Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 4

Второй пример относится к задаче (из области астрономии) о дни>кении двух тел. П р и м е р 2. Планета обращается вокруг своего солнца по эллиптической орбите с большой осью О. Найти период обращения планеты. По-видимому, основными физическими величинами, которые влияют на период обращения г, являются масса звезды >г>, масса планеты и> и длина оси эллипса Р. Ньютоновское уравнение для силы притяжения г" между двумя массами, находящимися на расстоянии г друг от друга, имеет вид М Х >л г' Метод размерностей позволяет произвести проверку этой формулы.

В то время как основная единица измерения Т содержится в формуле размерности левой части уравнения, она не содержится пн в одном из сомножителей правой части. Следовательно, данное уравнение неоднородно по размерностям. Здесь пропущен коэффициент пропорциональности, а именно гравитационная постоянная 6. Введение этого недостающего множителя (формула размерности Т.>М 'Т-з) в правую часть уравнения позволяет сбалансировать это уравнение по размер.

ностям. Таким образом, 0 является постоянной величиной, имеющей размерность. В связи с этим может быть поставлен такой вопрос: Вопрос 4. Что такое размерная постоянная? Составим следующую таблицу для пяти физических величин: Обознз- ченае Формула размерности Фазнчеснаа нелнчннз М сг ст Запишем функциональную связь между этими величинами в виде ~ =)'(М, тп, О, 6). Приравнивая показатели степеней длины, массы н времени (по каждой из этих категорий), можно получить лишь трн уравнения, связывающих между собой четыре переменных.

При этом, как и в предыдушем примере, необходимо выражать некоторые показатели в функции одного из них. В этой связи возникает следующий вопрос: Вопрос 5. Можно лн получить правильное решение задачи путем анализа размерностей, когда число физических переменных величаи превышает ттисло основных единиц измерения? Ответ на этот вопрос дается при решении нижеследующей задачи. Предпологким, что функция ) может быть представлена в виде произведений параметров, возведенных в степени: ~ = С ° й4'пт~0е6" + Аналогичные члены уравнения. Согласно условшо однородности по размерностям, необходимо, чтобы размерности длины и массы в каждом слагаемом были равны нулю, а размерность 23 Период Масса звезды Масса планеты Большаи ось орбиты Грзвнтацноннаи по- стонннаи т М М ь' и- г- времени была равна !.

В итоге уравнение размерности (для одного члена) будет иметь вид Т = М"М~1„'(1.~М 'Т ) . Как и в предыдущем примере, составляем систему уравнений: (длина) О = с + Зс~, (масса) О =- а+ Ь вЂ” И, (время) ! = — 2Ы, ! з откуда а=а, Ь= --,, -а, с= —, Следовательно, 1=С М'~п "З"'0""'О ", 1 И= —— 2 1=С. Д" (Спи)-':( — ")", т.

е, или П р и м е р 3. Найти период колебаний математического маятника. Как и в предыдущих примерах, вначале выявим все фпзпческве величины, определяющие собой период колебаний 1. !. Масса т тела маятника. 2, Сила тяжести ), действующая иа тело маятника. 3. Длина 1 подвесного стержня. 4. Длина 1' дуги колебаний. 5 Линейный размер 1" тела маятника. 6. Ускорение силы тяжести д. Таким образом, в итоге мы получили закон Кеплера; квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой оси орбиты.

Множитель ( ) 1И ~2Д вЂ” является численной величиной. м Данный пример интересен тем, что он показывает возможность получения важного результата весьма простым алгебраическим способом. Третий пример является обычным для лабораторного практикума. до сих пор не был дан ответ на вопрос 3 тстр, 22) о критерии выбора оптимальных перемен'ных. Это позволяет нам принять следуюшпе допуше. иия; во-первых, величина 1" мала и ею можно пренебречь, во-вторых, з' не влияет на конечный результат, если эта величина тоже мала. Следует заметить, что эти допушеиия должны быть удостоверены экспериментально.

Оставшиеся физические величины можно свести в таблицу: Обезна. ченне Фсритзз размерности Фазнчеснан аеннчнна т М и т' д Период колебаний Масса иаятника Вес маятника Ллззна иоииесного стержня В виде попытки выразпм искомую функцию как ~ = Р (т, ~, 1). Задача состоит в выявлении характера функции Р. Придерживаясь той же методики, что и ранее, получаем. т С теса~с Здесь снова возникает вопрос о допустимости наложения ограничения на обшность функции Р и сведения ее лишь к представленной форме. Вопрос 6 Является лп оправданным представление функции в виде суммы произведений перемен.

иых величин, возведенных в степени? При составлении уравнения размерности в качестве основных едштпц опять будут приняты единицы длины, массы н времени; однако может возникнуть мысль о возможности использования некоторых других единиц в качестве основных. Может ли в данном случае быть получен удачный результат, если основными единицами остаются только единицы длины, массы и времени) Т= М (1.МТ г) Ь . Решение находим обычным способом: О.= Ь+ г, О=а+6, 1 = — 20, (длина) (масса) (время) откуда 1= Си!') м1~' илн Знание основ механики позволяет использов гь, гни, т.

