Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 3

ТЫз 8(чм е! =с„е'Р в[сЬ с = 8(д )с„', 8(д ) =ел/(2 — е ") ТЬе Гипсйоп 8(д ) Е сайед сйе атр$[йсаг(ол уасгог. 1$ гпемигев сЬе 8говсЬ ог дееву о! а Роипег и!оде ог" СЬе еггог дипп8 ап 1$егагюп. Ъ'е йпд Ас йгвс я8Ы П зеепы сЬас баит-Бе!де! доев пос соичегде, Ьесаиве шах[) 8(В„)[: д = хо/л,и = О, 1, ..., 2л — 1) = [ 8(0)[ = 1 (2 2.11) Ьо«ечег, «ЕСЬ репосйс Ьоипссагу сиад[С[пав СЬе во!идол ог" (2.2.11) ы дегег- иипед ир со а сопзсапс оп1у, зо сйас сЬеге В по иеед со весси[ге сЬас сйе Роипег люде и = 0 десаув дипп8 !сегассои.

Ециадои (2.2.11), сйеге!оге, В поС а сопесС теми!с о! сопчегйепсе, Ьиг СЬе 1ойо«лпд ссиапС!гу ся: псах[ [ 8(д„) [: В„= зчх/л, а = 1, 2, ..., 2л — 1! = [ 8(Вс) [ [$ + 2дв+ О(д[)!-ыв 1 4 сйв+ О(йз) (2 2 $2) 1с !ойовз сЬас сйе гасе о! соичегйепсе десепогасев ав )с С О. Арагс (гот зрес$а1 смез, сп сЬе соисехс о! е!Прдс ессиасюпв сй!з В (опий со Ье сгие о! аП восайед Ьая(с !вега!(че те!Водя (псоге оп сЬезе [и СЬарсег 4; вей [аювп ехыир1ез аге сйе )асоЬ$, баивз-БеЫе! алд засеем!че очег-ге!ахасюп тесЬодв) Ьу вйсЬ а йгЫ (ипсдоп ча1ие ы ирдасед ияпа оп!у пе!8ЬЬоипп8 чегскез.

ТЫв десепогайоп о! гасе о( сопчегйепсе В !опий со оссиг а1во в1сЬ о!Пег Ыпдз о! Ьоипдагу спид[лопь. ТЬе гасе о! сопчегйеисе о! Ьм!с Пегайче тесЬодв сап Ье ипргочед вПЬ то[с!8гсд псесЬодя ТЬе Ьаяс оЬвегчас[оп св сйас (2.2.10) зЬовв сйас [8(В ) ) десгемез ав и 1псгеавев. ТЬВ спеапв сЬас, аИЬоидЬ 1опд «аче!епдсЬ Роиг1ег тодев (и с1озе со 1) десау в1ов!у ([8(д ) [ = 1 — О()с')), вЬоп ваче!еидсЬ Роипег пюйев аге гедисед гарЫ!у.

ТЬе емелда! ти!ддг!й рплс!р(е 1з со арргохипаге СЬе япооСЬ (1оп8 ваче[епдСЬ) рагг о! Сйе еггог оп соагвег 8пдв. ТЬе поп-яиоосЬ ог гоидЬ рагс св гедисед вЬЬ а яиаП пшиЬег ($пдерепдепс оГ й) о! ссегасюиз «дсЬ а Ьаяс Пегадче спесЬод оп сйе йпе 8г!д. 1и огдег со Ье аЫе со чег!!у вЬесЬег а Ьав!с Пегас[че иге!йод 8!чез а аоод гедисдоп о! сЬе гои8Ь рагс оГ сйе еггог, сЬе сопсерс о! гои8Ьпезз Ьав со Ье дейпед ргес[ве1у. $уейпсйоп 2.2.1.

