Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 5

Н |Ье Ьоипг)агу сопйсюп Ь с|и |(О)+ сви(0) = /'(КоЬЬ!пв), |че а8а|п |чг!се с)отчп (3.3.5) аког,/= О, апс! геР!асе Сйе ЦиапСПУ )иЯ шепт!спет( ЬУ 2(Г-сгио)а(0)/си ТЬе Ьоипг)агУ сопйС!оп а| х = 1 Ь Ьапг!1ег) |и а япйаг тчау. Ав гптеттасе ргоЫеш 1п ог|сег со зйо«г сЬас (3.3.4) сап Ье |пассигасе (ог !псегтасе ргоЫепсз, тче сопзЫег |Ье (оПо«йп8 ехшпр)е а(х) = е, О < х < х', а(х) = 1, х* < х < 1 (3.3.6) ТЬе Ьоипг!агу сопйсюпв ате: и(0) = О, и(1) = 1. ТЬе )шпр сопг)сиоп (3.2.8) Ьесошев Ву ровси1айп8 а р!есегч!ве Ппеаг во!ийоп сйе во!иПоп о( (3.3.1) ап6 (3.3.7) !в (оипг! |о Ье и=их, 0<х<х*, и=еггх+1 — егг, х*<х<1, о ( .3.8) и = 1/(х — ех + с) Авяппе хл < х < хз |.

Ву ровса!аПп8 а р!сеете Ппеаг во1шюп итп я/, 0 < /< lг, и =.8/ — |Зп+ 1, |г+ ! ~ /< и (339) опе йп|Ь |Ьас И|е во!ийоп о( (3.3.5)„«4|Ь |Ье Ьоипт(агу сопйПопз рчеп 18 19 А еле-сголелзуола! Ехатруе аЬоче, Ь 8!чеп Ьу (3.3.9) и$1Ь (3.3.10) Непсе (3.3.1 Ц ей(1 — е)/(1 + е) + (1 — е)хс, + е и(хе) = Хе (1 — е)хс с+с а(и, о) = — ~ (аиа),с ссй уи, (3.3.12) Непсе, 1Ье еггог ва1Ьйев !о+В/2 — аи,с 1Г1(у<и †~о-ВУ2 (3.3.1 8) У 1 — е ие — и(хз) = О (е — Ус) ~ ") (3.3.13) и(хе) = (1 — е)хе+ е+ й(1 — е)/2 (3.3.14) ТЪе слог 1и хе васЬйев ие — и(хз) = О~ й) у(1 е)2 'се(1 + е) (3.3.15) и г+ ! /2 = ! аулу + ау + си!+ 1 )/ (ау + с у+ 2 ) (3.3.20) аи,с(ху+ й/2) счу(луч с — иу)/Ь еси!се чо!шпе йвсгейза11оп (3.3.21) сгу=2ауау+2/(ау+ ау«С) (3.3.22) (3.3.16) о(х) = О, хфйус у(х) = 1, хейу (3,3.17) гупууе сущегелсе олсууслууе чо!ите диггеигоиол 1 — е с -! !3=за, а= ~е — +е(л — Ус)+8~ ~ 1+.

Ье1 х'= хе+с. ТЬе ехасг во1Ш1оп ш хг !в Ав апо1Ьег ехшпр!е, 1ег х'= х! + й/2. ТЬе пшпепса1 во!иСюпв $и хз Ь вСсй 8!чаи Ьу (3.3.11). ТЬе ехас1 во!Шюп ш хг Ь %Ьеп а(х) Ь сопйпиоы (е = 1) 1Ье еггог $2 зего. Рог 8епега1 сопСспиоы а(х) 1Ье еггог $2 О(82). ччЬеп а(х) Ь йвсопссииоив, 1Ье еггог оГ (3.3.4) шсгеыев со О(ус). Ву всаксп8 Ггопс сье «еасс Гогпш!айоп (3.2.6) апсс ипп8 Да!ге моРите агуз- сгегухагуол опе спау оьсшп О(ус~) ассигасу Гог йвсопсспиоы а(х).

тье йппасп й Ь (айпок) сочегес$ Ьу сейв ог йпйе чо1шпев йз йс=(х! — й/2,ху+Ь/2), /=1,2,...„п — 1 1.ес о(х) ье 1ье сьагассеквссс Гипсссоп оГ йу А сопчепсепс ишйес$1геасшеис оГ ьось сыев: а(х) сопйпиоы апс$ а(х) йвсопбпиоив, Ь ы Гойосчв. %е арргохйпа1е а(х) Ьу а р1есе«йзе сопсаапс Гипссюп 1Ьас Ьав а сопвсапс ча1ие ау $п еасЬ й!. ОГ соиле, 1Ь$2 «огЬв Ьевс 18 йвсопгши$1$ев оГ а(х) 1$е аг Ьоипссаг(ез оГ йш1е чо1шпев йу.

