Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 2

Ми!сщпд те!Водя Ьаче Ьееп дече!оред оп1у ге!адче!у гесепду, апд ав уес оп1у опе июпо8гарЬ Ьм арреагед сЬас и!чез а Га)г!у сотр!есе сочегаВе, пате1у сЬе яогсс Ьу Нас1сЬивсЬ (1985). ТЬдв Ипе Ьоосс гас)и!гав тоге Ьпоя!едВе о( тасЬетайсв сЬап пилу (ро1епйа1) ыегз оу пш1сщгЫ спесЬос1 Ьаче ас сЬесг йврова1. ТЬе ргевеш Ьоо1с В аппед ас а ясдег аийепсе, шс1ийп8 вепюг апд Вгадиасе втдепм 1п поп-тасЬетайса$ Ьис сотршищдпсепяче йвс1рИпез, апд спеге1у амшпев а Ьаяс сспоя1ед8е ос апа1увв, расс!а( д(суегепссас ессиассопв апд пшпегка! псасЬеспайсв.

В Ьав Вгояп ош оу соигвев о(!ессигев 8)чеп !п $)е1(с, Вгсзсо!, (.уопв, ялг!сЬ влд Ве)))п8. Ап ейогс Ьм Ьееп паде по1 оп1у со спсгодисе сЬе геадег 1о рппс(р!ез, те1ЬосЬ апй арр!$сасюпв, Ьш а(зо со сЬе 1Иегаыге, спс1идсп8 сЬе пювс гесеп1. ТЬе аррИсаЬ|И1у 01 пш1ИВгЫ рппс1р!ев гапВев чгЫе апд (аг. ТЬегегоге а зе!есйоп о( сор1сз Ьад со Ье таде. ТЬе всоре о( сЛе Ьоо1с В оисИпед си СЬарсег 1. ТЬе аисЬог ояез тисЬ 1о (го!с!и! сои!асса чгссЬ соИеаВиез ас Ьоте апд аЬгоад. 1и рагс!си!аг сЬе соорегайоп яссЬ в!а(у теспЬегз о( сЬе Сепсге сог МасЬепсасссз апд 1п(оппайсз т Атзсегдаги ипдег сЬе ВиЫапсе о( Р.

%. Нет)сея 1в Вгасе)иПу ассспоя!едбед, ав В 1Ье соп1пЬидоп 1Ьас Ееп8 БЫ (ТяпВЬиа $)и!чева!!у, Вец!пВ) спаде со 1Ье 1мс сЬарсег. Емс, Ьш пос 1еазс, 1 сЬапсс Тспессе, РаиИпе„Кгпдегс апд Сгегда (ог сЬесг Вгасеги1 зиррогс. 1 1ытя.овист1ох КеайегвЫр ТЬе ригрове оГ гЫв Ьоо1с ы го ргевеш, аг 8гайиасе!ече1, ап )п!гойисбоп !о !Ье аррИсагюп оГ пшЬ68г!й шегЬойв !о еЕИрзк апй ЬурегЬоИс рагг!а! й!ГЕегепг!а) ециаг!опв Гог еп8!пеегв, рЬуясыы апй аррИег1 та!Ьетайсинв. ТЬе геайег В мянпей го Ье ГанйИаг чг!1Ь 1Ье Ьаясв оГ Иге апа1уяв оГ рагйа1 й!ГЕегепйа) ес!иа6опв апй оГ пшпег!са1 пгагЬетабсв, Ьиг 1Ье ме оГ пюге айчапсей тагЬетайса1 гоо1в, висЬ ав Гипсбопа1 апа1уяв, ы ачогйей.

