Определение периода автоколебаний плоских затопленных фонтанов

Механико-математический факультет МГУ Практикум по гидромеханике ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБЛНИЙ ПЛОСКИХ ЗАТОПЛЕННЫХ ФОНТАНОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБАНИЙ ПЛОСКИХ ЗАТОПЛЕННЫХ ФОНТАНОВ Целью задачи является демонстрация эффективности использования теории размерностей при экспериментальном определении зависимости периода автоколебаний плоских затопленных фонтанов от основных определяющих параметров.

При истечении жидкости из вертикальных плоских каналов, выходное сечение которых затоплено, возможны два режима фонтанированияс образованием вытекающей из-под поверхности жидкости свободной струи и без нее, лишь с изменением формы поверхности жидкости над канало м.

Существуют широкие диапазоны значений скорости истечения, глубины начального затопления и ширины канала, при которых главной особенностью этих режимов является четко выраженный устойчивый автоколебательный характер перемещения жидкости над каналом с существенным изменением формы свободной поверхности. При фонтанировании с образованием свободной струи (рис.1а) последняя периодически колеблется относительно плоскости симметрии канала. Относительно этой плоскости имеет место периодическое изменение формы поверхности жидкости над каналом и в случае отсутствия свободной струи (рис.1б).; Эффект автоколебаний выражен очень сильно.

Он устойчиво существует даже при значительном отклонении угла наклона канала от вертикали (до 30'). Диапазону устойчивых автоколебательных режимов предшествует весьма узкий диапазон стационарных режимов течений с очень небольшим симметричным возвышением свободной поверхности над каналом, а за пределом диапазона автоколебательных режимов находятся существенно нестационарные режимы течений без четко выраженных колебаний и очень большой высотой свободной струн. Таким образом, эксперименты свидетельствуют об отсутствии симметрии у рассматриваемых течений относительно плоскости симметрии канала и их существенной нестационарности за исключением указанного стационарного режима с относительно небольшим симметричным возвышением уровня жидкости над каналом.

В то же время, все известные, достаточно многочисленные работы, относящиеся к рассматриваемой проблеме, содержат только стационарные решения задач о плоском затопленном фонтане, которые обладают свойством симметрии и, следовательно, не описывают в большинстве случаев реальной картины течений. Эти симметричные решения, очевидно, не являются устойчивыми за исключением указанного выше предельного случая.

Исследуемое явление представляет собой характерный пример, так называемого, парадокса симметрии, когда "симметричная задача не обязательно имеет устойчивые симметричные решения". Теоретический и даже численный анализ таких течений в точной постановке представляет значительные трудности и едва ли возможен в настоящее время, поскольку он требует решения очень сложной нестационарной краевой задачи в области с неизвестной границей течения.

Из этого следует, что единственным способом, позволяющим изучить механизм и основные закономерности фонтанирования жидкости в автоколебательном режиме, является проведение экспериментальных исследований рассматриваемого класса течений. Общий вид установки и два из возможных режимов фонтанирования с автоколебаниями схематически показаны на рис.1. Установка имеет две параллельные прозрачные стенки, укрепленные на плоском основании 1 (с шириной Я и длиной Х), в цейтральной части которого устанавливается сменная деталь 2, содержащая плоский канал шириной 5 и подводящий к ней участок трубопровода с краном 3 для регулирования величины началъной средней скорости воды ~'св выходном сечении канала На концах основания установки размещаются вертикальные вкладыши 4 в форме водослива с острой кромкой. Изменением их высоты Ьо может создаваться различная глубина начального заглубления выходного сечения канала.

При выполнении настоящей работы рассматривается только частный случай, когда Ьо = О. Затопление выходного сечения канала в этом случае связано лишь с наличием слоя вытекающей из канала воды, растекающейся к обоим концам основания установки, под которыми расположены сливные воронки 5. Ширина канала 5 может быть равной 0,1 см; 0,2 см; 0,3 см и 0,4 см. Ширина основания 5=1 см. Среднерасходная скорость Ге истечения из канала определяется путем деления объемного расхода воды д, вытекающей за одну секунду из установки на площадь выходного сечения канала, равную ЮЬ, т.е. — . расход д находится делением объема воды Д вытекающего Я~ Я.о из установки, за время ЛГ, на длительность этого промежутка времени, т.е.

