Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 6

ЕасЬ ипсгпосчп пшпЬег а |в гергеяеисе|$ Ьу ап $псегча1 а = [а', а"] чч!сЬ а а а. ТЬе апйппеПс орегаПопя Ф е (Ю, О, Ох, О] Ьесчгееп |псегча!в аге гсейпе|$ яо ы со Ье сопсраг|Ые ччссЬ |Ье аЬоче шсегргесаПоп. ТЬас ся, с = а Ог Ь Гя гсейпег$ ы ап Гпсепа! (ая яиаП ы роы|Ые) вас!я Еу!п8 с ~ (а г Ь | а е а ап|$ Ь е Ь) аи|1 Ьачсп8 шасЫпе ишпЬег епгсроспсз. 1п |Ье саяе оЕ агс|$1с!ои, Гог Гпясаисе, й|я Ьо1гсз Я О|- св г$ейпе|$ ая ЕоПо|чя: [с', с"] = [а', а"] |Т| [Ь', Ь"], ччЬеге с':= шах(у' е А ( у' < а' + Ь'), е":= ппп(у" е А ! у" > а" + Ь"], счссЬ А гсепоссп8 а8асп |Ье яес оГи|асЬ|пе пшпЬегя. 1п сЬе сые оГпш!Пр!Гса- Сюп ®, ыяиппп8, яау, а' > О, Ь' > О, [с', с"] = [а', а"] Э [Ь', Ь"] сап Ье |$ейпегс Ьу!епш8 с':= шах(у' е А ! у' < а' х Ь'], с":= ипп(у" е А ( у" > а" х Ь").

Пер!ассп8, |п йеяе апгс гПпп!аг ЕаяЬюпв, ечегу |!паис!!у Ьу аи |псегча! ап|$ ечегу ап|ЬгпеПс орегасюп Ъу Пя соггеяроиеПп8 Гпсегча! орегасюп — й|я ся геагП1у ппр1ешеисе|$ оп соп|рисегя — чче оЪ|алп шсеп а! асцопсЬшя |чЫсЬ ргогсисе шсегча!я 8пагапсеег$ со сопсаш йе |$еясге|$ ехасс яо!иПопя. ТЬе |Гаса Еог сЬезе Гпсегча! а18опПппя м6!1 Ье ада!и шсеп а1я, сЬояеп со аПо|ч Гог |$аса еггогя. 1с Ьы Ьееп Гоии|$, Ьоччечег, |Ьас ап ипспПса! и61|аасюп оГ Гпсегча! ап|Ь- шеПс сесЬшгсиея 1еа|$я со еггог Ьоип|$я чгЬссЬ, ччЬЕ!е сегсасп! у ге1$айе, аге |п !.5 1пгегчв! Аг!йппег!с; яа6збсв! КоипеоП Ез6швбоп шов! савев пшсЬ гоо ревяппвНс. 1! (в по! епопаЬ го япгр!у впЬвйгп!е ш!егча1 орегаНопв !ог аП!ЬпгеНс орегайопв пг(!Ьопг са)г(па ш!о ассопп! Ьов йе рагг(си!аг гоппг(о(! ог г)ага еггогв епгег (пго !Ье гевресг(че гевц!гя Рог ехашр1е, И Ьаррепв г)ш!е (гегргепИу 1Ьаг а сеггаш гоппг)о!Т еггог в апра(гв Коше !пгегшег!!аге гевп115 и„..., и„о( ап а1аопг1ип сопяг(егаЫу, ди; — >>! !огг=1,...,п, дв юЫ1е 1Ье Згла! гевпИ у = )'(и„..., и„) гв поГ вггопа!у а(Гес1ег(, — (1, ду де ечеп !ЬоиаЬ г! (в са1си1агег( (гош !Ье Ыф!у (пасспга!е (пгеггпсгИаге ча(пев и„..., и„: йе а1аог)йш вЬопгв еггог г(ашр(па.

