Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 7

Та)йпй сЬе ачегайе оГ |Ье ргестйпй сво есспас!опз апд арргохппайпй и,г опе оЬсапв и|(С) = с| (ЯС) — аггпгиг)/а>>и +с ( Г(С) — а/геегиг)/а(са (3.5.11) Аззшпе а|г = О. чС>г!се сЬе |$йсгес1гайоп оЬсаспе|$ ш сйе спсейог оГ П вПЬ опе оГ СЬе шегйойз )ы| |$йсыве|$ м -г о | чг иг-ее+аз ие — о+с)ги>+дгигео+ |7!из+е = з> (3 6 1) Ав чйИ Ье сйзспззед ш СЬарсег 4, Гог й|е шаспх А оГ сЬе гезп!йпй !шеаг зузсеш со Ьаче |Ье дейгаЫе ргорегсу оГ Ьегпй ап М-тагпх, П !з песеввагу |Ьас Г.ес ы вес вЬесЬег с)ив 1з |Ье сме. Гйгй, са$|е ааз(х) ап|$ Ь (х) сопвсапс. ТЬеп, арагс $гош а зсайп8 Гассог, аП 61всгес!гайоп шесйодз гйвсызед !еаза ш сйе !шейог оГ П со Ргош (3.6,2) 1С Гойовв Сйа| Сйе |пезЬ Рбс!ег пшпЬегв Рт йейпе|$ ав 9$>!|Ь чайаЫе а з(х) апд Ь (х) |Ье ехргеввюпз Гог е)ег Ьесоп|е |ноге с|нпрйсасей. 1.ес пв Са1|е, Сог ехипр1е, сеП-сап!сед йшсе чо1шпе й!веге!!гайоп, в!|Ь а з(х) сопйппоы !пв!де СЬе йп!|е чо1шпез, Ьп| ровпЫу дисоп|шпоы а| сйек Ьоппдаг!ев.

ТЬеп опе оЫипз е)е г = — Л с(п> - |чего> - „/2 агг> - ее — И > и! -ее/Лг = — И|Ь>,! — еаг|чг — е(2ан,|'-е, Лгвг-е~/Л> д/ = И|Ь>аееагвг(2ас>,з' — Лгвг/И! >71 = И,Ь|.;+„>гиг/2аи,, — И|из/Лг Л|иу — ее/Лг+ Лг|ч! — е/Л| + Ьгиг/Ь| + Лси>/Лг | И|Ь>а+ е >гщ(2анаае, И|Ь>а — е егчу-е (2ан|'-е, ал|ьг >+еагиг/2агг,>е е — и|ьга —,егиг —,/2аша — е, вЬете иг Ь дейпед Ьу (3.4.24), апд иг=2агг,гагггеа/(ащ+ аггае,). Айа!п, Гог А Со Ье ап М-шагпх, Есспаг!оп (3.6.5) шы| Ье ва|!вйей, в1|Ь Р гер!асей Ьу Р,и Пейнака Ьу Р а= )Ь >+а >г|>Л /а > (по зппппасюп) (3,6.7) 1п с|нпршайопа1 йп!д гулаш!св аррИсайопв, ойеп (3.6.5) ог (3.6.7) аге пос заг!зйей.