Опе псау Са1се ау= а(ху), ог ау=)2 ' ~ а ссй. !и~ с %$1Ь СЬ$2 арргохипайоп оГ а(х) апсс и ассогйп8 Со (3.3.17) опе оЫаспв Ггосп (3.2.7) Ву са)с(п8 ягссея(че1у у= 1,2, ...,л — 1, Ес$иаг!оп (3.2.6) 1еассв со л — 1 ессиасюпв Гог 1Ье л -1 ип$спосчпв иу (ив=0 апс$ и = 1 аге 8$чеп), айег шаЫп8 йисЬег арргохипайоы $и (3.3.18). 1п огссег со арргохипасе аи с(ху+ ь/2) «е сешрогап!у !и!гесс«се иу+ сув ы ап арргохипайоп со и(ху+ус/2).

ТЬе уипр сопсййоп (3.2.8) Ьо!ссв ас ху+ уг/2. 211$1Ь сЬе арргохипасюпв а'и,'ь = 2ау(луч ск — иу)/И, азиз! . 2аучс(и«, — иуч иг)/й (3.3.19) Сйе )ишр сопйСюп епаЫев ив Со е1ишпаСе иу, с!22 ьсехс, «е арргохипасе аи,с(ху+ ус/2) $п (3.3.18) ьу 2ау(иу+ сгв — иу)/й ог ьу 2ау, с (и;+с — и! « ив)/Ь. %11Ь (3.3.20) опе ойагпв п$1Ь «9 1Ье Магтопй ачегахе оГ ау апс$ ау+ !с %$1Ь Ессиассом (3.3.18) апсс (3.2.21), сйе «сеасс Гогиш1асюп (3.2.6) 1еасЬ со 1Ье Го!1о«4п8 сйзсгейга11оп гчУ с(иг — иУ 2)/й — сч (иУ~2 — иУ)/Уг = Ьгз У = 1,2, ...,п — 1 (3.3.23) 20 21 уег!ех-села«4 атте!«салол »!1Ь з/' й '~ зйх.

! а/ (3,3.25) ог ч'еггех-сепсгей йпй Рсзсопбписсу спвйе а йпйе чо!ише (3.3.27) «!лие й5егелсе ал!! /гл!!е чо!илге бис!е!колол %ьеп а(х) ы зшоось, ну= (а,+ а!,с)/2, апй вче гесочег сье йшсе 66!Гегепсе арргохипабоп (3.3,5). Ег[иайоп (3.3.23) сап Ье зо1чей сп а впп11аг свау ы (3.3.5) Гог 1Ье 1псегГасе ргоЫеш ипйег сопв!йегайоп. Азвшпе хо = хо+ й/2. Непсе гч!= е, 1 <,/< л; из = 2е/(1+«); и!= 1, Е<,/ < п — 1. (3.3.24) Айасп ровси[айп8 а во1исюп ы !п (3.3.9) опе йпйв !3 = ае, и = и / [е — »/е(/г + 1 — л ) + гч/г] и= [(1 — г)/2+«(п — й)+ й] ' = й/[(х«+ й/2)(1 — з)+ е] (3 3 26) Согпрапвоп э!1Ь (3.3.8) вйо«чз сйас и = и(х!): 1Ье пшпег[са[ еггог ы гего. 1п пюге 8епега! ссгсипысапсев сЬе еггог»611 Ье О()гг).

