Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 6

е,-г, — го) = — аслчга(хс) = Яхг) (3.4.7) гг 2 1 Ессиас!оп (3.4.7) !3 изей со е1ишпасе сЬе Ыгсиа1 ча1иев (гош (3.4. 5). ТЬе Пгвс- огйег сени (Ьси)а !в йвсгессгей аз 1оПо«в ас х = Х1 (Ьги),1 = Ьгии+ Ьги,1 = Ь1,си + Ьг(Г" — агги,г)$ а„(3.4.8) Рог япооСЬ а В(х) СЬеге !в ПСПе й!$1егепсе Ьеггчееи йи!Се й!(сегепсе апй Пи!Се чо!шпе йзсгесыайоп, Ьис гог йЬсопйпиоиз а в(х) 1с ы споге пашга! со иве йп!се чо!шпе йЬсгессгайоп, Ьесаизе сЫв авек сЬе «васс Гогпш1айоп (3.2.6), апй Ьесаизе П ы пюге ассигаге, ав гче ва» сп СЬе ргесегПп8 весйоп. чепех-септтеа аьсгтгеоттп гпЬеге С !в йе сепсге ог" АВ: С= хг+(Ьт/2,0).

ТЬе п8М-Ьапд вЫев о( (3.4.13) апд (3.4.14) Ьаче со Ье арргохипасед 1игйег. 0=() Отп О!Ой!=а, ! (3.4.9) в Ь,и дхг — — ЬгЬт(С)(и!+ гй о'гг2 А в апи,! дхг = Ьгагт(С)ггти! о(х) =О, х1(О! о(х) =1, хай! (3.4.10) Г а!си,г дхг = Ьгатг(СНЧгиг+т + пги!)(2 (3.4.17) А ог + ~ (Ь„и),„дй+ ~ си дО в апи г дхг — — Ьгатг(С)(йг+ Чг)(иг+ игчо)!!4 (3.4.18) л ог — дй (3.4.11) в а!!и,г дхг = Ьгатг(СНйгиг«о+ Чги> "12 (3.4.19) Р!всоптспиоив сое(Ьс!ептв Азвише йас а в(х) 1в сопсшиоив !п О! Ьис тпау Ье д!всопсспиоы ас йе Ьоипдапев о(0!. 1п сЬе арргохппайоп о( сЬе п8Ьс-Ьапд вЫев о( (3,4.13) апд (3.4.

14), сЬе 1игпр сопдМоп (3.2.8) Ьав со Ье састеп сизо ассоипс. Ас С сЫв сопд!с!оп 8!чев, арргохнпаСсп8 а в(х) Ьу соппапт ча1иев тп йе (тп!Се чо1 шпет, ап, и,'г(С) = агт,.~пи~!(С)+(а!г,гч„— атг,!)и,г(С) (3.4 20) гчЬеге сЬе шрегвспрсв 1 апд 2 1пд1сасе сЬе 1нп!св арргоасИп8 С 1гош !пвЫе апд 1гош оисвЫе Ог, гевресйче!у. Хосе сЬас ид доев пос 1итпр Ьесаые и.

Ь сопйпиоы. Етргайоп (3.4.20) !в арргохипасед Ьу в Ь! и дхг Ьг(Ь|и)с (3.4.13) 2а! !. т(ис — и!)! Ь! = 2 а!! и+о(и!+и — ис)! Ь! + (а!г,гч „— а!ги)и,г (С) (3.4.21) в а !и,о дхг Ьг(а ти,о)с А (3.4.14) гч!в!те дс(тетепсе апа До!те чо!ите аиететт2аиоп ТЬе дотпшп й !в сочетед Ьу Оп!се чо1шпев ог сейв Ог, вас!в(у!п8 ТЪе Ьоипдапев о( сЬе Ьпйе чосшпев аге сЬе ЬгоЬеп !шев !п г!хауге 3.4.1. Ехсерс ас сЬе Ьоипдапев, йе 8пд рошь х, аге ас йе сепсге о( О!. ТЬе ро!пс о1 дерагсите Ь сЬе «еа!с 1огпш1асюп (3.2.6), «ЬЬ а(и, и) 8!чеп Ьу (3.2.7).