~у= —. Величина объема Д определяется с помощью мерных ци- 0 Л~ линдров. Основной искомой величиной при выполнении настоящей задачи практикума является среднее значение периода автоколебаний с, которое может быть найдено в экспериментах любым из двух способов: либо де- левием какого-либо значительного промежутка времени на число наблюдавшихся в течение него поперечных колебаний уровня воды над выходным сечением канала, либо путем измерения промежутка времени, за который происходит определенное количество колебаний, с последующим делением длительности его на это число колебаний. Внимательное изучение физических особенностей наблюдаемых течений позволяет сделать вывод о том, что основной причиной существования автоколебаний является возникновение в окрестности затопленного участка вытекающей из канала струи периодически меняющих направление на противоположное поперечных перепадов давления, сообщающих частицам жидкости в струе на ее затопленном участке соответствующий импульс.

Эти перепады давления в случае свободного фонтанирования вызываются импульсами, приходящими с места падения свободной струи на поверхность жидкости, а при режимах, когда свободное фонтанирование отсутствует, связаны и с отличием в значениях гидростатической составляющей давления из-заразной глубины жидкости по обеим сторонам от канала. Анализ изучаемого явления позволяет выявить возможные определяющие параметры, от которых зависит период автоколебаний 'с и предположить, что имеет место зависимость: = Р У, Ь 1э.

б, Р 4) где у - ускорение силы тяжести, Р - плотность воды, )х - динамическиЙ коэффициент вязкости, 1~ - геометрические параметры, характеризующие наряду с б конструктивные особенности установки (например, ширина основания Я, длина основания Л и др.). Можно была бы попытаться найти экспериментальным путем вид зависимости ~1), изменяя, например, первый ее аргумент и определяя при каждом его значении величину периода 'с, зафиксировав при этом значе- ния всех остальных аргументов.

Но тогда, пришлось бы повторять этот опыт столько раз, сколько существует всевозможных комбинаций значений остальных аргументов. Очевидно, что количество таких опытов будет огромным, не говоря уже о трудностях, связанных с их практическим осуществлением. Ведь в этом случае необходимо проводить опыты с жидкостями, имеющими разную вязкость и плотность, с различными значениями ускорения силы тяжести, ш ирины щели и т.п. Использование теории размерностей позволяет найти искомую зависимость гораздо быстрее, существенно со- кратив длительность экспериментов. Действительно, выбрав в классе систем единиц измерения, например, в (Е, М, Т~, в качестве максимально возможной из числа аргументов размерно-независимой совокупности аргументы б, и и Ьь, согласно П-теореме теории размерностей для безразмерного периода автоколеба- ний Тбудем иметь: Число опытов, необходимых для получения вида такой зависимости, не столь велико, поскольку число аргументов у неизвестной функции существенно сократилось.

Сделав попытку построить зависимость безразмерного периода Т от первого аргумента ', при различных значениях остальных ар- ® гументов (например, за счет изменения О в опытах с водой) можно убе- диться в том, что все получаемые экспериментальные значения Тгруппируются в окрестности одной единственной кривой. Это означает, что существенным в соотношении (2) является лишь Р; первый аргумент Рг= ', который называется числом Фруда и явля- 48.а ' ется одним из основных безразмерных параметров в тех гидродинамических процессах, где важную роль играет сила тяжести.

При выполнении задачи требуется построить экспериментальную зависимость Т= Т(Рз'~для каждого из 3-х значений 5=0,2 см; 0,3 см и 0,4 см в диапазоне таких расходов воды, когда удается визуально с помощью секундомера определить среднее значение периода автоколебаний к любым из двух указанных выше способов. Удобно, например, найти промежуток времени, за который совершается Й колебаний. После деления его длительности на А получается средняя продолжительность одного колебания, т.е. период 'к.

Можно воспользоваться и другим из угазанных способов, т.е. зафиксировать определенный достаточно большой промежуток времени и разделить его на количество имевших место в течение него колебаний. Очевидно, что в первом случае период с будет найден тем точнее, чем больше Й, а во втором случае тем большая точность будет достигнута, чем большее число колебаний будет происходить за выбранный промежуток времени. Имеющийся опыт проведения таких экспериментов указывает нато, что приемлемая точность достигается, например, уже при выборе 1=30. Можно рекомендовать также в этом случае для каждого значения б начинать опыт с небольшого расхода воды, но такого, когда уже имеется возможность уверенно выполнить подсчет числа колебаний, а заканчи- вать опыт при максимально возможных расходах, при которых автоколебания носят еще вполне регулярный характер.