Непсе, йшсе чо1шпе й!з- сгебгаСюп ы пюге асс»гасе 1Ьап йпйе й!ГГегепсе й[всгебгаг!оп Гог !псег(асс ргоЫепы. %Ьас Ьаррепз»Ьеп а(х) ы йысопсшиоы !лзгз(е а йп!се чо1шпе Р!, ас х*= х!, зау? Опе Ьаз, »41Л и ав ЬеГоге, ассогй!па со (3.2.7): 1.«/+ л/г а(и, и) = — аи,с~ + 1ип аил — Ьш аил .«/ — з/г ы«/ ы« ТЬе ехасс зо!и1юп и забвйез 1Ье )шпр сопй[сюп (3.2.8); 6ны сйе 1ыс ссчо сеггпв сапсе1. Арргохипабпй и,с Ьу йп!1е й[ГГегепсев опе оЫапы а(и, с) = — а/о мКи!«г — и!)/Л+ а!- иг(и! — и!-с)/й (3.3.28) ТЬ!в 1еайв со сйе Гойо»ппй й!всгебгабоп [-а! с/ги!-г+(а/ ли+ а!+с/г)и! — а!~с/г/!ос]/й=йз/ (33.29) рог впюосЬ а(х) сИз ы чету с!озе со сЬе йпйе й!йегепсе йысгебгабоп (3.3.5), Ьис 1ог й!зсопйпиоиз а(х) 1Ьеге Ь ап арргес1аЫе с11йегепсе: (3.3.29) гепншы ассигасе 1о О(йг) 11)се (3.3.23), 1Ье ргооГ оГ 66в 1ей ы ап ехегсые.

ч(/е сопс!ийе 1Ьас Гог спсег(асс ргоЫепы йп1се чо!испе й!всгебгасюп ы пюге зи!саЫе сйап йпйе сИГегепсе й!всгейгайоп. Екегссзе 3.3.1. ТЬе сйзсгесе гпахшшпс апй Ь погпы аге йейпей Ьу, гезресйче1у, ! о «с/г [и[„=шах[[и![:0< /< п], [и[о=!с~ ~; и~ (3330) -о Евсппасе сйе еггог сп сЬе пшпепса! во1и6оп 8!чеп Ьу (3.3.9) ш 1Ьезе погпы. Ехегсгзе 3.3.2. ЯЛо» 1Ьас 1Ье зо!исюп оГ (3.3.29) ы ехасс Гог 1Ье !лойе! ргоЫепс врес!йей Ьу (3.3.6).

3.4. в/ег(ех-еесвсгед д!ясгейха1[оп чче посл сигп Со 1Ье й!всгейгасюп оГ (3.2.1) ш пюге й!шепз!опз. 11 зиГйсез со всийу 1Ье 1»о-йипепвюпа! сые. ТЬе соспрша6опа! йгй! О 1в йейпей Ьу Π— = [хе(с: х= уй, ! = (уг. уг), уо = О, 1, 2, ..., и„ й = (йс, лг), и = Цл ] (3.4.1) О Ь сЬе ишоп оГ а зес оГ се11з, сЬе чегбсев оГ счЛ!сЬ аге сйе 8гЫ рсппсв ха О. ТЬы !з саблей а чеггех-сепии/Г дп/Г. р!8иге 3.4.1 8!чев а в[сессЬ. ТЬе во1исюп оС' (3.2.1) ог (3.2.6) 1з арргохипасей !п хзО, геви16п8 !п а чеггех-сел!гесс аг!зсгеизайап. яви!о 3.4.! чегсек-сепг!ей зг!й. ( ° зггй рослы; — — йп11е чо!шпе Лоипйапез.) 23 СгЕГГЕХСЕЛГтЕа Гсиетотггатгао 22 Ь)ешпапп сопйсюп (3.4.4) а!.и,.(1, х2) = Лх2) ыссЬ (3.4.6) 01= — Е 02 тхе (о) (Ь) (с) Рсеиге 3.4.2 О!зсгесыаСюи зСепсйв апй и,г 13 сер!асей Ьу 2$(йг + Чг)иг В й у й)П ИпЬе чо1ише йвсгейгайоп рглгге ойуегелсе алйрлгге го!игле аьсгегггаггол ИпЬе й1$$егепсе йЬсгеизапоп Роггчагй апй Ьас)сгчагй й!йегепсе орегагогз — 2$ апй и аге йейпей Ьу 22 И1 — (иу.

г. — ит'уй, и иг —- (иг — иу-г.))Ь (3 4.2) 3ЧЬЕГЕ Е1 и (1,0), Ег — = (0,1). ОГ СОиГЗЕ, СЬЕ ВиШШаСЮП СОПЧЕППОП 1$ОЕВ ПОС арр1у Ьеге. ЯлЬе ЙЯегелсе арргох!тапопз ог" (3.2.1) аге оЫаспей Ьу гер!ассп8 д/дх Ьу 2$ ог и ог а Ппеаг согпЬ!паС!оп ог" СЬе Сгчо. %е шепйоп а сегч розяЬПСПев. А шее зупипегг!с гогши!а !з — 21 (чв(а 312 )+ гзв(а вч )!и+2(ч +й )(Ь и)+си = к !п сЬе спсепог ог О (3.4.3) ТЬе йшге ййегепсе зсЬеспе (3.4.3) ге!агез и, Со и гп СЬе пещЬЬоипп8 8гЫ ро!пСз х1 ...

