Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 5

я у — Р+ '!' ~. д Гз + г+ 1 Я Гйпсе р, д > О, гЬе агпр!!йсайоп Гасгог lг аг(пи!в гЬе Гойоп!пй !огяег Ьоипсй 2РЯ Гя» — О, Я гиЬ!сЬ гв 1агйе, з!псе р» д Ьу Ьурогйез!в, ТЬеге(оге, !Ьергоровед а!йопгйш Ь по! пшпепсайу вгайе, Ьесаиве 1Ье шйиепсе оГ гоипг)!пй г'р + д а!опе ехсеея)в 1Ьаг оГ гйе шЬегепг еггог я'„я' Ьу ап огг(ег оГ шайи!гиг)е. А!дог!гйш 2' з:= рв, С:=4 4- 1, и:= /Ь я =р+и, у:=д! 22 1 Еггог Апа1ука и — ~ р -г и — ~ Ф(и) Я р+и ТЬив Ь сопгпЬшев 1Ье Го!1ов!п8 гепп го 1Ье ге1айче еггог оГ у: 1 д8г — ц — — Ли= — - 5.Ли у да у(р+ и)к -Я.~Р+ 9 (-р+.

р'~ 9)(р+,Гр'+9)Т ' 'Р" 9= к=ы ,+ /рк+ —, ТЬе ашр1!йсайоп Гасгог Гг геша(пв япа11; !идеей, ~ Гг ! < 1, апд А!8ог!1Ьш 2 гв гЬегеГоге пшпегюа11у вгаЫе. ТЬе Го!1ов|п8 пшпепса! геки!15 !11ивггаге 1Ье г1ЬТегепсе Ьегвееп А18оп1Ьпм 1 апг( 2. ТЬеу веге оЬга!пег( ияп8 йоайп8-ро!пг ап11ипе1ге оГ 40 Ь(пагу шапг!зза р! асез— аЬоиг !3 десппа! р1асев — аз в!!1 Ъе 1Ье саве !п виЬвег!иепг пшпепса! ехапгр!ек. р = 1000, 9 = 0.018 000 000 08!.

Кеви!1 у ассогсйп8 го А18огКЬго 1: 0.900 030 136 108,5 — 5, Кезий у ассогейп8 го А18опг1пп 2: 0.899 999 999 999,5 — 5, Ехасг ча1ие оГ у: 0.900 000 000 000,5 — 5. Ехкмры 2. рог 8!чеп йхег! х апд !пгейег Гг, 1Ье ча1ие оГ сов Ггх тау Ье сошригег! гесигяче1у ияп8 Гог т = 1, 2,..., /г — 1 1Ье Гоппи!а соз(% + 1)х = 2 со5 х со5 ях — сок(я — !)х. 1п 1Ь!з сазе, а ггвйопогпегпо-Гипсгюп еча!иагюп Ьав 1о Ье сагг!Сг( ош оп!у опсе, го йпд с = сов я !к1ов 1е! ) х ! в 0 Ье а япа!! пшпЬег.

ТЬе са1си1айоп оГ с саизев а япай гоипдоГГ еггог: с = (1 к- 5) сов х, ~ к ! < ерв. Нов поев 1ЬЬ гоипдой еггог айесг 1Ье са1си1айоп оГ сов Ггх? сов Ггх сап Ье ехргеввей 1п гегпы оГ с: сок Ггх = сок(?г агссоз с) =:Г(с). 8!псе ф !г яп Ггх Ыс 5!и х 1Ье еггог к сов х оГ с саивев, Го йгзг арргохипагюп, ап аЬзо1ике еггог СО5 Х Л сов Ггх ив к —. --Гг яп Ггх = г Гг со!.х яп Е» 51П Х (1.4,1) !и соз Гг». ТЬ!в а18опгЬш диез по1 саиве сапсе11айоп вйеп са!си!агш8 и:= р -в и. ТЬе гоипг(ой' еггог Ли = к ~ру+ 9, в1исЬ вгегпз !гого гоипейп8 г'рг+ ц, в!11 Ье агпрййег( ассогг(- !п8 Го 1Ье геша!пг(ег шар ф(и): 24 ! Еггог Апа!уяь ТЬе ге!арче еггогв в„г., оГ с = сов л, з = яп .х еГГес! гЬе Го!!о!вша аЬко1пге еггогз оГ сов Й.х, вгп (г»: — (1" к,сов х 4 — Гг" з, яп л.