е. вес маятника, вместо ) (здесь д — - ускорен! е силы тяжести); таким образом, 1=С ~/ — ', Величина 1(д/1)'а является численной. Значение С равно 2л, но, как было отмечено,; е просы оценки численных коэффициентов выходят,! рамки рассмотрения метода размерностей. Если читателю уже было известно, что период !, . лебанпй математического маятника нс зависпт от массы тела маятника, он мог бы получить реше а более простым способом, приняв Г = (1, д). Каков бы результат, если бы 1', длина дуги качания,; е была исключена из числа переменных величин? О!! ет на этот вопрос будет получен прп решен!и следу;ощего примера.

Физический маятник. П р и м ер 4, Найти период колебаний физического маятника, Вопрос 7. Достигаются лп какие-либо преиму. шества, если в качестве основнь!х единиц измерения брать единицы не длины, массы и времени, а ш:, х физических величин? Читатель может попытаться ответить на этот !,о-' прос самостоятельно, пробуя свои силы в решеш:и рассматриваемой задачи. Уравнение размерно! и! имеет вид Обоззз. ченне Формула размсрностн Физическая зелнчнна Период колебании Яомеит инерции Вес маятника еДляиа» мзятизтка Длина дутп колебаний, проходимая цеитром тяжести Т Ез М А М У ' Л й Как и ранее, представим 1 как исчерпывающую функцию табличных переменных; 1= Р(1, 1, 1, 1'). Естественно, этот список переменных не является единственно возможным. Однако выбор именно этих переменных величин не произволен; он основан на ннтуптивной оценке факторов, влияющих на 1.

Действительно, решение задачи можно получить, используя следующий набор физических величин: щ— масса маятника; 1е — радиус вращения; 1' — длина дуги колебаний, проходимая центром тягкести; д— ускорение силы тяжести. Читателю предлагается решить самостоятельно эту задачу с таким набором переменных. Предположим, что 1 С 1 от е 1 с 1 Тогда уравнение размерности имеет вид т = (~-"И)'((.ит-')' 1.'1.', О =2а+ Ь+ с+тХ, О=а+Ь, 1 — 2Ь, (длина) (масса) (время) Введем следующие обозначения: 1 — расстояние от оси вращения до центра тяжести тела маятника; 1' — длина дуги колебаний, проходимая центром тях<естн маятника; 1 — вес маятника; 1 — момент инерции.

Эттз пять величии указаны в нижеследующей таблице: 1 1 ! Следовательно, а= —, Ь= — — с- — — — Н, И=А 2- С !'9-"Г'ь-')'" В итоге или ~-с у' —,', ( — ',), где ГД является численной величиной, равной углу отклонения маятника в радианах. Так кзк ) = тп, где ш — масса маятника, то окончательно / ! Задача о периоде колебаний маятника рассматривалась здесь довольно подробно, так как она, с одной стороны, хорошо известна из курса основ физики, а с другой стороны, служит хорошей иллюстрацией простоты и широких возможностей (равно как и ограничений) хиетода размерностей. Значение метода размерностей.

Бесспорно, теория колебаний маятника в той ее классической форме, которая разработана в механике, дает больший объе;а информации, чем анализ размерностей, поскольку позволяет получать численные козффициенты. Кроме того, она дает возможность глубже постигнуть физику явлений.

Тем не менее метод размерностей обеспечивает получение отличных результатов весьма прямым образом. Можно по справедливости считать замечательным то обстоятельство, что такая простая операция, как сравнение показателей степеней (размерностей), является чрезвычайно результативной. Решение системы из двух или трех уравнений, достаточно простых для того, чтобы их можно было решить в уме, позволяет получить важные сведения о взаимосвязях, существующих между физическими величинами, фигурирующими в задаче.

Для математического маятника было найдено, что период колебаний не зависит от массы маятника, прямо пропорционален корню квадратному пз длины и обратно пропорционален корню квадратному из д. Для физического маятника было установлено, что его период колебаний прямо пропорционален корню квадратному из момента инерции и обратно пропорцио. 28 вален моменту вращения, он зависит не от длины д>>ги, а от угла отклонения лаятннка.

Таким образам, в обоих этих примерах метод размерностей позволял выявить все факторы в формуле для периода „„лсбанцй, за исключением численных коэффициеноз, этот результат был постигнут с помощью простых и прямых операций. Ответы на вопросы. Рассмотрим теперь вопросы, которые возникали при анализе размерностей в пояснительных примерах.

Ответы будут краткими, поскольку более удовлетворительное устранение некоторых трудностей станет возможным лишь после углубленного изучения существа вопроса. Для ряда случаев дальнейшие разъяснения можно будет почерпнуть из решения дополнительных примеров в гл.