1.ес и Ье сЬе сЬагассепвйс йшсс!оп о1 От! тЬе ехасс воЬиюп зас!вйев сье 1шпр сопд!с!оп; сьив сЬе 1псехга! а1оп8 Г ш (3.2,7) сап Ье пе81ессед. Опе оЬсгдпв а(и, и) + Ьси, и) + с(и. о) = — ~ (а ви,о)э дй !и! а зи, пз дГ+ ~ Ь ип„дГ+ ~ си дй г, «!Ьеге «е Ьаче ыед сЬе Оаивв д!чегхепсе сЬеогеш, аввиш(п8 йас а в(х) Ь сопйпиоы тп йт, апд гчЬеге Г; Ь йе Ьоипдату о( Ог Ч(те арргохипасе сЬе сеппв ш (3.4.11) вератасе1у, ав Ео!!осчв з дй = ~0!) за ~ си дй = (Ог(сги (3.4.12) вг га, гчЬеге ( й! ) 1в йе агеа о1 йв рог сЬе !псехгаЬ очег Г! гче Йгвс дйсизв сЬе шсе- 8га! очет йе рагс АВ о(ГЬ гч!1Ь А = хг+ (Ьт!2, — Ьг)2), В = хг+ (Ьт!2,*г!2); О! Ь аввшпед пос со Ье ад)асепс со дй.

Оп АВ, п! = 1, пг = О, апд дГ = дхг. ТЬе (о11отч!пх арргохппасюпв аге шаде Сопипиоив сое(Ьссепвз г!гвс, аввшпе йас а„в(х) Ь сопйпиоы. ТЬеп пе «псе (3.4.15) (3.4.16) 26 27 сои-сел|сей аьсгегсгоиол в Ьги йхг — — ИгЬ!(С)(и|+ и|г п)(2 (3.4.28) РшсЬег йесЫ!з аге 1ей 1о сйе геайег. Воипйагу сопй!Иопв Опе оЬса$пз в а||и,| йхг = 2Ьга||а(ис — иг)(йг (3.4.23) (3.4.29) а |и»(1, хг) =Дхг) = Ьггчлй |и/ 1.е1 АВ Ие ои х| = 1.

ТЬеп |че Ьаче |чИЬ а„|и„, йхг = Ьг/(хг,) (3.4.30) иу |е 2а|нгасс,у»г((агги в они+,) (3.4.24) апй в Ь|и йхг = ЬгЬс,;и, (3.4.3!) 3.5. Се)$-сепсгес) с)сзсгес(гас(оп Сей-еепвгей йгЫ (3.4.27) и,г = ч г(из+ и|»„)(2 РСлсге йщегелсе ола ялйе чо!ите аисгеиеаиол Еи (3.4.21), ид Ьав со Ье арргохипасей Еппйег. ТЫя !пчо!чев йгайсепсв очег осЬег сей Еасев, |чЬеге айши сйе )шпр сопйЫоп Ьаз со Ье вайвйей. Аз а геви11 $с Е по1 зсгащМЕог|чагй со йейпсе Егот (3.4.21) а вппр!е ехргеяяоп гесайп8 ис со пе$8ЬЬоипп8 8пй роси|в, $Е а в(х) Е иос соп11пиоиз ечегугчЛеге. ТЫз яспасюп Ьм пос уес Ьееп ехр!огей 1и сЬе Исегасше, апй таЫпй ап ассеп|рс ьеге гчои!й Еас! оисвЫе сЬе всоре оЕ Иив Ьоо)с. %'е !Веге(оге аввшпе Его|и погч оп сйас ап(х) = О. ТЬе ясиайоп Ь погч апа1ойоив Со сЬе опессипепвюпа! сазе, сгеасе|$1п сйе ргесейспй зессюп.

Есспас1оп (3.4.21) 8$чев ис = (аи,,и>+ а,г,у+»,из» |)((а||а+ агс.у+» ) (3.4.22) Тйе сопчесйче сегт $в арргохппасей м Еойогчз, ыспй (3.4.13) а|и$ (3.4.22): Ь!и йхг = Ьгйг(С)(агн,иг+ ана „иг»»|)((аг|,, + ан,,„,') (3.4.25) ТЬе!псейгаЬ а1опй сйе осйег Еасев оЕ $)г аге арргох$п|асе|$ $п а зпш1аг ЕаяЫоп.