ТЬе зес о! гои8Ь вачепшпЬегз 8, ы дейпед Ьу б,= [В =ха/л,и) сл,а=1,2, ...,2л — 1) (2.2.13) вЬеге 0 ( с ( 1 ы а йхед сопяапс спдерепдепс о! л. ТЬе рог!о!тапсе о! а яиоосЬсп8 те!йод [я теавшей Ьу [св зтоогйслдуасгог р, дейпед ав (ойо«з. $)ейпсссоп 2.2.2. ТЬе зпюосЫпд (ассог р ы дейпед Ьу %Ьеп сог а Ьаяс Пегас!че гиесйод р ( 1 В Ьоипдед авау !гот 1 ил(гйгт!у !л й, ве зау сЬас сЬе псесЬод В а втор!)сег, $«осе сЬас р дерепдв оп сЬе 1сегадче тесйод апд оп сЬе ргоЫет. Рог баит — БеЫе! апд сйе ргезепс тоде! ргоЫет р В еая1у десепп1пед. Ессиадоп (2.2.10) зЬо«в сЬас [ 8['десгемев июпосоп[сайу, зо сЬас Неепс, (ог сйе ргевепс ргоЫет баит — БеЫе! 1в а яиоосЬег.

1$ В сопчеп!епс со всапдагдые сйе сЬоке о! с. Оп!у сЬе Роипег пюс$ез сЬас саипос Ье гергезепсед оп сЬе соыве дгЫ пеед со Ье гедисед Ьу сЬе Ьаяс !сегадче тесЬод; сЬив П В итога[ со 1ес сЬезе и!одев сопвдшсе Оо соге сЬоозе Сйе соагве дгЫ Ьу доиЫспй СЬе тезЬ-яхе о! б. ТЬе Роигсег пюдез оп СЫв 8гЫ Ьаче вачепшпЬегз В„8!чеп Ьу (2.2.8) в[сЬ 2л гер1асед Ьу л (аыипип8 !ог япср!кссу л со Ье ечеп).

ТЬе геспа[псп8 вачепшпЬегз аге дейпед со Ье поп-зтоосЬ, апд аге 8[чеп Ьу (2.2.13) в[сЬ Ес1иавюп (2.2.15) СЬеп 8$чез СЬе !ойовспд зшоо$$шщ (асгог 1ог баивз — БеЫе! ТЫз суре оГ Роипег япоосЫп8 апа1уяз вм опд!паПу $исгодисед Ьу Вгапдс (1977). В ы а мейд апд випр1е соо1. %Ьеи сЬе Ьоипдагу сопгййопв аге иос реподсс, 1ы ргед1сйоия аге 1оиид со геиысп авиа)йасгче1у соггесс, ехсерс $и сЬе сазе ог" япйи!аг регшгЬайоп ргоЫепы, со Ье гйзсиыед 1асег. Т!те !во-ггит а!вот!!!тат Кит=вил, +,ти„+-,'из!+с ! (2.3.4) Ай =У (2.3.5) (Аи,с)=(у;с), ив(У,ЧсВУ 2.3. ТЬе ссчо-Ег(й а1доп1Ьяс (Арй,рй) =(~,РЙ), йз О, чйз У (2.3.6) ог Ай =,т (2.3.8) втсЬ (2.3.9) (2.3.2) Р йз!.~ с = с (Й! + Й! ч с ) Рйя= Й1, (2.3.3) ! = 2, 3, ..., л — 1 (2.3. 1О) 8 т!те еяелиа! рггастр1е от" лси111гг!й лсетттоаз.тот расла! тй3егелтта! еаиат!олз %11Ь яиоосЫу чату!п8 соейсс!елмаз, ехрепепсе вЬовз сЬас а яиоосйег вЫсЬ рег(опиз» еП !и сЬе '(говел сое(йс!епс' сазе, члй аЬо рег(огш вей (ог чапаЫе сое(йс1еисз.