(1.4.2) [сов((г — 1)л.) . [ — в(п(1г — 1)х ) = к гг сов х + в Й 5!и х ТЬе шЬегеп! еггогв !в!тс„апг( Ггя'з, о!с„= сов йх апг( ь, = яп Ггх, !еврее!(че1у, аге а(чеп Ьу А е'с, = [й ~ х яп йх ~ + ~сов Ггх Церк, (!.4.3) Л'еь„= [lг(х сов lгх( + (в(п /гх(]ерз. Сопграпвоп оГ (!42) апг( (143) гечеа1в гЬа! Гог ЬГа Гг апд ) йх ( т 1 гЬе (п(!попсе оГ !Ье гоппг(оГГ еггог к, 1в сопвЫегаЫу Ь1ааег гЬап гЬе ипЬегеп! еггогв, лчЬ1!е гЬе гоппг(- оГГ еггог к, (в Ьагпг!еза ТЬе а1аог(гЬт (з по! пшпегзса11у згаЫе, а!ЬеЬ пппгеггсаПу пюге ггпвглчоггЬу гЬап гЬе а!аог11Ьт оГ Ехапвр!е 2 аз Гаг ав гЬе со!про!акоп оГ с„ а!опе Гв сопев!пег(. Ехлмггв 4. Гог япа1! ) х(, гЬе геспгяче са!сп!агюп оГ с =созтх, з =япех, т=1,2, Ьазег( оп сов(т + !)х = соз х сов тх — в(п .х в1п тх, в!п(т -!.

1)л. = вгп х сов тх -~- сов х вгп ех, ав гп Ехагпр!е 3, пвау Ье ГпггЬег ппргочег( пшпепса11у. То гЬгв епг(, лче ехргея гЬе й(Гегепсев г(з„., апг( г(с,, оГ впЬвег!пеп! япе апг! сояпе ча1пев ав Го11огчв: гГс„„:= сок(т -Ь 1)х — соз тл. = 2(соз х — 1) соз тх — яп х згп т.х — соз х сов тл + сов ех = — 4(в1п — ! сов ех -г [соз тх — сов(е — !)л) 2! л ь ' в!П(гп + 1).х в!п пг.х = 2(сов х — 1) яп ех -ь вгп х сов тх — сов х зш ех ~- яп тх х) = — 4[яп '— ) вгп тх -г [яп тх — яп(т — 1)х). 2) ТЬ1в 1еаг(в го а тоге е!аЬогаге геспгв1че а1аопгЬт Гог остра!!па с„, з„1п гЬе саве х>0; г(с:= — 2 яп —, 2 х 1' г:=2 Нс„ 4з,:=. гг — г(с!(2 + Ис!), зе:= О, се:= 1, 25 !.4 Ехагор!ев аптГ Гог я»= 1, 2, ..., !т: »Гс т»=т с +»Гс, »Гз от '=т ' з +»Гз с„»=с, +»Гс„, з»=з т+Й рог тЬе еггог апа1уяв, поте тЬа! с, апй з, аге Гппсбопв оГ з = яп(х/2): с„ = сов(2/т атсвтп з) = »от(з), зе — — в!п(2/т агсвгп в) =:трз(з).

Ап еггог Ав = с, в!п(хт2) ш тЬе са!сп1а6оп оГ з тЬегеГоге сапвев — то а йгвт-огт1ег арргохппатюп — тЬе Гойоо»!п8 еггогв ш се: дрт . х — 2/т втп /тх . х е» втп — = е ' — — — втп дз ' 2 * сов(х/2) 2 х = — 2/т тап — яп /тх с„ 2 аптГ тп з„: дтрт . х х — с, яп — = 2/т тап — сов /тх е,. дз * 2 2 Сошрапвоп а»!тЬ тЬе !пЬегеш еггогв (1.4.3) вЬоа»в тЬеве еггоп то Ье Ьапп!евв Гог вшай ) х). ТЬе а!8опт1пп !в тЬеп пшпепсайу вгаЫе, ат 1еавт аз Гаг ав гЬе шйпепсе оГ тЬе топот(ой' еттот е, !в сопсегпет(.