Лыс ав т сйе оие-йппепяопа1 ехшпр1е й)зсизвей еагйег, опе и|ау а1зо мяппе сйас а в(х) Е сопс!пиоы асгом сйе Ьоипйапев оЕ сЬе йпйе чо1шпев, Ьис тау Ье гйвсоис|пиоиз ас сЬе зо1Ы 1шев ш Рщше 3.4.1. Тйеп |че арргоитасе а в(х) Ьу а сопвсапс ш еасЬ сей Ьоипйей Ьу зо!Ы Ипез. ТЬе спсейга! очег АВ Е зрИс 1псо с|чо рапз: очег АС апй очег СВ. Опе оЬсагпв, Еог ехатр1е, с а»|и,» йхг = Ьг! асг(А)!в|и„-|- ап(А)и,г) (3.4.26) иЬеге и,г Ьаз со Ье арргохппасей ЕшсЬег. $|согч сйе сме ап(х) Ф О сз еая!у Ьапй!ей, Ьесаиве И|е )шпр сопййюпз йо пос! псегЕеге |чЬЬ сЬе арргохппайоп оЕ и,г, сог ехатр!е, си Ессиассоп (3.4.21): Рог сЬе сопчесссче сепп сйе Еойопгпй арргохипасюп тау Ье иве|$ (сЕ.

(3.4.13)) ТЬе Ьоипйагу сопййюпз аге сгеасей аз Еойогчв. 1Е |че Ьаче а Ег(псЫес соп- й$11оп ас х| ие ятр1у вийзйси1е |Ье Ейчеп ча)пе Еог и|. Бпррове |че Ьаче а Хешпапп опий!с!ои, Еог еха|пр(е ас х| = 1 Ехегс!ве 3.4.!. $)ег(че а гйясгейгайоп ыш8 |Ье зсепсй оЕ Рщиге 3.4.2(Ь). (Н1п1: оп$у |Ье й(всгес(гас!оп оЕ сЬе ппхей йегсчассче пеейз со Ье сйапйей.) ТЬе йота!и Ес Е й)чсйей $и сейв м Ье(оге (во1Ы Ипез $и Рщиге 3.4.1), Ьиг по|в сЬе йгЫ роси!в аге |Ье сепсгев оЕ сЬе сейз, вее Рсйпге 3.5.1.

ТЬе сотршасюпа1 йгЫ О 1в йейпей Ьу с| = (хз !Ь х= х;= (( — я)Ь,,Е = ((н(г), 5= (г,с), Ь = (Ьг, Ьг), / = 1,2, ..., л, Ь» = 1(л ! (3.5,1) ТЬе сей |ЫсЬ сепсге хг сз сайей Есв Хоге СЬас си а сей-сепсгей йгЫ СЬеге аге по йпй ро1псв оп |Ье Ьоипйагу д($. Се)рселггеа дисгеагааол 28 Воипдагу сопйиопв йапе чосигле апд в Ьси дхг = ИгЬг(С)Г(С) (3.5.5) Ипйе д[Вегепсе дсвсгегиадоп и Ьси дхг = ИгЬс(С)и(С) Воипдагу сопд)Вопз (3.5.6) ир+„— - 2Г(хг,у) — из (3.5.2) и(С) = и,+гИ,иа(С) (3.5.7) (3.5.8) ил(С) = Г(С)(асса (3.5.9) Ип[ге чоспше йвсгебзаиоп агс,,ил (С) + аггг,,иЬ(С) = У(С) а [игал (С) + агг,,и,'г(С) = У(С) (3.5.10) Нтге ЙЯегелсе алгсртге чо!ите пузстгиостл Щиге 3.5.1 Се1$-сепсгед згЫ. (Ф ВгЫ ро1псв; Ьоипдапез.) Ип!се д[ГГегепсе дВсгес1гас!опв аге оЫаспед 1п сЬе вшпе гчау ав сп Яессюп 3.4.

Ессиас[оп (3,4З) сап Ье ыед м иеП. Биррове О, В айасепс со хс = 1. Еес а $3[г!сЫес сопгПс1оп Ье рчеп ас хг = 1: и(1, хг) = Г(хг). ТЬеп (3.4.3) Ь счппеп досчп ас х,, апд и ча[иев оисв!де О аге е!пшпасед адсЬ сЬе $3[г!сЫес сопдШоп: %Ьеп гче Ьаче а Ь[еишапп сопдПюп ас х = 1 аз 8!чеп !п (3.4.4) сЛеп сЬе ргоседиге и сдпд!аг Со СЬаг !и Бесдоп 3.4. Ессиаг!оп (3.4.3) !в гчг!Сгеп досчп аС хг $4иапс!с!ев 1пчо1ч!п8 ча!иев оисвЫе С (игсиа1 ча1иез) аге е1пшпасед гч!$Ь сЬе Ь[еишапп сопд[сюп. ()в!п8 сЬе посадоп оГ Ециадоп (3.4.6), сче Ьаче арргоишасе!у д/(ит„— иг)+агг(иг „-„— и,) — — ас и, (1,хг)/Иг= —.Г(хг)/И! (35З) Ециадоп (3.5.3) и ыед со е!ишпасе сЬе чгша1 ча1иев. 1п сЬе шсепог, сеП-сепсгед Ьп!се чо1шпе дисгеспадоп В Ыепдса! со чепехсепсгед йшсе чо1шпе йвсгес!гас!оп.