1п огдег Со Ьаче ап М-ша(йх, СЬе йгз| депчайчев ш СЬе еср|аСюп п|ау Ье гйзсгейгед д!Пегепс!у, па|не!у Ьу ирвсл|Г с((зсгег!хаг(ол. ТЫв йепегасев оп1у поп-ровЫче сошпЬпсюпз со а,"ч е Ф О. Гйгвс ве девсйЬе |Ье сопсерс о( ()их зрй|гтй. ТЬе сопчесйче йпхев Ь и аге зрйс ассогдсп8 Со Ягзс-оп!ег првш|$ с$!вегас!гас!оп Ь оЬ|а!пес! Ьу |Ье сойоачп8 врййш8 $)рвшд й!ГГегепс!п8 Ь оЬсыпей Ьу сйе Гойочечпй йпйе |ИГегепсе арргох1- п|аСюп 1п сйе йпйе чо1шпе сопсехс, првспд |Изсгейхасюп 1в оЬса1пед вИЬ (сГ. (3.4.15), (3.4.25), (3.4.28) ап|$ (3.5.6)) 32 А Иурег!юйс зуие|л ТЬе ш!хед дегсчайче 3.7. А ЬурегЬО)сс зув(епс Воипдагу сопд(Вопя «Ьеге (Ь|и),| = ЧсГГ! (3.6.12) |чЬегев (3.6.11) Ьесоп|ев в Ь|и дхг = Игу!'! (3.6.13) А(и, р)К(и,о) =К(и, р)$3(и, р) (3.7.3) ч|Ьеге А(и, сл ) = сов |р — + яп |р— дГ(и) .

88(и) ди ди (3.7.4) в Ьги дхг = И|Ьс(1,хг)8(хг) л (3.6.15) у!о!ге Щавелевое алд Ялсге чо!ите а!веге!!за!гол $)рушд д!вессс!запои гедисев |Ье спшсайоп еггог со О(И„). МисЬ Ьм Ьееп |чпиеп |и сЬе сошрисайопа1 йиЫ дупаиисв Ьйегайге аЬоис сЬе ргов апд сопя оГ ир|чсп|$ |$Ксгейгайоп. %е «чй пос 8о $псо Пив Ьеге, ТЬе шсегезсед геадег спау сопядс КоасЬе (1972) ог ОгевЬо ап|$ Г.ее (1981). %Ьеп а|г(х) Ф О, сопдссюп (3.6.2) п|ау Ье чю!асед, ечеп счЬеп Р = О. )п ргассссе, Ьо«ечег, ыиайу ап(х) Ф 0 доев пос саизе сЬе |паспх А со дечасе пшсЬ (гоп| |Ье М-шасгсх ргорегсу, зо сЬас |Ье ЬеЬач!оиг оГ йе пшпег1са! во!- ийоп шесЬодз аррйед В пос зепоив1у айессед.

Бее МйсЬей апд Спй)сЬз (1980) апд Ехегспе 3.6. 1 Гог сйвсгейгайопз оГ йе пихед депчас|че сЬас 1еаче (3.6.2) !и!асс. ()р«ч)пд сйвсгесаайоп ша1|ея йе аррйсайоп оГ Ьоипдагу сопсййом еаяег йап Ье[оге, рго|ддед |че Ьаче |Ье рЬуясайу сопнпоп яыайоп оГ а $3$псЫес соп|$йюп а| ап $пйосч Ьоип|$агу (Ь л„< 0 |чПЬ и |Ье оис«ап! поппа1 оп д0). Гп йе чегсех-сепсгед саяе, Н х| = 1 ы ап !ийосч Ьоипдагу, сЬе НспсЫес сопдйдоп В аррйед д)гесс!у, апд (3.6.11) и пос гесса!гед.

Н х| =1 ы ап оисйосч Ьоипдагу (Ь| > 0), (3.6.10) 8$чев зо СЬаС по ч!Пиа1 ча1иез пеед Со Ье еча!иагед. 1п СЬе сей-сепггед сме «ПЬ йпйе д)ГГегепсев, Н х| = 1 и ап !пйо|ч Ьоип|$вгу, а вшсаЫе арргохппасюп ас |Ьсз Ьоиидагу В (Ьси),| = 2(Ь! (1, хг) 8 (хг) — Ьс,ги!)/Ис (3.6.14) |ччсЬ 8(хг) сЬе ргевспЬед $3)псЫес ча1ие, счЬегем 1п |Ье оисйо|ч саве «|е Ьаче (3.6.12). %ЬЬ йпйе чо!шлея |че Ьаче !п йе сазе оГ спйосч апд Еср|айоп (3.6.13) !и сЬе сазе оГ оисйосч. Ехегссзе 3.6.1. Яю«СЬаС сп ог|$ег Со загсзГУ (3.6.2) 1п СЬе саве СЬаС ап и 0 опе зЬои1|$ ые сЬе зечеп-ро$пс зсепсй оГ Р$8иге 3.4.2(а) 1Г а|г с О апд сЬе всепсй оГ Р)8«ге 3.4.2(Ь) $Г а|г > 0 (сГ. Ехегсие 3.4.1).