Ехлмры 1. Ечв!паве у = Зз(х) = хз — Зхг+ Зх = ((х — 3) х х+ 3) х х ив!па Ногпег'в всЬете: и:=х — 3, с:=ихх, в:=с+ 3, у:=в х х. ТЬе чв!пе х гв !гповп го 1ге гп гЬе гпгегча1 х е х = [0.9, 1.1]. Егагг!па вЬЬ Ипв !пгегча! ап6 ив!па вггапЗЬг шгегча! агЬЬгпе6с, ве йп6 й = хО [3, 3] = [-2.1, -1.9], с=й®х=[ — 2.31, — 1.71], в = й О [3, 3] = [0.69, 1.29], у = в ЕГ х = [0.621, 1.419]. ТЬе гпсегчв! у гз пшсЬ Гоо !вгае сотраго5 Го йе гпзегчв! (гр(х) ~ х е х] = [0.999, 1.001], вЬгсЬ 6евсНЬев йе асзив! ейесз о! ап еггог ш х оп Чг(х) Ехлми.в 2.

1!в!па !ивг ог6!пагу 2-6!а!г апйте6с К!чев сопвшегаЫу тоге всспгаге гевп!Гв Йап ГЬе гпзегча! апГЬпгепс виааевзв: 30 ! Еггог Апа!уяз Е'ог гЬе впссеы[Ы арр!гсаВоп оГ тгегча! апгЬшеВс, гЬегеГоге, И гв по! язГ6с!еп! гпеге1у го гер1асе гЬе аг!1Ьшег!с орегаВопв оГ соиипоп!у ива а!аог!1Ьшв Ъу !игегча1 орегаВопв: 1! гв песеыагу го г(ече1ор пев а!8опгЬшв ргог!ис!08 гЬе вапзе йпа! гехи!гв Ъи! Ьач!08 ап ппргочег( еггог.г(ерепг(сисе раггегп Гог йе !пгеппег((аге гевп(гв.

Ехлмегв 3. 1и Ехашр!е ! а в!гир!е ггаивгопиаОои о( Чз(х) ви(Гзссв: у = Чз(х) = ! В (.х — Цз, !ХЗЬеи арр!!сз! Го йе соггсвроиз(!иа сча!иа6ои а!аог!Ипл аиг! гЬс загсе Ыагбид зигегча! х = [0.9, !.Ц, зигегча! агЬЬизе6с иов ргсг!осев йс орОта! геви1г: й,:= х О [1, Ц = [ — 0.1, О.Ц, йз:= йз З йз = [ — 0.01, ООЦ, йз '= йз З йз = [ — 000! ОООЦ у'=йз Э [1, Ц = [0999, !.ООЦ. Ав Гаг ав огг(!сагу апйгисОс !в соисегисз(, гисгс и иог ишсЬ г(!Оегсисе Ьсгвсеи гие гво еча!иа6оп а!допйгив о( Ехагир!с ! апз! Ехазир!с 3 Бв!ид гво зг!а!гв ава!и, йс гсви!гв агс ргасггса!!у !з(сиг!са! го !иове !и Ехаизр!с 2: х = !.! х= 09 — О. ! О.! 0.0! 0.0! — 0.00! 0.00! !.0 !.0 и, из из у оз = Е(с — Е(в))з = Е(вз) — (Е(я))з =(з,~ — (зз.

Аввщп(08 а ишГопи г(!вгг!Ъпг(оп ш йе зпгегча! [ — ерв, ерв], ве де! „зв (1.5.1) (зз'=Е(в) = О, ггз = Е(вз) ! гз з(г = ~з ервз ='яз 2 ерв С!овег ехапипагюпв вЬов йе гоппг(оГГ г(!вгпЬпг!оп го Ье по! г(и!ге иш!опи [вес ВгегЪепг (1974), Ехегс(ве 22, р. 122]. 1! вЬоп16 а(во Ье Ггер! ш ш!пг( йаг Гог ап !п-з(ергЬ ггеаггпеп! оГ !игегча! апйшеВс гЬе геаг!ег вЬоп!г! сопви!г, Гог швгапсе, Мооге (1966) ог Кп1!всЬ (1969).

1п огг!ег го оЫаш вгаг!вг(са! гоииз(оф" евгииагев [Ваг(ешасЬег (1948)], и е аышпе гЬа! 1Ье ге!аг!че гоппг(оГГ еггог [вес (1.2.6)] вЬгсЬ !в саивег( Ьу ап е1егпепгагу орегагюп гв а гапг(ош чапаЫе в!1Ь ча!иев ги гЬе шгегча! [ — ерв, ерв], гиггЬеппоге ве ывшпе йа! йе гоипз!оГГ еггогв в аппЬпгаЫе го г(!ГГегеп! орегагюпв аге !иг!ерепг(еп! гапйоги чапаЫев. Ву (з, ве г(епоге йе ехресгег( ча!пе апг( Ьу аз гЬе чапапсе оГ гЬе аЬоче гоипг(-оГГ г(!вгпЪпг!оп.