Ву сЬе 'сгогеп соешссепс' сазе»е псеап а вес о( сопзсапс соеЖссепс савев, вПЬ соейсс!епс ча!иев ес(иа) со сйе ча1пев о( сЬе чат!аЫе спейс!епсв ипйег сопвЫегайоп сп а ви(йс!епс!у 1агйе зяпр!е о( ро!пы 1и сЬе йошатп. Ехегс(ве 2.2.1. 1)есепшпе сЬе япоосЫп8 (ассог от" сЬе йагпрсей ХасоЫ тпесЬой (йейпей !и СЬарсег 4) со ргоЫесп (2.2.5) в!сЬ Ьоипйагу сои!)Ыопв (2.2.6). Хосе сЬас в!сЬ йасирсп8 рагатпесег в = 1 сЫз ы пос а япоосЬег. Ехегяве 2.2.2. 1)есегш!пе сЬе япоос1ип8 (ассог о( Исе Оаия — БеЫе! сиесЬой со ргоЫеси (2.2.5) в!1Ь ЕйпсЫес Ьоипйагу сопгйсюпв и(0) = и(1)=0, Ьу пзтп8 сЬе ропт!ег япе вег!ез йейпей сп Бессюп 7.3.

Хосе сЬас сЬе япоосЫп8 (ассог !в сЬе зиле аз оЫа1пей»йсЬ сЬе ехропепба1 роппег зепез. Ехегстзе 2.2.3. !)есепи!пе сЬе яиоосйсп8 Гассет о( сЬе Оаиы — БеЫе! шесЬой 1ог сйе сопчесбоп — й!((ив!оп ессиас!ои с йи//йх — ей и/йх =у'. БЬов сЬас сот ) с ( !т/с ~ 1 апй с < 0 ве Ьаче ио япоосЬег. 1и огйег со всийу Ьов сЬе япоосЬ рагс о(сЬе еггог сап Ье гейисей Ьу исеапв о( соагве 8пйв, !с вийссев со зспйу сЬе сво-8г!й шесЬой (ог сЬе !лойе! ргоЫеш. Соатзе 8пй аррготйшапоп А соагве 8г(а О ы йейпей Ьу йоиЬИп8 сЬе псезЬ-яге о1 О: О = ! хе И: х = х! = у(т, у = 1, 2, ..., л, (т = 1/л) (23.1) ТЬе чег6сез о( О а)во Ье1оп8 со О; сЬпз сЫз В сайей чегтех-сел!геа соагвел(л8.

ТЬе от!8!па! 8пй О !з сайей сйе йле 8г!а'. 1.ес Ье сЬе веса о( Ппе апй соагзе 8гЫ (пист!опв, гезресйче!у. А рго1олйат(ал орега!ог Р:(! - С! 1з йейпей Ьу 1шеат спсегро!асюп: ОчетЬатз !пгйсасе соатве 8гЫ с(пап!!с!ев. А гезтг!с!1ол арета!ог К!О- П ы йейпей Ьу сЬе (ойовсп8»есйЫей ачегахе вЬете и! ы йейпей со Ье вето оисвЫе О. Хосе сЬас сЬе тпаспсев Р апй И ате ге1асес1 Ьу К = фР~, Ьис сЬЬ ргорегсу В пос езвепс!а1. ТЬе Ппе 8гЫ ет)иас!оп (2.2.4) ишзс Ье арргохпиасей Ьу а соатве 8гЫ ес)иасюп айте сйе йпе 8гЫ шаспх А, сЬе соагве 8гЫ псасг!х А шау Ье оЫЫией Ьу й!зсгес!г!и8 Есрсасюп (2.2.1).