Аишпе а„в = сопзсапс влд Ь =с=О, апд десепшпе соп|$Пюпз йас вЬои!д Ье васЬйед Ьу ад Гог (3.6.2) со Ьо!д; соп|раге сЬезе «чсЬ (3.2.9). Нурегбойс вувзеш оГ сопмгчайоп !а|ля 1п сЬи вес|1оп |че сопвЫег йе сойо«дп8 ИурегЬойс зузгет оу сомегчайол Галя — + — + — = з, (х, у) з $$, ! я (О, Т) ди дГ(и) дй(и) (3.7.1) д! дх ду и;[О,т) ха- Б,СКр, з:[О,Т) х($- Кр, У,д|Б.- Кр (372) Неге Б, В йе зес оГ адпим)Ые зсасез. Рог ехашр!е, $Г опе оГ сЬе р ипсспо лпв, и| зау, ы йе йиЫ делягу ог сЬе вреед оГ зоипд ш а йиЫ шесЬапссв аррйсасюп, сЬеп и| с 0 Ь пос адпизз)Ые. Еср|айоп (3.7.1) Ь а зувсеш оГ р ессиас)опв «чсЬ р ип)спо«пз.

Неге чче аЬапдоп Сагсеяап сепзог посасюп Гог сЬе пюге сопчешепс посасюп абоче. Есу|айоп (3.7.1) и мвшпед со Ье ИурегЬойс. Оейп!с!оп 3.7.1. Ессиас!оп (3.7.11) В сайе|$ ЬурегЬойс чп|Ь гевресс со г!Г |Ьеге еизс Гог ай сг в [О, 2х) апд адшсзз)Ые и а геа! |Пайопа1 п|аспх $)(и, сг) влд а поп-в!пеи!аг |па!их К(и, сг) висЬ йас ТЬе п|аш ехашр!е со дасе оГ вузсешв оГ суре (3.7.1) со МпсЬ спи!ййгЫ шеСЬодв Ьаче Ьееп аррйед виссеввй|йу аге йе Еи!ег ециайопв оГ 8м дупаппсз.

Бее Соигапс апд РпедпсЬв (1949) Гог пюге деса)Ь оп сЬе ша|Ьешайса1 ргорегдез оГ сЬезе ес)иас!опз апд оГ ЬурегЬойс гумен 1п 8епега!. Рог пшпепса! аврессв оГ ЬурегЬойс вувсепи, вее КгсЫшуег апд Мог|оп (1967) ог Бод (1985). 35 А Ьурегбоис яуятет 34 у'(и) = /'(и)+У (и) (3,7.10) ) (а/'/аи) > О, Л(аУ-/аи) < О (3.7.11) ,/'(и)с язу'(и!)+,/' (иг„,) (3.7.12) в'$п(те чо!пше гПзсгебзатюп (3.7.5) и йО= !0!!и! ~ Яйй= !07!я! и, яо, (3.7.6) в Ди) йхз ги )ггУ(и)с (3,7.8) Г(и)с ги ту(и!) + Ц(и!+„) (3.7.9) гииге йг(гегеосе оой яогге го!ите аисте!но!гол Рог 1Ье сИзсгет(затюп о! (3.7.1), всЬешев о! Пах — %сайго(( суре (вес К!сЬппуег апй Мат!оп 1967) Ьаче 1оп8 Ьееп рори1аг алй в6П ате жЫе1у ыей. ТЬеве всЬешев аге ехрПсЬ апй, $ог 6ше йерепйеш ртоЫешз, Пгеге 1я по пеей (ог пш!68гЫ: иаЬтИту апг$ ассигасу гешпсбопз оп 1Ье типе втер л! аге аЬоит ециаПу вечеге.

