемьш метод такой быстрьи и простой.

Вопрос 6. Является ли оправданным представление функции в виде суммы произведений величин, возведенных в степени? Т!рннятая методика представления одной фязп. ческой величины в функции произведения остальных величин, возведенных в степени, явно нуждается в до. казательстве. Если ~(Р, Я, Й, 5) = О, то без доказательства это выражение можно представить в впче Р= ~~сонэ) Х Я")?~Я'. Можно принять без доказательства, что такая запись прп налищш определенных условий допустима. Точ. ное доказательство этого выходит за рамки этой книги.

Вопрос 7. Достигаются лн какие-либо преимущества, если в качестве основных единиц измерения брать единицы не длины, массы и времени, а нных физических величин? Ответ положителен в тех случаях, когда этого требует решение конкретной задачи, Ранее указы. валось, что если функция имеет р аргументов прп а единиц измерения, то для получения полного решения Р— 7 не должно превосходить 2. Это условие может быть иногда удовлетворено путем увеличения д, т. е. числа основных единиц (иллюстрацией служит пример 20 в гл.

)Ч). Изменение размера единиц измерения. Закончим эту главу рассмотрением одного полезного примене. ния анализа размерностей, состоящего в нахождения коэффициента пересчета, посредством которого значение физической величины, полученное в одной сн. стеме единиц измерения, может быть выражено в другой системе единиц. Используя формулы размер. ности и применяя изложенную в последующих примерах методику, можно сократить время вычислений и уменьшить объем умственной работы, а также уменьшить вероятность ошибки. Как было указано, каждая физическая величина рактсризуется, во-первых, численным значением и, вторых, единицей измерения; например, «6 фуз» вЂ” это физическая величина, где 6 представляет бой ее численное значеяие, а фут — единицу изме,шя.

Численное значение физической величины изняется прп изменении размера единицы измерения, произведение численного значения на единицу изрения остается постоянным для любой данной ~зической величины. Например, 2 ярда = 6 фум = 72 д1оймам. Численное значение (и) фнзпчеой величины обратно пропорционально размеру пользованной единицы измерения (и): 1 пиг ви, или и И Рассмотрим более общий пример. Пусть М вЂ” численное значение какой-либо физической величины в :которой системе единиц измерения и ее формула азмерности есть Е'М~Т'.

Предположим, что в этой ~стеме единица длины равна Т| и что в другой спдсме едшшща длины равна Ьм причем 1.~ = Ы.р. Подобным же образом можно записать, что М, = lлл4 и Т1 = 1Тм Тогда Л( Х Е1М~Т1 = 1т' Х (Ыз) (н1Мз) (1Т ) . Таким образом, во второй системе единиц численное значение физической величины в 1агпЧа раз боль- ШЕ, ЧЕМ В ПЕРВОЙ СИСТЕМЕ; 1апгЧа ЯВЛЯЕТСЯ КОЭффнцпентом пересчета. Согласно определению, он равен Рассмотрим несколько примеров. Величина ускорения силы тяжести д равна 32,2 фут сек-' в системе едишщ ГР3.

Каково ее значение в системе СГС? Так как ес формула размерности имеет вид а.Т-', то 32,2(Е|Т~ ) = У(ЬзТз ~) Следовательно, Л = 32,2— 1., ~та~э ь, ( т, ) 3 заа. 59з 32,2 Х 550 !Е!М!Т ) = У Х (ЙеМеТе''), й! = 32,2 Х 550 ~ ~ ' ) (ф ( т' ), — — = 453 6' — ' = 1 ~И, 1 грамм ' ' Т. Е, !фут = 30,48; Ц 1 ем В результате вычислений получаем У = 746 Х 10" эрг сек = 746 дсс сек = 0,746 квг, Прп использовании этого классического метода перехода от одной системы единиц к другой объем вычислительной работы обычно уменьшается.