ТЫв В сайей ейзсгейгайол соагзе 8г!а' арргохилайол. Ап аягасбче ассегпас!че ы сйе (ойовш8. тЬе Ппе 8гЫ ргоЫеш (2.2А) ы ести!ча(епт Со в!СЬ (, ) СЬе зСапйапс шпет ргойпсС оп У. %е вапт Со йпй ап арргохпиаСе во!обои Рй вЬЬ й в У. ТЫз епсайв гезсгсс6оп о( сЬе сев! тппсс!опз е со а зиЬзрасе чйсЬ сЬе ваше сйспепяоп аз О, сйас Ь, севс (пист!опв о( сйе суре Рр в11Ь 04 (1, апй Р а рго1опйасюп орегасог сйас шау Ье й!Пегепс (гош Р: (Р*АРй, й) = (Р ~, и), й в О, чй з (! вЬете по» о( соигзе (, ) ы очег О, апй впрегвспрг йепотез СЬе асЦо!пг (ог сгаизрозе сп сЫв саве). Ет!пасюп (2.3.7) ы ес)и!ча1епс со апй у" = Ку'; ве Ьаче гер!асей Р Ьу К.

ТЬВ сЬоке о( А ы сайей Оа1ег!т(л соагзе йги( арргохслт а11ал. М!11Ь А, Р апй К 8!чеп Ьу (2.2.3), (2.3.3) апй (2.3.4), Ессиасюп (2.3.9) гезп11з ш Сйе (ойо»йп8 А Аис =(с г(2ис — из) Аи! = Ь г( — и! с+ 2и! — й!.,т) Ай„=!с ( — й,-г+й,) усга-Хг!зс апа1узи Соагве йпй соггеайои 2.4.

Тсуо-Епс) ияи!ув)з (2.3.11) Соагве аг!й соггесйоп Ай = Кг (2.3.12) ггз згз+ р-ь'з Е згз (2.4.1) (2.3.13) Ь!пеаг Сзго-йг!й асаоп11нв Е за 1 — РА 'КА (2.4.2) аив З14 Ра ИЧСЬ Е! з— а АЗ!' (2.4.3) солилапг Того-хг!й асаог!сйсп; !пМа1яе ио; ТЬеп П !ойозоз сЬас езгз Еенз (2.4.4) %е йпй !гоги (2.4.3) СЬаг (2.3.14) (2.4.5) Еипйеппоге, (2.4.6) во сЬас ггз (2.4.7) 1О 77зе езмпйа1 рппсср!е аУ ти1!!Згсй пса!Прав,гаг рагйа! гЩуегепгса1 егиагаапз Мней К сЬе соагзе дгЫ егси!оа)епс о! сЬе!ей-Ьапй вЫе о! (2.2.3). Непсе, 1п СЬе ргевепг саве СЬеге !з по с)!Сгегепсе Ьегнееп Оа)егЫп апд й!зсгенгаг!оп соагве Кг!и арргохипасюи. ТЬе йепгайоп о! (2.3.10) К сйзсиввей !и Ехегс!зе 2.3.1.

ТЬе !опписа (2.3,9) Ьав сЬеогес!са1 айоапсааев, ав зае вЬай вес. Ьес й Ье ап арргохйпайоп со сЬе во!ийоп о! (2.2.4). ТЪе епог е = — й — и ы Со Ье арргохппагед оп СЬе соагве апай 9(ге Ьаое ТЬе соагве хгЫ арргохипайоп й о! — е васыйез 1и а сзао-дгЫ пгесйой П !з аззигией сЬас (2.3.12)!в зо!оес( ехасс1у. ТЬе соагзе Хг!й соггесйоп Со Ье асЫег( Со й !з Рй: ТЬе сно-зг!й а)аог!0ип !ог 1шеаг ргоЫенм сопявсв о! япоосЫиа оп сЬе йпе агЫ, арргохипайоп о( сЬе гег(шгей сопесйоп оп сЬе соагве асЫ, рго 1опаас!оп о( сЬе соагве апс( сопесс!оп со сЬе йпе дгЫ, апд ааа!и япоосЫпй оп сйе йпе хг!гЬ ТЬе ргесКе йейп1йоп о! сйе сзио-агЫ а1аоп0ип К 1ог г:= 1 згер1 илй! пгй йо изгз. Х(ио г:= / — Аиг~~; й:= А 'Кг; г/3 .