1( 1Ье типе-йерепйеп1 1оппи!а1юп Ь изей во1е!у ав а шеапв 1о сопгрите а меайу зтате, 1Ьеп опе чгои!й И(ге 1о Ье ипгевтг!отей 1п 1Ье сЛоке о! й! апй/ог ые агййси1 шеапз то 8ет гЫ о! 1Ье тгапяеп1в ци(с(г!у. Ь$! (1982) Ьаз ргоровей а шетЬой то йо 1Ыз иип8 пш16р!е 8т(йв. ТЬЬ шегЬой Ьав Ьееп йече(орей (итзЬег Ьу ЗоЬпвоп (1983), СЫгпа апй ЯоЬпзоп (1985) апй ЮоЬпвоп апй Я«$ззЬеЬп (1985). ТЬе шетЬой и тех!петей то Пах%сайго(( 1уре (отша(абоы.

То Плит 1Ье всоре о! 1Ыв гчот(г, 1Ыв тпетЬог$ «чП пот Ье сИясызей !игтЬег. %е «чП сопсеыгате оп Пште чо1шпе <ИвсгетЫабоп, «ЫсЬ реппИз ЬогЬ ехр1кИ апй нпр1га1 типе г(Ьсгебтабоп, апй й(тест соптрита6оп о! в1еайу в1атев. роПо«чп8 1Ье шаш тгепй !п соптепгрогату сотпрыабопа1 ПиЫ йупаписв, чге гПвсыз оп!у1Ье сеП-сеп1гей сазе. ТЬе 8пй! в Ьйчеп тп р!8иге 3.5.1. 1птехгабоп о! (3.7.1) очег О! 8!чев, ы1п8 1Ье Оаивв й!«ег8епсе 1Ьеогеш, — и йО+ ~ (у(и)и,+8(и)пг) г$Г= ~ 5 60 й й! 1., «Ьеге Г, Ь 1Ье Ьоипйагу о! О! %$1Ь 1Ье арргохнпатюпз «Веге ~ О, ) Ь 1Ье агеа от ОЬ Ег(иат)оп (3.7.5) Ьесогпев )От( йи/йт+ ~ (у(и)п„+д(и)п ) йГ= )От(я! (3 77) ТЬе типе сИзсге1Ыабоп «81 Ье й!зсызей $п а 1атег СЬартег.

ТЬе врасе й!зовет!забои га)сев р1асе Ьу арргохнпабп8 1Ье 1птехга1 счет Г!. Еет А = ху+ (Ь!/2, — Иг/2), В = х, + ()г|/2, Ьз/2), во 1Ьа1 АВ Ь рап о! Г-. Оп АВ, и„= 1 апй пг = О. %е «пте «чтЬ С тье пнйрогпт о! АВ. Сепгга! тросе г(Веге!(хат(ои и пышней «11Ь 1п 1Ье ргевепсе о! вЬосЬз, Пив йоез пот !еай то 1Ье соггест тчеа(г во1ибоп, ип1евв 1Ьеппойупапнс 1ггечегиЫ(Иу Ь еп(отсей. ТЬЬ гпау Ье йопе Ьу 1птго- йис!п8 аг68с!а$ ч!всопту, ап арргоась (опо«ей ьу юашевоп (1988а). Апотьег арргоасЬ и то ые ирмчпй тросе йлсгег(заг(оп, оЫа!пей Ьу /(их ярйп!их: «чть у*(и) сьовеп вись гьаг тье ещепча1иев о(тье ласоь!апз о(/'з(и) вабз!у ТЬеге ате гпалу вр101шхв вабз!у(п8 (3.7.11).