ТЬе ЬооЬ !в !пгепйей го Ье ассевяЫе го а и!йе аигИепсе оГ мегв оГ согпригайопа1 гпегЬойя ЪЧе йо пог, гЬеге(оге, йе!че йеер1у !и!о ЕЬе гпаЕЬетайса1 1оипйаИопв. ТЬе ехсеИепг пюпо8гарЬ Ьу Нас)гЬивсЬ (1985) ггеагв гпоге авресгв оГ пнй68гЫ гЬан йнв Ьоо)г, апй аЬо соп!а!пв тану ргас6са! йегаИв. ТЬе ргевепг Ьоо!г ы, Ьонечег, пюге ассевяЫе го поп-таГЬетайс!апв, апй раув гпоге аггеп6оп 1о аррИсагюпв, еврее!аИу ш согпригаг!она! Ишй йупанйсв. О!Ьег 1пггойисгогу тагеги! сап Ье Гоипй !п ЕЬе аг6с!е Ьу ВгапгЬ (1977), ЕЬе Игвг гЬгее сЬаргегв оГ Нас1сЬивсЬ апй ТгонепЬег8 (1982), В688в апй МсСогпнс1с (1987), зчсввеИп8 (1987) апй !Ье вЬогг е!егпепгагу !пггойисййп Ьу В688в (1987). 8!рнйсапсе оГ аги!68пй гпе!Ьойв Гог вс!епййс сопгри!апоп Хеей(евв го вау, еИ1рг!с апй ЬурегЬоИс рагг!а! гИГегепба! еииа!!опв аге, Ьу апй 1аг8е, а! ЕЬе Ьеагг оГ товг тагЬетайса1 пюйе!в изей 1п еп81пеепп8 апй РЬуясв, 8!ч!п8 гЬе со ехгем!че сотригагюпв.

Ойеп гЬе ргоЫепы гЬаг опе чгои1й!!)ге со во1че евсеев! ЕЬе сарасИу оЕ ечеп 1Ье пювг рогчег(и1 сотригегв, ог ЕЬе г!ше геошгей ы гоо 8геаг !о аИо~ч !пс1мюп оГ айчапсей та!Ьешайса( шойе1в ш 1Ье йев18п ргосем оГ ГесЬпка1 аррагатв, Ггот ийсгосЫрв Го а!гсгай, таГйп8 йез18п орйнйха!юп гпоге й!ЕИси!г. 1п СЬаргег 9 ЕЬе сотригагюпа1 сотр1ех!гу оГ ргоЫены ш сотршайопа1 ИиЫ йупапнсв айИ Ье гИвсимей !и пюге йегт!.

Ми!68г!й тегЬойв аге а ргипе вошсе оГ нпроызш айчапсев ш а18опйппк еЕИс!енсу, Ипй!п8 а гарЫ!у !псгем)п8 пшпЬег оГ ивегв. ()пИ!се огЬег 1спогчп шегЬойв, ти!686й о!Гете гЬе розяЬгЕИу оГ во!чйп8 ргоЫепы гч!гЬ )ч'ип1сповчпв айгЬ О()ч) гчог1с апй вгогаае, пог )ия Гог врес)а1 смех, Ьиг Гог 1аг8е с1мвев оГ ргоЫепы.

1азтазтист)оп Еаттааиспаа Взоре оЕ зЬе Ьоой )з)озайоп Нйиопса) з)ече)оршеп! оу ти)68г)з) методов ТаЫе1.1, Ьмез) оп зЬе ти)з)8гЫ ЬзЫю8гарЬу )и МсСоппкх (1987), Шивзгазев )Ье гарЫ 8гов)Ь оЕ )Ье пш)!)Впб Шегазиге, а 8говзЬ вЫсЬ Ьав сопйпиет) ипаЬазет) в)псе 1985. Ав айова Ьу ТаЫе 1.1, пш168пд тезйоз)в Ьаче Ьееп з)ече)орет) оп1у гесеп)1у. 1п вЬа! ргоЬаЫу вав зЬе йгвз '!тле* ппз1$!ВгЫ риЫ)саззоп, Рез$огеп1зо (1964) Еогти)азег) а пш1$)йпб а)8опбип )ог зЬе взапз)агз) йчеро)п! йшзе ййегепсе йвсгеззаабоп оЕ зЬе Роыяоп ез)иаз)оп оп а вз)иаге, ргогйп8 зЬа! )Ье вогй гез)шгез) зо геасЬ а 8)чеп ргес1яоп ы О()Ч). ТЬВ вот)з вм 8еиега))хет) зо )Ье сепзга1 зййегепсе зйвсгебгабои оЕ гйе 8епега1 1зпеаг еП)рзк рагба) ййегепба1 ег)иайоп (3.2.1) )п )) = (О, 1) х (О, 1) ипШ чапаЫе япоозЬ соеЕйс1епзв Ьу Васйча1оч (1966).

ТЬе Шеоге6са) вот)з евзипазев веге реввппВИс, апз) зЬе тезйоз) вм по! рш!пзо ртасбсе а! Ше зппе. ТЬе йгя ргас6са) тези)зв веге геропез) )и а рюпеепп8 рарег Ьу Вгапй (1973), вйо риЫыйез) апо)Ьег рарег ш 1977, с)еаг)у оизйшп8 зйе тши риис)р)ев апз) зйе ргас6са! и6И)у оЕ ти)68пз) тезйоз)в, вЫсЬ з!гев вЫе аиепзюп апз) тат)зет) зЬе Ьей)пшп8 оЕ гар!т) т)ече)ортеи!.