ТЬеу ваВв(у гЬе 8епега! ге1аВопвйр 31 !.5 1отстча! Атгтишсттс; Гпаиэпса! Кооавотт Еэптапоп вйе айеа1 топит)ой райегп гв оп!у ап арргохппайоп то Гйе топит)о1Т райегпв оЪвегчет! ш асгиа! соптрпйпй шасЫпегу, во 1Ьас 1Ье г(иап61!ев тг, апг) дг шау Ьаче го Ье т)егегш!пес! ешр!псайу. ТЬе геви!1в х оГ а!йог!1Ьшв виЬ3есгет! 1о гапйош гоппйой'еггогв Ьесоше гапдотп чапаЫев 1Ьешве!чев тч!1Ь ехрестет! ча1иев тг„апт! чапапсев дг, соппесгет! ааа!п Ьу 1Ье Ъав!с ге!агюп дг = Цх Е(х))г = Е(хг) — (Е(х))г = Гт~г — !гг ТЬе ргорайа1!оп оГ ргечюпв гоипт)ойейесгв 1ЬгоиаЬ е!егиепгагу орегагюпв гв т)евсг!Ъет) Ьу 1Ье Го(!отч!па Гогпш!ав Гог агЪ|ггагу !пт!ерепг)епг гапт)ош чапаЫев х, у апт! сопв1ап1в д, ф а й: !г, аут = Е(кх + фу) = иЕ(х) + ()Е(у) = атг„+ р7г„, (1.5.2) дг а„— — Е((их+ фу)г) — (Е(ах+ фу))г дгЕ(» ЕЯ)г + ()гЕ(у Е(у))г дЯдЯ + фгдг ТЬе йгвг оГ 1Ье аЬоче Гогою!ав Го(!оатв Ьу вйе Ипеагйу оГ1Ье ехресгет)-ча!ие орегагог. 11 Ьо1т!в Гог агЬтг гагу гапг)ош чапаЫев х, у.

ТЬе весопт) Гогпш1а !в Ъавет! оп 1Ье ге!агюп Е(ху) = Е(х)Е(у), тчЬ!сЬ Ьо!ов тчЬепечег х апг( у аге !пт)ерепт)еп1. Бппйаг!у, тче оЫа!п Гог !пт)ерепт!епг х апт! у 7г„„з = Е(х х у) = Е(х)Е(у) = 7г„!гт, (1.5.3) д~„, = Е(х х у — Е(х)ЕЯ) = !г„г7г„г — 1гх7гт Ехамгы. Ест са!си!атш8 у = аг — Ьг (вес Ехашр!е 2 ш Бесйои 1.3) эче йит1, оит1ет тЬе аввширтгоив (1.5.1), Е(д) = д, д~ = О, Е(Ь) = Ь, дэ = О, аис1 иейи8 (1.5.2) аит! (1.5.3), гйат ттг — д~(1 + я ) Е(тт ) = дг дг — дэяг тгг = Ьг(1+ аг), Е(цг) = Ьг дг Ъзаг у = (ттг тгг)(1 эс аз), Е(у) = Е(ттг — г1г)Е(1+ аэ) = дг Ьг (тт„тт„аз ате взвешен то Ье тидереидеит), г г г г ду дчг чгдг ч 3 т тгиз издг ч*э ~ тгг ч здиг чг = (а' ~- и' )аг -~ (а' — Ьг)гаг 4 1(а' -т о' ) = (д + Ь~)8~ + ((дг — Ьг)г + дз + Ьэ)а'.

Ь!е8!ест1и8 84 сошратет! то Ьг у1е1г1в дг, ((, г Ьг)г „дз Ьз)2г Ест д:=03237, Ь:= 03!34, ерв:= 5 х 10 4 (все Ехашр!е 5 !и Бесйои 1.3), что йети а, =' 0.144а = 0.000 0415 тчЬ1сЬ 1в с1ове!и итааийиде то тЬе ттие еттот оу = 0.000 01787 Гот 4-э!!811 аптЬитейс. Сотирате тгйв «4тЬ тЬе еттот Ьоииг! 0.000 10478 Гати!вЬет! Ьу (1.3.17). 32 ! Еггог Апа!уя| чч'е депо|е Ьу М(х) |Ье яес оГ аГ! |!иап|Ыея |чЬ~сЬ, д1гес!1у ог Гпд!гесс!у„ Ьаче еп|егед |Ье са1си!а|юп оГ йе |!пап!1!у х 1Г М(х) г| М(у) + Я Гог йе а!аог!!Ьгп |п гр|еяИоп, йеп йе гвидо|и чапаЫея х апд у аге ш лепета! дерепдеп|.