хузозо. ТЫз зег ог" 82Ы ро!пЫ СодеСЬег «чСЬ Х1 ы саПей СЬе зселс17 о( (3.4.3). 1С !в 1$ер!с!ей 1и Идите 3.4.2(а). ТЫз зСепсП Ь поС вушшегпс. ТЬе ро!псв хге„з„епгег оп1у сп СЬе всепсП 3ЧЬеп агг Ф О. ТЬе !оса) йвсгейгайоп енот 13 О(6~1, 6 22), апй во $3 сЬе 81оЬа1 йвсгейгас!оп еггог, !г" сЬе п8Ы-Ьапй-вЫе ос (3.2.1) Ь виПгс!епг!у вшооСЬ, !1 СЬе Ьоипйагу сопййопз аге вшгаЫу ипр!ешепсе1$, апй !Г а В 13 сопПпиоив. 1с ы 1егС Со СЬе геайег Со «псе йогчп а ПпПе йсгегепсе арргохппаПоп «чсЬ яепй1 Рщиге 3.4.2(Ы.

ТЬе ачега8е ог Рщигев 3.4.2(а) апй 3.4.2(Ь) 8Ьев 3.4.2(с), гчЬ!сЬ Ьаз СЬе айчапсаке оГ Ьесп8 зупипесг!с. тЫз шеапз сЬас гчЬеп сЬе во1исюп Ьаз а сепа$п вуигигеСгу, СЬе йЬсгеСе арргохипайоп «чП аЬо Ьаче СЬы вуиипеСгу. \ч!СЬ Р18иге 3.4.2(а) ог 3.4.2(Ь) сЬЬ «чП $п 8епега$ Ье оп!у арргохииасе!у сЬе саве. А йзайчапгаде оГ Рщиге 3.4.2(с) ы СЬаС СЬе соггевроийгп8 спаСпх Ь!евз крапе. А1СЬои8Ь е!ешепгагу, а Ьпес" йзсиззюп ос СЬе ипр!ешепСайоп ог Ьоипйагу сопйЖопз $3 8!чеи, Ьесаизе а сиП йвсивяоп «чсЬ ап(х) Ф 0 ы Ьагй со Ппй гп сЬе 1Ьегасиге. 1( хг з д() апй а $)!г!сЫес соий!с1оп Ь 81чеп, сьеп (3.4.3) ы пос изей 1п хп Ьис гче гчпсе иг = г" «чсЬ г сЬе 8!чеп ча1ие. ТЬе сгеаспгепс ог а Хешпапп сопйСюп ы пгоге Ычо)чей. Яиррове «е Ьаче СЬе 1оПо«чп8 (1и рЬуяса1 аррПсасюпв (3.4.4) !3 пюге сопипоп сЬап сЬе гыиа$ Ьсеишапп сопййоп и,с = Г, апй (3.4.4) Ь зошегчЬаг еаяег Со ипр!ешепг пшпепсаПу).

1.еС х. Пе оп хс = 1. Ес!иайоп (3 4.3) ы «ч!иеп йо«1п 1и х. ТЬЬ 1пчо1чев иг ча1иез си роги!в оисзые О (ттгиа! ротсз). Ву спеапв ог (3,4.4) сье ыгига) ча1иев аге е1ишпасей, ав СоПогчк. Игвс сЬе ч!пиа1 ча)иез апяп8 сгош сЬе зесопй-огйег Сегис аге 1Пвсиввей. 1.ег ив ыгПе 1 23 гг -1 — з (чо(а гас )+ьв(а вч ))иг=г)у иу-и+172 иу+г — 32+172 иу — е~ +г)чи +г))иг«„+ 0~и „во+ 1)гзи +о (3 4 5) г),. ' = — (аггд „+ аггд)262 — (аггд-„+ аш)~26162 172 =(а!2д — 32+ а12д+е)$26162 Ю = — (аид-г, + апд)112611 — (а12,1-»+ асгд)31261Ь2 1 21 2 22 3 гг 122'=ОУ+~о г)2 =2)2-~+ь 02 =172+22 Ву Тау!ог ехрапвюп опе Пайк сЬас арргохипасе1у 1 1 2 173 (иу 112 — я) + г)3 (иг~о иу) 2)у(иг иу-е + 22) + 172 (иу.