ТЬе пш168гЫ тезйоз) вы зйвсочегез) )пг)ерепз)епз)у Ьу Нас1сЬивсЬ (1976), вйо!а)6 йпп тазйетаз)са) Еоипз)айопв апз) ргочЫед гейаЫе пзезйоз)в (Нас)зйивсй 1978, 1980, 1981). А герог! Ьу Ргез)епс)своп (1974) з)евспЬ)п8 ап еЕйс)еп! пш)68гЫ а18огз)Ьзп Еог )Ье Ро)моп ег)иайоп )ег) )Ье ргевеп! ашЬог )о Ше з)ече)ортеп! оЕ а япп1аг тезйоз) Еог )Ье чогззс)зу-взгеаш Еипсбои )опии)азюп оЕ зЬе Хач)ег-Бзо)зев ез)иабопв, тези)6п8 )и ап еЕйс)еп! тезЬоз) (%емейп8 1977, %еввейп8 апз) Яопиече)6 1980). А! йгв! )Ьеге вав пшсЬ з)еЬазе апз) всербсыт аЬош )Ье зтие тел!в оЕ пш168гЫ тезйоз)в. Оп)у айег шЕйсзеп! шШазюп вабв(асзогу геяз1ы сои)д Ье оЫа)пег). ТЫв!ет) а пшпЬег оЕ геяеагсЬегв зо зЬе т)ече)ортеп! оЕ язгоп8ег апз) изоте згапврагеп! сопчегйепсе ргоо(в (Аз!та!зЬапзвеч 1971, Х1со)аЫев 1975, 1977, Нас1зЬивсЬ 1977, 1981, %евве1ш8 1978, 1980, 1982а) (все Нас)зйивсй (1985) Еог а яигчеу оЕ зЬеоге6са1 бече)ортепы), АЬЬои8Ь тазе оЕ сопчет8епсе ргоо(в оЕ пш)ззйгЫ тезЬоз)в аге сотрйсазег), )Ье1г в!тле!иге Ьм пов Ьесоте тоге ог )ем взапз)атйхез) апт) згапзрагепз.

ТЬе Ьмкв вй1 Ье йзсиввез) 1п СЬарзег 6. О)Ьег аизЬом Ьаче !паз) зо вргеаз) спайз)епсе ш пш1!)- 8гЫ те!йод! Ьу ргочЫ!п8 еЕйс)еп! апз) ге1заЫе сотризег рго8гапы, ав пшсЬ ав ровяЫе оЕ 'Ыас!з-Ьох' гуре, Еог йвсгебхабопз оЕ (2.1.1), Еог ишпШазез! ыегв, А вигчеу 96И Ье 8)чеп )и Бесбоп 8.8. ТЬе 'пшй)8гЫ 8иЫе' оЕ Вгапй (1982, 1984) вм ргоч)з)ет) зо 8)че 8иЫе1)пев Еог гевеагсЬегв впбп8 )Ье)г овп иш)ззйгЫ ргохгапы.

ТаЫе 1.1. Уеаг)у пшпЬег о) ишищтЫ риййсапопв Уеат 64 бб 71 72 73 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 ЬтшпЬет З 1 ! 1 1 З 3 з! )0 22 ЗЗ 70 78 9б 94 )49 ТЬе Ео))ов)ий зоркв чйй поз Ье згеазез) Ьеге: рагаЬо1)с ез)иабоив, е)йеича1ие ргоЫепзв апз) 1изейга) ез)иаз)опв. Рог ап!из!из)исз)оп зо зЬе аррйсазюп оЕ пш)з)йпд тезйоз)в зо баеве яиЬ)ее!в, яее Нас!зЬивсЬ (1984а, 1985) апз$ Вгапй (1989).