Айаш тче тйпвтгате опт апа!утка! сопв!т(егайопв а»!!Ь вопте пшпепса1 гевп! !я Ье! х = 0.001, /т = 1000. А18оптЬпт Невой Гог сов Гтх Ке1айче еггог Ехлмгга 5. %е «»61 беггче ваше гевп!ь п»Ь!сЬ а611 Ье пвеГп1 Гог Гйе апа!ув!в оГ а18ог!6ппв Гог во!тйпй йпеаг етрта6опв !п Бес!!оп 4.5. О!чеп тЬе тртаптйтев с, а,,..., а„, Ь,, ..., Ь„, чт!1Ь а„~ О, «»е тчап! то йпй гЬе во!и6оп /Г„о( гЬе йпеаг етрта6оп (1.4.4) с — а,Ь, — — а„,Ь„, — а„/1„= О.

Е(оайпй-ро!и! апйппебс у!е16в гйе арргохппаге во1птюп Ь„= Г1 — -— с — а, Ьт — "— а„,Ь„ - (=-: -) а„ (1.4.5) Ехатпр!е 2 Ехаптр1е 3 Ехаптр!е 4 Ехаст ча!пе 0.540 302 121 124 0.540 302 305 776 0.540 302 305 865 0.540 302 305 868 140 ... †0»о — 6 О!7»о-9 — 0 58»о — 11 26 ! Еггог Апа!ув!в ав Го!1отв: ве '=с; (1.4.6) Гог] = 1, 2, ..., и — 1, з,:= Г!(з,, — и, Ь;) = (з,, — а,Ьг(1 + И,))(! + а!); Ь„:= Г!(1„1/а„) = (1 + д)в„! !а„, г:=с — а Ь вЂ”" — а„Ь„. 1 ! ргогп (1.4.6) Го!)от гЬе е!рва!юпв ве — с=О, з, — (зв, — а, Ь!) = з! — ( — '-- + агЬ!1!!) ! = 3 Я 1! 13 — аЬр, 1=1,2,...,п — 1, а„܄— з„, = д з„ Бшпгп!п8 гЬеве еоца!юпв у!е!6в "!! м г = с — 2'огЬ, = 2' ~ — з; ' - -1- и!Ь!!!1~ — д з„ апс! 1ЬегеЬу !Ье Г!гв! опе оГ гЬе рговЬей евй!па!ее: ]г] < — — (д ]з„.,] + 2 (]в!) + )а!Ь!))], 1=! (1,4.7) д':= ]О !Га„= 1, ]1 огЬег!ч!ве.

ТЬе весопй евбп!аге и сгп!!ег гЬап (1.4.7). (1.4.6) 8!зев — 1 — 1 )1+6 (!.4.8) ь„= с П (1 + ав) — ~ авь,(1 + Р!) П (1 + ав)~— 1=1 /=1' ' ' 1=! !" тЬ1сЬ сап Ье во!че!Г Гог с; (1.4.9) с = 2'а,Ь|(1 + р!) П (1 + м!) ' + а„Ь„(1 + д) ' П (1 -!- и!) 1=1 1=1 1=1 А ягпр1е !пасс!)оп аг8пгпепс очес т вЬоа!в гЬа! (1+ с) = П (1+ е!) ', (с!] < ерв, 1=1 т ерв<1 опр!1ев т ерв ]о]- 1 — т ' ерв а!!1Ь ] р ], /м!], ]6] < ерв. 1Г а„= 1, ав Ь Ггецоепв!у ГЬе саве го арр!!саОопв, ГЬеп д = О, в!псе Ь„:= з„ %е а!!!! поп! !Гевсг!Ье !то озе(п! ев!ипагев Гог гЬе гев!г)па! 15 1и|егча! Ап!Ьте!!с; Б|а!!я!са! Пописай Ез!1та!!оп гт 1п ч!е|ч оГ (1.4.9) !Ьп епвигев |Ье ех!згепсе оГ >!пап!!1!ев в> |ч||Ь «-| (1.4.10) с = ~ а;Ь>(1 + Г . з>) + а„Ь„(1 + (и — 1 + а')г ):, |=| ерв, )0 >Та„= 1, (в>( < — — —, 8''= 1 — и .

