Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 3

Ч будет показано, что первые две из них можно «разложить» на более простые, более фундаментальные единицы и что в итоге это приводит к существенному упрощеншо метода и к расширению его возмогкностей. В табл. 1 прилогссеыия (стр.171) представлены формулы размерностей ряда физических величин прн использовании единиц длины, массы и времени в качестве основных. Типы физических величин. Физнческие величины, присутствующие в уравнениях физики, являются либо переменными, либо постоянными; те и другие в свою очередь могут быть размерными пли безразмерными. 1. Размерные переменные величины.

Эти величины — «разменная монета» физика — уже фигурировали выше; их перечень дан в табл. 1. 14 2, Размерные постоянные величины. Простым примером может служить скорость света в вакууме с. Она имеет постоянное значение и равна 2,99 1О'с см1сен; ее размерность БТ '. В качестве другого примера приведем 0 — гравитационную постоянную, значениекоторой приближенно равно 6,67 1О-' единиц СГС; ее размерность 1-зМ 'Т '. 3.

Безразмерные переменные величины. Некоторые отношения физических величин являются безраз. мерными. Угол, определяемый как Длина дуги окружности Длина радиуса окружности ' Л о имеет размерность — = Ьо. Объемная деформация, т. е. Изменение объема Объем 1з имеет размерность —, = Ь', а относительный удельг;зМ иый вес — = БоМо Ь зМ Сюда следует добавить группы размерных переменных величин в сочетании с размерными постоянными величинами пли без них. Эти переменные скомбинированы таким образом, что в итоге размерность комбинации является нулевой для каждой из основных единиц. Примером может служить число ор1 рейнольдса — , где о — скорость, р — плотность, ч 1 — длина и т1 — вязкость. Его размерность дт- т 'м с 1оМето 'о МТ Такие безразмерные величины Д.

Томсон назвал численными. 4. Безразмерныв постоянные величины. В формуле периода колебаний математического маятника 1 = 2п(1/й) ч коэффициенты 2 н и — безразмерные постоянные величины. Они являются чистыми числами. Хотя число и, которое есть отношение длины о окружности к радиусу, имеет размерность — = Ьо, его 1 1 можно представить как сумму ряда 4 ~! — — + —— з з 1 ) С этой точки зрения и является чпстым числом, Такого рода числовые коэффициенты не рассматриваются в теории размерностей.

Приведенная классификация важна для последующего изложения материала. В дальнейшем тексте содержится много примеров физических величин всех четырех типов. В частности, объединение размерных переменных и размерных постоянных в безразмерные группы, которые становятся функционально зависимыми аргументами в уравнении, является методом, к которому часто прибегают для использования потенциальных возможностей анализа размерностей.

ЛИТЕРАТУРА 1. К а гес1111е 6. Н., Т1~е 5саоо! Бсгепсе ЙеоГем, ХХХ1, 1!З, Уа а. Я а а, Рг овос!г, МК5 Яуагегв о1 Е!ес1пса1 Ьа!1а (А1енгоео Моподгарн оег!еа). Глава И МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕГ4 Использование размерностей физических иелпчии для вывода формул и уравнений, а также возможности и ограничения метода размерностей легче уяснить на конкретных примерах.

При первом ознакомлении с методом может вызвать удивление простота средств, позволяющих получать формулы элементарной механики без выполнения каких-либо аналитических операций, посредством которых обычно этн формулы выводятся. Нетрудно видеть, что метод размерностей, если оставить в стороне более важные случаи его применения, может также служить для контроля памяти н для проверки правильности полученных уравнений.

Примеры. В качестве иллюстрации рассмотрим четыре примера из области элементарной динамики. Они связаны с несложными задачами о движении в гравитационном поле, хорошо известными студентам, изучающим основы физики. 1. Сделанное Галилеем открытие, состоящее в том, что существует определенное соотношение между расстоянием, которое проходит тело, свободно падающее из поло>кения покоя, н временем его падения.

2. Закон тяготения Ныл~она. 3. Определение д при помощи математического маятника. 4. Физический маятник. По мере дальнейшего изложения материала возникнут вопросы, касающиеся обоснования собственно метода размерностей, значения некоторых терминов и т. д. 2 зак. 599 17 „д„мекам Мы кратко остановимся на этих вопросах, но в течение некоторого времени они будут оставаться без ответа. Их рассмотрение откладывается до той стадии, когда будут осуществлены текушие задачи показа практического использования анализа размерностей как рпбочего инструмента без какого-либо обоснования методики его применения плн обращения к его философским аспектам.

П р и м е р !. Определить расстояние, проходимое за данный промежугок времени телом, свободно падающим из положения покоя. Первым этапом решения является выявление физических величин, от которых зависит проходимое телом расстояние г. Очевидно, оно зависит от времени падения ( и от ускорения силы тяжести д. Зависит ли расстояние з от каких-либо иных переменных? В известной дискуссии Галилея с его оппонентами последние с уверенностью утверждали, что зависит от массы тела пь Галилей экспериментально показал, что и тяжелый, и легкий камни, одновременно сброшенные с «падающей» Пизанской башня, достигают ее подножия также одновременно (этот опыт не убедил оппонентов Галилея), Этот классический спор должен постоянно напоминать нам о том, что при таком использовании метода размерностей задача выбора влияю|цнх переменных н отбрасывания невлияюших переменных не всегда является простой.

