Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 4

г/3 ! Рй. и':= й(и~з, А,,(; гг); ио = гг' ой ТЬе пиыЬег о! сзоо.апЫ Ьегайопв сагпесс оис К пга. о(ио. А, у, п) Яапдв !ог гг япоосЫпх !сегайопз, Гог ехагир1е «чсЬ сйе баизз — Бе!йе! гпесЬой ойвсизвей еагйег, аррйед со Аи =у, всап!па зо!сЬ и'. ТЬе йгвс аррйсайоп о! о К сайей рге-зтоойг!па, СЬе зесопсс раз!-зтоойг!пй. Ехегсззе 2.3.1. Вег!ге (2.3.10). (Н1пс. К К саву со гипсе йозип КАщ !и сЬе !пгепог апд аг СЬе Ьоипс(апев. Хехг, опе гер!асев из Ьу Рйр) ТЬе ригрове о! сзио-агЫ апа!уяв (аз о! пш!с!агЫ апа1уяв) !в со зЬози сйас сйе гасе о! сопоегаеисе 1з!пйерепдепс оЕ сйе гпевЬ-вяе й.

зхге «чй апа1уве а!йог- 10ип (2.3.14) (ог сЬе врес!а! саве гз = 0 (по рге-япоосЫпх). ргоги (2.3.14) !с (ойозаз сЬас айег соагве аг!й сопесйоп сЬе еггог а"' = иггз — и вайвйев ачсЬ сЬе йегайоп тагг1х ог еггог атр113саг!оп тагпх Е йейпей Ьу 'гг'е зай! ехргевв а ' ехр1кЫу !и сеппз о! е"'. ТЫв К розяЫе оп1у сп сЬе ргезепс випр1е опег(Ьпепз!опас саве, зиЫсЬ ы осн таси гиойгайоп !ог всийу!па сЬК сазе. Ьес с(и = О, г!гз,з = — с ~я+ в~~у,'з — 'сец'г !3 т -ггЫ Ь 'в 2е, '= езгз — е з+2е.= аЯ, згз з 1 — еза-з+ ез„=О /= 2,3, ...,2п — 1 (2.4.8) егз = О е(г = г з(га з + —,' е)г-з, 1 е1 = ез -з ез;+ з = гз е~, г' = 1, 2, ..., п — 1 (2.4.9) Ву 1пдисдои Ь К еазу Го зее йаз Казе оГ сопгегаевсе 1$ Го!!озав ГЬаз $$е'$! (-,'()а~!! (2.4.11) Аагдв: йе евзепг!а! ргзппр!е КАе =0 (2.4.12) 12 ТИа еяапгга! рпагзрге оз таггззггд тегззодв)ог рагиаг дщиепгза( едиаиопя БпюогЫп8 Мех!, ч е сопвЫег гЬе е(гесг оГ розг-зшоогйп8 Ьу опе Сзаивв-Бе!де1 Кегагюп. Ргот (2.2.5) К го11озав гЬаг йе еггог айег розг-зтоой|п8 е' =и' — и!в ге1агед го езгз Ьу ()в!п8 (2.4.5) — (2.4.7) гйв сап Ье гечгг!ггеп ав (е)з~ <гз$!И$! $$д!! =тая[)г(г1:у'=1,2,...,2п) (24.10) %псе д = езгз, зге зее гЬаг Оаизз — БеЫе! гедисез $Ье пшх1пипп поггп оГ гЬе еггог Ьу а Гасгог 2!3 ог 1езз.

ТЬзв зЬочв гЬаг йе гаге оу' соауег8епсе гя!пдереш1епг ог" Яе тев)г вгЬе )з. Рвот гЬе ргасг!са$ ро!пг о( здеч, гЫв ы гЬе та!и ргореггу ог" пшЬпдгЫ теИюдв. Нога ы гЬе еввепг!а! рппс1р!е ог" пш168г)д, йвсиввед $и Бесии 2.2, гесо8- п!год 1п гЬе (оге8о!п8 апа1уяв? Ег(иаг!опв (2.4.6) апд (2.4.7) вЬоза гЬаг Арр1!саг!оп о(К зпеапз га)г)па а !освЛ зае$8Ьгед агегаае чдй роиВге зае!8Ьгз; $1шз (2.4.12) ипр!зев гЬаг Аез" Ьав тапу з!8и сЬапаез, апд ы гЬегегоге гои8Л.