ТЬете В ге)абче!у И!Не тазепа1 ш )Ьеве агеав, аИЬои8Ь пш!68гЫ сап Ье аррйез) ргойзаЫу. Рог ипропап! гесеп! аз)чапсев ш зйе йе16 оЕ )пзейга1 ет)иаз)опв, вее Вгапй апз) )лЬгесЫ (1990) апз) Чеппег (1991). А гесеп! риЬИ- сабоп оп рагаЬойс ти)68пт) ы Матата ет а!. (1991). Рзшзе е)езпеп! тезйоз)в вШ по! Ье йвсимед, Ьиз йпйе чо!шпе апз) йпйе зИЕЕегепсе йвсгебхайоп в)И Ье за1сеп м )Ье ро)п! оЕ з)ерапиге. АИЬои8Ь зпов! )Ьеогебса) вог1з Ьм Ьееп з$опе )и а чапабопа1 Егазиевог)з, тов! арр1кабопв иве йшзе чо1шпев ог йпйе й)Еегепсм.

ТЬе рппс)р1ев ате зйе вате, Ьовечег, апз) Ше геаз)ег вйои!д Ьаче по зИЕйси)зу 1п арр!у$п8 )Ье рппс)р)ев оийпей )и зЬы Ьоо1с )и а йшзе е1етпеп! сопзех!. Ми!68гЫ рппс)р!ев аге пшсЬ изоте вЫе)у аррИсаЫе )Ьвл )м! зо зЬе пшиепса1 во1и6оп оЕ з))йегепйа) апз) шзе8га) ет)иабопв. Аррйса!)опя 1п висЬ йчегве агеав ав соп)го) )Ьеогу, орбппхайоп, раяеги гесо8п)6оп, созпризабопа) зопюйгарЬу апз) рагбс1е рЬуясв аге Ьей)пп)п8 зо арреаг.

Рог а вигчеу оЕ Фе вЫе гап8)и8 арр!)саЫИ)у оЕ ти)68г)т) ргшс)р1ев, вее Вгапт)! (1988, 1989). %ИЫп )Ье соийпев оЕ зЬе ргевеп! Ьоо1з вреспй езпрЬыы вШ Ье )шз) оп )Ье )огпш!азюп оЕ а18опбппя, сЬоке оЕ яиоо)Ып8 !лейон апз) втоозЫп8 апа)уяв, ргоЫепы в))Ь йвсопбпиоы сое(йс)епзв, йезй1в оЕ Оа!етЫп соагве 8гЫ арргохппайоп апз) арр!зсабопв ш сотризазюпа! йиЫ з)упазшсв.

Мазепа) всаззегез) )Ьгои8Ь )Ье )Вета!иге вШ Ье 8а)Ьегез) )и а ишйез) )гшпевог1з апз) сотр)езез) вЬеге песе!вату. ТЬе позабоп ы ехр)а$пез) ы И оссигв. Ьайи )спеть Шзе и з)еиозе ип1сповп Еипсзюпв. ТЬе ЬоЫ чегяоп и йепозев а 8гЫ )лис!топ, чпШ ча1ие из )и 8гЫ ро)п! хл )пзепт)е6 ав )Ье йвсгезе арртоютаиоп оЕ и(хз). 77ге еззелг!а! рг!лсгр!е А сошрпгагюпа! 8гЫ 1в йейпей Ьу (2.2.3) (2.2.4) Сааза-БеЫе! Ьегапоп 2.1.

1п(сойпс!1оп 2иг =иг '+(г~Л вЂ” и,"' г + 2 иге = и,'+1 ' + Ь гуг, -и~,+игя=гб Б, ю и$ г г (2.2.5) ,/=2,3, ...,2л — 1 еопс(ег апа!увп ог сопяегаепсе 2.2. ТЬе езяеп!(а! рс(пс1р(е (2.2.б) и(1) = и(0) — ег-г+2е! = е,")г, (2.2.7) 2 ТНЕ ЕЯЯЕМТ1АЬ РК.1ХС1РЬЕ ОР МШ.Т1С2К.1В МЕТНОВЯ РОК РАК.Т1А1.

В1РРЕК.ЕХТ1А1. ЕЯ~1АТ1ОМЯ 1п гЫв сЬарсег, гЬе емепг)а! рппс1р1е о! пш!П8гЫ пгегЬойз Гог рагс!а! 61((егепг!а! ег)пагюпв»лП Ье ехр1Ыпей Ьу згпйугп8 а опе-6!шепв)опа! пюйе! ргоЫеш. О! сопгзе, опе-6!шепа)опа) ргоЫешв йо по! гевал)ге арр!Ыапоп о( пш1118гЫ шегЬойв, в1псе 1ог гпе а18еЬгак зупегм гЬа! гевп11 1гош 6!веге!(газ!оп, гпгес! зо1шюп В ейс!епг, Ьпг 1п опе гпшепаоп пш108гЫ гпегЬойз сап Ье апа!усей Ьу е1ешепгагу шегЬойв, апй !Ье!г емепйа1 рг!пс!р1е 1з емЛу йешопвггагей.