ерв ' ) 1 о!Ьега>!зе. рог г = с — а, Ь, — а| Ьз — — а„Ь„ч>е Ьаче сопве>$иеп!!у (! 4.11) ( г( < — — — ~ ~ >( а>Ь>) + (а — 1 + д') ( а„Ь„( 1 — а ерз !>=, Гп рагйси1аг, (1.4.8) гечеа1в !Ье пшпепса! в!аЬ|уйу оГ оиг а!8ог!1Ьт Гог соп|ри|- 1пй $$„. ТЬе гоип>$ой еггог а„соп1пЬшев |Ье апюип| с — а|Ь вЂ” а|Ьз — — а Ь а а„ !о!Ье аЬво1и!е еггог |п $$„. ТЬп, Ьоч>ечег, |в а1 пюз1 ег!иа! 1о с в,— аЬз„—" — а бе, (с(+ ~, (а>Ь>()ерв | 1 < !а„! вЫсЬ гергевеп!з по тоге 1Ьап !Ье шйиепсе оГ |Ее |при! еггогв в, ап>$ з,„оГс ап>$ а|, | = 1, ..., е, гевресйче!у, ргоч!>$е>$ (в,(, (в„,( < ерз. ТЬе гета1п!п8 гоип>$о1Г еггогв »х ап>$ д аге япи!аг!у вЬо|чп !о Ье Ьапп!евв.

ТЬе пшпепса$ в!аЬ|1йу оГ !Ье аЬоче а!8опйип Ь ойеп вЬо|чп Ьу !п|егргейпй (1.4.10) ш |Ье вепве о!Ьасу|чап5 апа1уяв: ТЬе сотри!с>$ арргох!та!е во1шюп Ь„!в |Ье ехас| во1ийоп оГ |Ье епиаг!оп с — а,Ь, —" — а„Ь„= О, |чЛозе соеГйс!епгз а>:=а>(1+>в>), 1 <> < и — 1, а„'= а„(1 -|- (а — 1 + д')г„) Ьаче Ьееп сЬапйе>$ оп!у з1|8Ы!у Ггоп| !Ье|г опй!па$ ча!иев а>. ТЫв Ь!п>$ оГапа!ув!в, Ьоч>ечег, |пчо1чез !Ье |Ийсийу оГ Ьач!пй |о |$ейпе Ьо|ч 1агйе л сап Ье во Гйа| еггогв оГ !Ье Гопп аз, (в( < ерз сап в1!П Ье сопз!>Ге!с>$ ав Ьешй оГ |Ье вате ог>$ег оГ тайп!!и>$е ав |Ье тасЫпе ргеспйоп ерв. 1.5 1п1еп>а1 Ап0ппейс; ЯаГГйе$са1 Кошк1ой' ЕйГ)тпаГ1оп ТЬе ейес1 оГ а Ге|в гоипг)о(Г еггогв сап Ье г)и(1е геага1у ев1ппа1е|$, 1о а йгв1-оп$ег арргохппайоп, Ьу Гйе гпе1Ьог(з оГ Бес!)оп 1.3.

Гог а 1ур)са) пшпег)са) гпе1Ьог), Ьо!чечег, Гйе питЬег оГ апГЬ|пейс орегабопв, апг) соп- 28 ! еггог Апа!п|ь яе|$иепс!у йе пшпЬег оЕ спгссчс|$иа! гоипгсоЯ еггогя, Гя чесу !аг8е, аигс |Ье соггеяропгПп8 а18опйш |я соо сошрПсасегс со репшс сЬе еяспиасюи оЕ йе соса1 еЯесс оЕ ай гоип|$оЯ еггогя ш |Ыя ГаяЫои.

А сесЬик$ие с|поучи ы |пгегеа$ апгЬеегсс ойегя ап арргоасЬ со |ГесеппспГп8 ехасс пррег Ъопи|$я Гог йе аЬяо!ше еггог оГ аи а!8опсЬш, сасгсп8 шсо ассоипс аП гопп|$оЯ апгс |сага еггогя. 1псегча! апс$ппеПс |я Ьыегс ои сЬе геа! |хаПои сЬас йе ехасс ча! иея Сог аП геа1 ишпЬегя а е $$ ччЬГсЬ еЬЬег епсег ап а18опсЬш ог аге сошрпсе|$ ая сисеппегссасе ог Ппа! гевп1|я аге пяиаПу иос Ггпо|чп. Ас Ьеяс опе Ггпо|чя яшаП спсегча!в счссЬ сопсаш а. гог й|я геаяоп, йе шсепа!-апйп|еПс арргоасЬ ся со са!си!асе яуясешас$саПу ш сепия оЕ япсЬ ~псепаЬ а = [а', а'], Ьоипгсегс Ьу шасЬГпе ишпЬегя а', а" е А, гайег йап ш Сепия оГ яп81е геа1 пшпЬегя а.