%Ьеп а з(х) В сопдпиоиз 1п О сЬеп опе оЬсагпв Егсиас!опз (3.4.15) со (3.4.19). %Ьеп а„з(х) и сопс1пиоы 1п О, Ьш и аПоччед со Ье дисопдпиоив ас сЬе Ьоипдапев оГ О, сЬеп опе оЬсаспв Есргадопв (3.4.23) со (3.4.25). %е гесса!ге ап(х) =0 1п сЫв сазе. %Ьеп а в(х) В а[!огчед со Ье д1зсопс!пиоы оп1у ас 1ше зе8шепсв соппессш8 сеП сепсгев [п Изиге 3.5.1, сЬеп опе оЬсшпв Есргадопв (3.4.26) со (3.4.28).

Весаые почг !Веге аге по 8пд рошсз оп сЬе Ьоипдагу, сЬе сгеаппепс оГ Ьоипдагу сопйс!оы и д!ГГегепс Ггош сЬе чепех-сепсгед саве. Еес сЬе Гасе АВ оГ сЬе йшсе чо1шпе Ог Пе ас хг = 1. ГГ сче Ьаче а $31псЫес сопйгюп и(1, хг) = Дхг) СЬеп ие риС а~ и, дхг = 2Игагпг(У(С) — иг)/Иг+ Игагг дУ(С)/дхг (3.5 4) счЬеге С !в СЬе шЫро!пС оГ АВ. 1Г а Ь[еишапп сопд!с!оп (3.4.29) гв 8!чеп ас хс = 1 сЬеп гче ые (3.4.30) апд счЬеге и(С) Ьы Со Ье арргохппагед ГигСЬег. %ПЬ ирилпд д!Йегепсш8, Со Ье д!всивзед вЬоп)у, сЫв и еыу.

Н!8Ьег огдег ассигасу сап Ье оЫашед в[сЬ ччЬеге сЬе спс[с Ь со йпд а здгпр!е арргохппасюп со иа(С). 1Г а з(х) В сопдпиоы ечегуччЬеге, сЬеп сче сап рис, ы!п8 (3.4.29), ил(С) = [Г(С) — агг,,и,г(С))/аспг = ЯС) — гасг,,(Чг+гсг)иг)(асса 1Г о в(х) В с$Всопдпиоы оп1у ас Ьоипдапев оГ йшсе чо1шпев сЬеп сче гевспсс оигве1чев со а|г(х) = О, ав йвсиззес$ сп Бесс[оп 3.4, во сЬас (3.4.29) 8[чев 1Г а в(х) В сПвсопдпиоив оп1у ас Ппев соппесдп8 йпЬе чо1шпе сепсгев (8гЫ ро[псз) сЬеп (3.4.29) 8!чев зо з! С>р всле> |!|зете>|гагюл (З.б.б) З.б.

с)ргч!пс$ $$1ясге!!хпс!Оп о е)г = ТЬе п|евЬ Рбссев ппшЬег соп|ПС)оп |$> < О, е= ~.1, аз (3.6.2) $)рвспй гйвсгейхайоп е) г = -'И Ь вЂ” Л,аг /Лг е)г ' = -гйгЬ! — Ьгап/Л| а/! = 1Л Ь вЂ” Л а, (Л, е)ез =|сИ|Ь| — Л>агг/Иг Ьаи = У +,Га (3.6.8) (3.6.3) «Гг = — хе «Г>г о х ао ,Г- = (Ь и+ $Ь„$и) (3.6.9) Р = ~Ь,!Л /аа (ПО яППП|аСЮП) (3.6.4) (Ьаи),а = пав + Ьауа (3.6.10) шыс вас!в(у Р (2 (3.6.5) л Ьги йхг = Ы3 К>+ Усаче~) (3.6.1 1) Нлие егйуе| елее але> Гт! |и ча|а те аосееиеаиол вЬеге сйе впрегзспрсв 1 аш$2 |пгйсасе Ипь,се,<с> ап|1 Иш,>ела>, гевресс!че1у.