Б)псе Аазгз = Аизгз - г"!в гЬе гевЫиа1, зае зее гЬаг айег соагве 8гЫ соггесгюп $Ье гез(диа$ К гои8Ь. ТЬе зтоогЬег $в ейс!епг $п гадис!п8 $$ив поп-втоогЬ гевЫиа! (иггЬег, вЫсЬ ехр1а!пз йе гг-!пдерепдепг гедисгюп вЬочп 1и (2.4.11). ТЬезе 1пги!г!ге подоив за1!! 1агег Ье $огпш1асед $п а зпоге аЬзвгасГ апд г!8огоив таГЬегпадса! $гатезчог)г. Ехегсве 2.4.1. 1п $Ье дейв!!!опз о( гг (2.2.2) аид б (2.3.1) зге Ьауе пог !пс!идед $Ье ротс х= О, заЬеге а ОЬ(сИег сопдйюп Ьо1дя.

!г" а Мешпапп сопдйюп К 8!уеп аг х = О, $Ье рошг х = 0 птвг Ье шс!идег$ $п О апд гг. 1( опе зази!в со чг(ге а 8епега$ пш!$$8г1д ргоагат $ог ЬогЬ сазез, х= 0 Ьев го Ье тс1идед. Кереаг $Ье (огеао!п8 апа)уз!в о( йе гзао-8г!д а18оигЬпз «дгЬ х = 0 шс!пдед !и гг апд гг. Мове гЬаг $пс1ийпа х = 0 та)сев А поп-вупииегг!с. ТЬК дзйси1гу доев пог оссиг чпй се!1-сепггед д!зсгеигаг!оп, го Ье йвсиввед 1и гЬе пехг сЬаргег. 15 Ал е1Ьрис а!падал ТЬе йо|пшп 0 3.1. 1п1гойпс((оп Тйе «еай !опии)айоп 3.2.

Ап е1!(рс(е ес)пайоп (3.2А) Ь(и,о) — ~ (Ь и), о д0 (Е,и, о) = а(и, о) + Ь(и, о) + (си, о) (3.2.5) ТЬе чсеа)с !опии!абоп оЕ (3.2.1) Ь а во ов > Со о, чое йе (3.2.2) 3 Х'ХХХТЕ ШБ.'"ЕКЕХСЕ АМЭ Х'"ХХХТЕ КОШМЕ ВХЯСВ.ЕТХХАТХОХ 1и |Ыз сЬарсег соте еззепсса)з оЕ йшсе ййегепсе апд йшсе чо1шпе йзсгесйасюп оЕ рагйа1 дйегепйа1 есршйопв аге випипагыед. Рог а июге сотр!есе е!етепсагу |псгойиссюп, вес Еог ехатр!е Ролу|Ье апд %азии (1960) ог М!ссйе11 апй бг!йсйз (1980). %е «с!11 рау врес|а! апепйоп со |Ье Ьапй!!п8 оЕ йясопппиоиз соеЕйс|епы, Ьесаиве |Ьеге веет со Ье по гехи 8!ч!пй а сотргеЬепяче ассоипс оЕ Жясгепзайоп тесйодв Еог с1из ясиасюп.

Е)!зсопс!пипия соеЕйс1епы аг!зе !п ипрогсапс аррйсасюп агеав, апд геци!ге врес!а1 сгеаипепс 1п |Ье пш!08гй сопсехс. Ав тепсюпед сп СЬарсег 1, йпйе е!еп|епс тесйодз аге пос йвсиввей 1п |Ыв Ьоо)с. Саг|еяап Сепвог по|аСюп сз ивед «йСЬ сопчеп|юпа! випипа|юп очег гереаСед Сггее(с зиЬвсг|рь (пос очег Ьайп зиЬзспрсв). Сггее(с я|Ьвсг!рсз в|вид Еог дипепяоп спйсез апй Ьаче гапке 1,2, ..., д «дсЬ И |Ье пигпЬег оЕ врасе дипепзюпз. ТЬе виЬзсг!рс, депо|ее |Ье рагиа1 депчайче «с!|Ь гевресс со х .