ТЬе я|адядса! гоипдо!Т еггог апа!у|дя оГап а!аоп!Ьш Ьесо|пея ех|геше1у сошр!!са|ед |Т дерепдеп| гапдо|п чапаЪГея аге ргеяеп!. 1! Ьесоп|ея |Ги!ге ему, Ьочтечег, ипдег |Ье Го!!о|ч!пд яипр!1Гуищ мяшпр!!опя: (1.5.4) (а) ТЬе орегалдя о/' еасЬ апйтедс орегадол аге !лдерелделг галдот лат!аЬГея. (Ь) Гл са!си!а|тд чат!алсея аИ гегтя о/' ал огдет Ь!д/|ег йал йе ятаИеяг оле аге ледГесгед. (с) АИ чат!алсея аге яо ятаИ йаг/ог е!ететагу орегаг!оля г |л стяг-огдег арргохГта||ол, Е(х г у) =' Е(х) г Е(у) = !|„г Г|т. 1Г |п адд!г(оп |Ье ехрес|ед ча!иея ||„аге гер1асед Ъу |Ье еядша|ед ча!иея х, апд ге!а!!че чапапсея я~:= а~/Г|~ = а~/х| аге |п|годисед, йеп !гош (1.5.2) апд (1.5.3) [сошраге (1.2.6), (1.3.5)1, в=Г!(х+у): в|='( — ~ в|+! — ! в~+в|, г=й(х ху): я|='я~+я~+в|, г=П(х/у): я~=я~+вт+я.

1| яЬои1д Ъе Ггер! |п пипд, Ьоччечег, |Ьа| |Ьеяе геяиЬя аге ча!|д оп!у К |Ье Ьуройеяея (1.5.4), !п рагг!си1аг (1.5.4а), аге |пе|. 1! !я роягдЫе |о еча1иа|е аЬоче Гогпш1м |п |Ье соигяе оГ а пшпепса1 сошри!а!!оп апд |ЬегеЪу |о оЫа|п ап ея|ипа|е оГ |Ье еггог оГ |Ье Ипа! геяи1|я.

Ая ш йе саяе оГ шяегча! ап|ЬшеИс, |ЬГя!еадя |о ап аг!!Ьше!!с оГ ра!гед гр|ап66ея (х, я2) Гог |чЬзсЬ е!еп|еп|агу орега|юпя аге дейпед |ч!!Ь йе Ье!р оГ йе аЬоче ог гдпи!аг Гоппи!м, Еггог Ъоипдя Гог |Ье Ипа! геяиЬя г аге йеп оЫашед Ггоп| йе ге1абче чапапсе я~, аяяшпищ йа| |Ье Ипа( еггог д(я!пЪи!!оп !я поппа1.

ТЫя мяшпр|юп !я !ия!!Иед |пмпшсЬ ая |Ье |1!я|пЬи|юпя оГ ргора5агед еггогя а1опе |епд |о Ьесоше поппа1 И'яиЬ)ес!ед |о п|апу е!ел|ел|агу орегадопя, А! еасЬ яисЬ арета!!оп йе поппогп|а! гоипдо!Т еггог д!ягг!Ьи!!оп |я яирепп|рояед оп |Ье д!я!пЬи!!оп оГ ргечюы еггогя. Но|чечег, аГ|ег шапу орегадопя, йе ргорааа!ед епогя аге !аде со|праге|1 |о йе пе|ч1у сгеа|ед гоипдой' еггогя, яо йа! |Ье 1а||ег до по! арргес|аЫу а!Тес| йе поппаЬяу оГ йе |о|а1 еггог д!я!пЬиг!оп. Аяяшшпа |Ье йпа1 еггог д(я!пЬи!!оп |о Ье поппа1, |Ье ас|иа! ге!арче еггог оГ |Ье йпа! геяи1| г |я Ьоипдед |ч!!Ь ргоЬаЬ|Ияу 0.9 Ьу 2в„.