1пггойпспопз го гпе Ьапс рйпс(р1ев о! пш1ппгЫ гпегЬойз аге 8!реп Ьу Вгалй! (1977), ВН88в (1987), Вггпев алй МсСопп!с)г (1987) апй МГеввеПп8 (1987). Моге ай»васей ехрогйпопв аге 81уеп Ьу ЯгйЬеп апй ТгопепЬег8 (1982), Вгапй! (1982) апй Нас!гЬпвсЬ (1985, СЬаргег 2). Опе-61шепв)опа! шойе! рсоЫепг ТЬе (оПогя!п8 шойе! ргоЫеш геП! Ье сопвЫегей — йги!йхг =Ях) ш О = (О, 1), и(0) = йи(1)!йх = 0 (22.1) С = (хе рл х = х = у)г,у = 1, 2, ..., 2л, )г = 1~2л) (2.2.2) ТЬе ро1п!в (хй аге саПей !Ье сегйсея о( гЬе 8гЫ. ЕПпаПоп (2,2.1) В 6!веге!!зей»ч!Ь Пп(ге гППегепсев м )г '(2иг — иг) =!! )г '(-и! !+2и! — и!я!)= )л !'=2,3,...,2л — 1 (г г(-иг — + иг ) = гсЛ гяЬеге Я =у(х!) апй и! Ь 1п!епйей го арргохппаге и(х ).

ТЬе во!»поп о( Ег!па!!оп (2.2.1) Ь йепогей Ьу и, гЬе зо!пгюп о! Егргапоп (2.2.3) Ьу и апг1 гЬе ча)пе о! и 1п х! Ьу и!. и! арргохппа!ев гЬе зо1»йоп 1п !Ье чеггех хг, гЬпв Ег!папоп (2.2.3) Ь саПей а иеггех-сел!сей с!!веге!!за!!ол. ТЬе ппшЬег о( шевЬев ш О ы ечеп, го (асП)гаге аррпсапоп о! а ггсо-8г16 гпегЬой. ТЬе зувгегп (2.2.3) 1в йепо!ей Ьу 1п пш11Ыипепаопа1 аррйса!юпв ог Пппе гпйегепсе шегЬойз, гЬе шагпх А В 1агее апй зрагяе, апй гЬе поп-гего рапегп Ьм а геап!аг вгшсгпге. ТЬезе с)гсшпв!апсез гауопг !Ье пве оГ 1гегапуе ше!Ьойз !ог во1чпа (2.2.4). %е»чП ргевеп! опе висЬ шеей. 1пгПсаПп8 гЬе тгЬ 1гегапй Ьу а зпрегзспрг т, гЬе Оаизг-бе!йе! Вега!гол теМЫ (ог зо!гйп8 (2.2.3)!в йебпей Ьу, аввпш1п8 ап ипПа1 8певв и' ы 8!уеп, Рог еазе о( апа1уаз, пе гер1асе гЬе Ьоппйагу сопйп!опв Ьу згег!ой!с Ьоилгуагу солИ!г!оля! ТЬеп Пве еггог е = и — и" В репой!с апй вапвбев У!ге еяелдо! ргслссрсе Роиг!ег зшооСЫий аиасув1в ?л- 1 е!ы= ~ с~ел, д =ха/л (2,2.8) о о (2.2.9) [8(д„)[=(5 — 4 сов д ) '~~ (2.2.10) р = шах [[ 8(д ) [: В З 8, ) (2.2.14) р = (5 — 4 соз ся) (2.2.15) (2.2.16) с = 1 ТЬе еввеидас шисййпд рписср!е р=5 (2.2.17) 6 тле езвялгга! рплсср!е оУ тиа!Згсй те!Лойя Уог раг6о! ВЩегелгга! одоп!голо Ав вП1 Ье сйвсимед [и тоге де!ай 1п СЬарсег 7, висЬ а рег!огйс йгЫ йшойоп сап Ье гергевепсед Ьу сЬе Гойовспй Роипег зепев Весаиве о! $Ье опйойопа[[су о! [есл ), П зи(йсев со виЬвсйисе е," '=с" 'ева !и (2.2.7).