Рог а вигчеу о! Пих врИиш8, вее Нагтеп е! а!. (1983) апй чап Ееег (1984). %ПЬ иР«чпй йысгетЫабоп, У(и)с Ь арргохппатей Ьу ТЬе нпр!ешеп1абоп о! Ьоипйату сопгИ6опз 1ог ЬурегЬоИс вуз1егы Ь по1 знпр1е, апй и!И пот Ье сИзсизвей Ьеге$1Ье геайег Ь ге!епей то 1Ье (Пега!иге шеп1юпей аЬоче. Ехегсгве 3.7.1. 8Ьовч 1Ьа1 1Ье Йих вр(Ьтнщ (3.6.9) вабзйев (3.7.11). 37 гагин!испол у =Бу" +М 'Ь у ь= у +(1 — я)у 4.1. 1п1гоь)ис110я (4.1.7) Ву еИпнпагюп оГ у" опе ойапз у+'=Бу + (4.1.8) Вавьс $гегаПче тегЬобв ПЬ Б'=яБ4(1 — я)1 (4.1.9) Ау=6 (4.1.1) Еег гЬе гпагях А Ье ьр1И аз Л(Б*) = яЛ(Б) + 1 — я (4.1.10) А = М вЂ” Гь( (4.1.2) Муп+ ' = $ь(у + Ь (4.1.3) у +' =Бу +ТЬ (4.1.4) Б = М '$ь), Т = М (4.!.5) М = М/я, $ь(~ = А — М (4.1.11) 4 ВАЯС 1ТЕК.АТ1УЕ МЕТНООЯ БпюоПпп8 гпегЬогЬ ш тн1$$8гн$ а18ог$$Ьтв аге пзпаПу га)геп Ггот гЬе с1аи оГ Ьаь(с 1гегаг(че тегЬог(з, го Ье г(ейпег$ Ье!огч.

ТЫз сЬаргег ргевепи ап шггойпсПоп го гЬеве тегЬгк(в. Бпррове $Ьаг сПвсгеПгагюп оГ йе рагПа1 г$$$7егеппа! ес(паг(оп го Ье во1чег$ 1еа<$ь го $Ье ГоПон(п8 1!пеаг а$8еЬгЫс вувгет ьг!$Ь М поп-япхп1аг. ТЬеп $Ье ГоПоеПп8 ИегаПоп тегЬод Гог $Ье во!цПоп оГ (4.1.1) В саПег$ а Ьов(с ВегаПче теГЬосЬ 1.ег пв аЬо сопвЫег тегЬоь(в оГ гЬе ГоПоьч!п8 гуре ОЬчюпз1у, тегЬо<$в оГ гуре (4.1.3) аге а(во оГ гуре (4.1 4), ьч$$Ь $)пг)ег йе ГоИопИп8 сопгИгюп йе гечегзе и а1зо гпге. РейпВюп 4.1.1. ТЬе ИегаПоп тегЬог$ ь)ейпег$ Ьу (4.1.1) В саПег( сонь(ьгепг $Г $Ье ехасг зо!нбоп у" В а Пхеь) рошг оГ (4.1.4). ВхегсВе 4,1.1 вЬоьчз гЬаг сопязгепс Иегагюп тегЬоь)в оГ гуре (4.1,4) вПЬ гехп)аг Т аге а1во оГ гуре (4.1.3).

Непсе(оггЬ ьче еПП оп!у сонь)г(ег тегЬог(в оГ гуре (4.1.3), во $Ьаг ьче Ьаче у~~'=Бу +М 'Ь, Б=М '$ь(, )ь(=М вЂ” А (4.1,6) ТЬе тагпх Б Ь саПег$ $Ье Пегайоп та1пх оГ ПегаПоп тегЬоь$ (4.1.6), Ваяс ИегаИче тегЬог(в тау Ье ь(апьрегГ, Ьу пнн$$(у)п8 (4.1.6) ав Го))очгь ТЬе е(8епча1нез оГ гЬе нпг(аьпрег$ $гегаПоп тагпх Б апд йе г(агпрег$ $$егаПоп тагпх Б" аге ге1агег$ Ьу АЬЬоп8Ь йе ровв(Ы!$гу $Ьаг а гИчегхепг тегЬоб (4.1.6) ог (4.1.8) В а 8ооь$ япоогЬег (а сопсерг го Ье ехр!а(пеь$ $п СЬаргег 7) саппог Ье ехс(нь(ег(, $Ье пюзг И!се!у сапбн)агез Гог 8ооь$ япоогЬш8 тегЬог(в аге го Ье Гоппг( апюп8 сопчегхепг тейоь)в.