Допустим на время, что противники Галилея правы, н включим в список переменных массу тела пь Это означает, что г является функцией з =~(д, ~, ш). Наша цель состоит в отыскании видя этой функции. С некоторым ушербом для обшносги искомую функцию можно представить в виде ряда з=С, ° д~гл +Сз д 1 т + ..., где Сь Сь,,— неизвестные коэффициенты; требуется определить показатели степеней, 18 Однородность по размерностям. Метод размернотей требует, чтобы каэкдый член этого уравнения „мел одинаковые размерности длины, массы и времени, т. е.

а а' а" ..., Ь=Ь' Ь" ... и с=с'=с" Так как в выражении для з размерность длины равна 1, а размерности массы и времени равны О, то с = с' = с" = ... О. Таким образом, либо (как и утверждал Галилей) з не зависит от массы тела, либо при составлении уравнения была пропущена какая-то физическая величина. Рассмотрим последовательно эти альтернативы. 1! меем =С д'1' (С=С,+Сэ+ ...). Так как размерность д есть ЕТ-', то размерность й !э имеет внд (ЕТ ')'(Т') Е'Т "'ь.

Приравнивая последнее выражение формуле размерности для т. е. Е, получаем Е = Е'Т-ъ+ь Могут возникнуть следующие вопросы. В о и р о с !. Существует ли возможность неодно- значности формулы размерности физической вели- чнный Неизвестные показатели степени а и Ь опреде- ляются согласно упоминавшемуся выше основному принципу теория размерностей: любое уравнение, од- нотипное с вышеприведенным, должно быть однород- ным по размерностям, т. е.

показатели при основных единицах (длины, массы и времени) долхтны быть одинаковыми в каждом члене уравнения. Следова- тельно, налицо следующая система из двух урав- нений: для показателей при Е 1 а, для показателей прп Т О вЂ” 2а + Ь; отсюда 1.Ь 2 и 3 С'к1' В связи с этим возникает следующий вопрос: Вопрос 2. Каким образом определять значения ~коленных коэффициентов в формулег, Ф 19 Пока будем полагать, что оценка численных ко. зффпциентов методом размерностей невозможна.

Рассмотрим теперь альтернативную возможность, которую могли бы выдвинуть оппоненты Галилея, а именно что в функциональное уравнение следует ввести некоторую влияющую переменную, например вес и! падающего тела; таким образом, з = ~(д, С т, гв), !ьтн а=С' д'1 !и'ю . Поскольку вес есть сила (тяжестн), то формула размерности для ю выражается как ЕМТ з и соответствующее уравнение имеет вид Е=(У.У ) (Т) (М)'(ЕМТ ) . Из условия, что показатели степени при единицах длины, массы и времеви одинаковы в обеих частях уравнения, получаем следующую систему уравнений: для показателей при 1.

1 = а + а, для показателей при М О = с + и', для показателей при Т О = — 2а + Ь вЂ” 2А Так как имеется четыре неизвестные величины и только три уравнения, необходимо выразить трн неизвестные величины через четвертую. Выбрав Н в качестве четвертой неизвестной, получаем Ь=2, а=1 — в', Следовательно, а=С д ~1 гн гв или а=С' д!т~ — „, ) . Известно, что для данного пункта земной поверхности вес пропорционален массе тела. Таким образом, здесь опять показано, что з не зависит от массы падающего тела, так как ю/л!д является чис- ленной безразмерной величиной, которую можно объединить с коэффициентом С'. В итоге имеем а=С" дР, На основании других предпосылок С" имеет зна.

чение /и и з = '/гЯ/' Выбор переменных. Этот простой пример может служить для подтверждения важности выбора наиболее существенных физических величин, которые следует вводить в соответствующее уравнение, а также для одной из интересных особенностей метода размерностей. Предполоисим, что, кроме переменных и и й скорость о, которую приобретает тело за время 1, также является влияющей переменной величиной. В этом случае первичное уравнение имело бы впд 5 С . ЫОоь|с а соответствующее уравнение размерности / =(!.Т ) (1.7 ') (Т) > (длина) 1 = а + й, (время) О = — 2а — 6+ с. Тогда 6 = 1 — а и с = 1+ а. Следовательно, з = С й о '1 "~ пли з=С и/( — ~) .

Обе части последнего уравнения имеют одинаковую размерность прп любых значениях а. Если а = 1, то з = СйР, как и ранее. Если а = О, то з = С,п/; при С~ = '/а эта формула является приемлемой, но неудобной, так как в условии задачи дано 1, по не дано о. Отсюда можно заключить, что введение в исходное уравнение невлияющих физических величин не всегда приводит к неправильным ныводам, но может иметь следствием получение целого ряда менее удачных вариантных решений. Итак, одна из интересных особенностей использования анализа размерностей состоит в том, что неудачный выбор переменных в большинстве случаев дает правильное, но не столь полезное и содержательное решение, как при более удачном выборе, Крайне неудачный выбор физических переменных величин может дать тривиальный ответ, но он не обязательно будет неверным. Тогда возникает следующий вопрос; В о п р о с 3. Каков критерий выбора оптимальных физических величин для составления конкретного уравнения? Размерные постоянные.