ТЬе йепега1 япй!е зесопй-огйег ейрйс ес)иас!оп сап Ье счг!ссеп ы Еи = — — (а ви,„),в+(Ь„и), +си=я !и 0 С Пе (3.21) ТЬе й!ЕЕы!оп сепзог а в!в аввипкд со Ье вупипеспс: а в = ав„. ТЬе Ьоипдагу сопййюпв «60 Ье йысивзед 1асег. Упс(опп ейрскссу Н аяшпед: сЬеге ехыы а сопяапс С> 0 зисЬ |Ьас Рог с! = 2 й|в !з ессшча1еп| Со Ес1иа|юп (3.2.9). ТЬе дотшп 0 Н !ахеи со Ье |Ье д-д!теис!опас ип1| сиЬе. ТЬсв йгеас!у ягпр11йев |Ье сопяп|споп оЕ сЬе чапоы йпдв апд |Ье сгапв(ег орегасогв Ьес«свеи йет, ыед!и т«11!8пд.

1и ргасс!се, пшй18пд 1ог йпйе д!ЕЕегепсе апд йпйе чо!шие йвсгесыас!оп сап 1п рппс|р!е Ье арр11ед со июге йепега1 до|па!ив, Ьш йе йевспрйоп оЕ йе п|есЬой Ьесотев сотр!касей, апй йепега1 дота!пв счй пос Ье дПсиввей Ьеге. ТЬы П пос а зепоив 1ипйасюп, Ьесаые Фе сипепс исаи сгепд |п игй йепегасюп сопявы оЕ йесоп|рояйоп оЕ |Ье рЬуяса1 йоишш т виЬйотаиы, еасЬ оЕ чсйсЬ Н |паррей опсо а сиЬ!с сотрисайопа! дота!п. 1п 8епега1, висЬ тарр1пйв сЬапйе |Ье соейс!епсз !и (3.2.1). Ав а геяйс, врес!а1 ргорегйев, висЬ ы верагаЬ~!йу ог |Ье соейс!епы Ьетй сопяапс, и|ау Ье 1овс, Ьш сЬы доев пос зегюив1у Ьшпрег |Ье арр1!сайоп оЕ пш108пй, Ьесаые |Ыв арргоасЬ зв арр!каЫе со (3.2.1) си йв йепега! Еопп. ТЬ!в ы опе оЕ СЬе ягепй|Ьз оЕ ти)с!8г!й ы сотрагед сч11Ь о!йег |пе|Ьодз.

Азяипе |Ьас а ы д1всопсшиоиз асоп8 зоте гпаш(о!й Г с О, счЬ|сЛ «е «сй! са1! ап игегуасе; |Ьеп Ес!иасюп (3.2.1) |в сайед ап!п1ег(асе ргоЫет. Ессиас!оп (3.2.1) посо Ьав со Ье шсегргесей !п сЬе счеаА. зейве, ав Ео11о«я Ргоп| (3.2.!) сс Ео!1о«сз |Ьас (Еи,о)=(з,о), чоВН, (и,о)= ~ иой0 (323) яа счйеге Н ы а яи|аЫе БоЬо!еч зрасе. Е)ейпе а(и о) ее ~ а ви до,в д0 ~ аиви,апво дГ чдсЬ ив сЬе хв сотропепс оЕ |Ье ош«агд ипй поппа1 оп |Ье Ьоипдагу 80 оЕ О. Арр!1сасюп оЕ |Ье сгаизз йчегйепсе сЬеогет 81чев Ейпй иеНзисЬ сЬас а(и,о)+Ь(и,о)+(си,о)=(з,о), човЙ (3.2.6) Рог зшсаЫе сЬо!сев оЕ Н, Й апд Ьоипдагу сопййопз, ех|всепсе апд ишииепезв оЕ сЬе зо1ийоп оЕ (3.2.6) Ьав Ьееп езсаЫЬЬей. Рог пюге йе1а!П оп |Ье 17 А апе-йтешюпа| ехатрте 16 ТЬе )ишр сопйяоп а яи, ля= а,яи пв оп Г | (3.2.8) ива|2 а|2 ) 0 2 (3.2.9) (3.3.7) е 1ип и,| = Птп и,| гтл яг — (аи,|),| = в, х З О = (О, 1) (3.3.1) (3.3.2) (З.З.З) гглсге ггяегелсе ала' За|те штите гсьсгег|гагюл «еа1| !оппйайоп (по| пеег!ес! Ьеге), зее (ог ехап|р!е С|аг!е| (1 978) апс! Нас1|- ЬивсЬ (1986).