1п йе пехг весПоп, $Ьеге(оге, зопье гезп1$з оп сопчег8епсе оГ Ьаяс ЬегаПче теИнк(в аге ргевепгег$. Рог пюге Ьас)г8гоппь$, зее $Гаг8а (1962) апг$ г'оцп8 (1971). Ехегс(ве 4.1.1. БЬогч $Ьаг $Г (4.1.4) $з сопзигепг апг$ Т В ге8п)аг, $Ьеп (4.1.4) В е9п!ча1епг пИЬ (4.1.3) ьч$$Ь М=Т ', $ь)=Т ' — А. Ехегс$ве 4.1.2. БЬогч гЬаг (4.1.8) соггевропгЬ го гЬе ьрИят8 39 Солитделсе рт" Ьаяс Летая!че те!вот!и Вессс Легаттге тетатЬ айти.с Сопчегйепсе (4.2.6) р(Б) < 1 е"" = Бе (4.2.1) гл"'=АБА 'г~ (4.2.2) !!а"!! < !!Б !! !!е !! (4.2.3) Птп !!Б !! =О ПФ (4.2.4) сч!сЬ Б = М си). (4.2.5) 4.2. Сопчетдепсе от Ьпз1с 1(етас!че ясес)сос)з 1п сЬе сопчегйепсе сЬеогу (ог (4.1.3) сйе (ойосч!пе сопсерсз р1ау ап 1шротсапс го1е. !Че Ьаче Му = Ху + Ь, во сйас сйе еггог е = у — у васийев ТЬе гев!Опас г" = Ь вЂ” Ау" влсс е аге ге!асяс) Ьу г = — Ае", во сЬас (4.2.1) 8! чез У(ге Ьаче е" = Б"еи, чтЬеге сйе впрегзсг!рс оп Я !в ап ехропепт, во СЬат (ог апу чессог попп !! - !!; !! Б !! = вар~ля(!! Б х !!! !! х !!! Ь сЬе спаспх попп 1пт)псет) Ьу сйи частот попп.

!! Б !! Ь сайес) сЬе солсгасВол литйег оГ сЬе !Сета!Не шегйод (4.1.4). Рейпййоп 4.2.1. ТЬе 1сегайоп шесйос! (4.1.3) 1и саПес) солчегхелс !( ггош (4.2.3) И (ойотчз СЬат Ппс - е'" = О 1ог апу ев. ТЬе ЬеЬач!опт о( !! Б !! аз т о и ге!асяс) со сйе е!8епзспссспге о( Б ав (ойояв. Тйеогесп 4.2.1. Еес Б Ье ап л х л пшспх я!сЬ зрессга! гас!!пв р(Б) > О. ТЬеп !! Я !! — стг и (р(Б)! и+с ав т — чс ттйеге р Ь сйе 1агеезс огт(ег о( аИ Лотт)ап впйтпаспсев Л, о( сйе уотс(ап поппа1 (опп оГ А яЬЬ р(Л„) = р(А), аптС с и а рояСгче сопзСапС. Ртов: Бее Уатеа (1962) ТЬеогеш 3.1. П ггош ТЬеогеш 4.2.1 И Ь с1еаг сЬас р(Я) < 1 Ь вп(йс!епс сот сопчегйепсе. Я!псе !! Я !! > р(Б) Ь шау Ьарреп сЬас !! Б !! > 1, ечеп сйопЯЬ р(Б) < 1.