Сопя!Пег сЬе сазе «чсЬ опе !псег(асс Г, п1исЬ йчЫез 0 !п ство рагсв О| апт( О|, |и еасЬ ог" «ЫсЬ а я Ь со|ишиоиш АС Г, а„я(х) Ь йвсопПпиоиз. 1.ет 1п|Псев 1 апд 2 с!епосе ииапс!с!ез оп Г ас сЬе зЫе о( 0' апг) О|, гезрессре1у. Арр!касюп о1 |Ье Сапов г(!чегйепсе |Ьеогеп| со (3.2.5) рчез, !! и Ь япоо|Ь епои8Ь тп 0' апг! 0', а(™, а) = — ~ (а яи, )да оО+ ~ (а|пи,' — а~лаз)пяти г!7 (3.2.7) до вг Непсе, сйе во!ис!оп от" (3.2.6), !1 П Ь япоо|Ь епоиВЬ !п 0' апг! 0', ваПвйея (3.2.1) !п О|Г, сохесйет «чсЬ сЬе (ойо«чпй,титр солйПоп оп |Ье Ысег1асе Г ТЬЬ тпеапв |Ьас тчйете а„я Ь д!всопсшиоив, во Ь и„,, ТЬсв Ьаз со Ье са1|еп ш|о ассоип| !п сопзттист!п8 йвсге|е арргохипаС!опв. Ехегссве 3.2.1. Яю«|Ьас ш ссчо йп|епяопз Етсиас!оп (3,2.2) Ь егси)ча1епс со 3.3.

А овес)1явепз)ояв) ехаяср1е ТЬе Ьаяс Ыеав о( йпйе г)!Пегепсе ап|С йпйе чо!шпе йвсгеПгасюп СаЫп8 йвсопйпшйев !п а я !пса ассоипс «чй Ье ехр!алвес! 1ог |Ье сойогч)п8 ехашр!е Воипг!агу сопйПопв «чП Ье рчеп 1асег. г си!те г)!Суегевсе г)свезет!гайоп А сошршаПопа1 8гЫ С с 0 Ь г(ейпег! Ьу С = (х З 11: х = хт = !7г, / = О, 1, 2, ..., л, )т = 1/л! Рог|загс! апс! Ьас(ссчагг) ййегепсе оретаСогз аге с)ейпе|! Ьу гвигю (и|+| — иу)/Ь, чих=(и,— и|-т)/)т А йп!се г)!Стегепсе арргохппаПоп о( (3.3.1) Ь оЫа|пед Ьу гер!ас1п8 г(/г(х Ьу |5 ог сг. А шее зупипе|пс (опии!а Ь -1(г|(ай) + 6(атт))и| = вя,,/= 1,2, ...„п — 1 (3.3 4) тчйеге вг = в(х,) апг) и; Ь сйе пшпепса1 арргохппайоп о( и(ху). |вгт!степ оис !п (ий, ЕциаПоп (3.3.4) рчев ( — (аг-|+а)и, |+(а |+2а|+ач|)и| — (а|+а+|)и|о|)/2)г =вл у = 1, 2, ..., п — 1 (3.3.5) 11|Ье Ьоипс)агу солт(!с!оп ас х = 0 Ь и(0) = г" (1)!т!сЫес), тче е1шипасе ио Оо|п (3.3.5) «чсЬ по = /: 1т" сЬе Ьоипг!агу соп4!с!оп !в а(0)и,|(0) = /'(Ь(ешпапп), «е «|г!се тсо«|п (3.3.5) тот,/ = 0 апг( гер!асс сЬе г)иапс!су -(а |+ ао)и |+(а |+ ао)ио Ьу 2У.