Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 4

ГГ у, ~ О Гог ! = 1, ..., лг апг( х, + О Гог / = 1, ..., л, гЬеп а вппбаг еггог ргораца!1оп Гоппи!а Ьо1г(в Гог ге!а!и е еггогв: (1.3.4) /!гр(х) — гр(хИ !!х — хЯ !!гр(х)!/ !!х(/ (вес Бес6оп 4.4). Еххмеы 3. Рог у = ср(а, Ь, с):= а + Ь + с, (!.3.4) В!чсв а Ь с су= за+ сь+ с а-!-Ь+с" а.!-Ь+с а.!-Ь!-с ' ТЬе ргоЫслг гв юе!! сонйиолс4 гТ ечегу випипани а, Ь, с !з япаП солграгс4 го а + Ь + с. х, дгр,(х) , гр,(х) дх! Апаш гЬе гргапйу (хз/гр;) дгр;/дх; шйсагев Ьо!ч в!гола!у а ге!а6че еггог )п х, айесгв йе ге!а6че еггог ш у,.

ТЬе ашр116са6оп Гас!огв (х,/гр,) дгр,/дх, Гог гЬе ге! абче еггог Ьаче йе аг)чапгаае оГ по! 6ерепйпа оп йе вса1ев о!у, апг( хв, ТЬе агпр116са6оп Гассогз !ог ге1аг(че еггогв аге иепега11у са1!ег) солгИггал лиглЬегз. 1Г апу сопйгюп пшпЬегв аге ргевеп! !чЬ(сЬ Ьаче 1агае аЬво!иге ча!иев, !Ьеп опе вреа)гв оГ ап 1!1-сонг!!г!олег) ргоЫеш; о!Ьепч(ве, оГ а гче!1-солйг1алед ргоЫегп. Гог 111-сопй6опег) ргоЫешв, вша)! ге1а6че еггогз ш йе шри! г)ага х сап саиве !агае ге!а6че еггогв 1п йе геви1гв у = гр(х). ТЬе аЬоче сопсер! оГ сопйгюп пшпЬег ви(Гегв Ггогп гЬе Гас! йа! г! (в шеап)па(и) оп1у Гог попхего у,, х,. Могеочег, Ь (в ппргас6са! Гог !папу ригровев, в)псе !Ье сопйбоп оГ гр (в девспЬег) Ьу лгл пшпЬегв. Рог йеве геавопв, йе сопй6опв оГ врес(а1 с1азвев оГ ргоЫешз аге Ггес!иепг!у г)ейпег( гп а !логе сопчешеп! ГазЬюп.

1п 1гпеаг а1аеЬга, Гог ехагпр1е, 1! (в сивгошагу го са11 пшпЬегв с сопйгюп пшпЬегв 1Г, гп соп)ипсбоп е(!Ь а вш!аЫе попп 14 ! Еггог Апа!уг!г Ехамчсз 4. Ье! у = Чг(р, Ч):= — р + р + Ч. ТЬеп дгр Р— у дгр ! др чгрг -!. Ч ггрг ! Ч дЧ 2 /р! 4 Ч зо гЬа! ,lР+ Ч 2У,грг + Ч 'Рг+ Ч 2-ггР'+ Ч 5!псе 1 2 1 1ог Ч > О Р Р+ гРГ-1 Ч Р ! Ч ' 2 ,Р2 + Ч чг ы чге11 сепг!!Оопед !1 Ч > О, апг! Ьаг!!у сопгГ!Оопегг !ГЧ = — р'. Рог !Ье ап!Ьгпе6с орега6опв (1.3.4) зрес!а!!гез !о (х ~ О, у+ 0) (1.3.5а) гр(х, у):= х у: с„=' г.„+ с (1.3.5Ь) гр(х, у):= х гг у: з„,г са в„— е„ х у (1.3.5с) гр(х, у):= х + у; в„а„= — . с„+ — -- в„гГ х + у ~ О.

(1.3.5гГ) гр(х):= ггх: вч-„ь Гс„ 11 101!о!чв !Ьа! йе пгп16р!!сайоп, гГ!ч!з!оп, апгГ щпаге гоог аге по! гГапаегопз: ТЬе ге1а6че еггогз о!йе орегапгГз г1оп! ргорааа1е з!гопа!у Гп!о !Ье гезу!!. ТГйз гв а1зо йе саве Гог йе агЫ16оп, ргоч1гГегГ !Ье орегапсГв х апгГ у Ьаче !Ье загпе з!ап. 1пгГеегГ, !Ье сопг116оп пшпЬегв хгг(х + у), у/(х + у) йеп !ге Ье!»гееп О аагГ 1, апгГ !Ьеу агЫ пр !о 1, «гЬепсе )с„„! < агах((в„(, )сг)). 1Г опе орегапгГ 1з япаИ согпраге6 го !Ье ойег, Ъп! сагпез а !агае ге!а6че еггог, !Ье гевпй х + у «6!1 в61! Ьаче а япа11 ге!а!и е еггог зо 1опа аз йе огЬег орегапгГ Ьаз оп1у а япа11 ге1а6че еггог: епог г(агпр1лд гезп!гз.

11, Ьо»гечег, !» о орегапгГв оГ ЙГГегеп! з!ап аге !о Ье агЫег1, йеп а! 1еая опе оГ йе Гасгогв х у х+у х+у !з ЬГааег !Ьап 1, апгГ а! 1еая опе оГ !Ье ге!а6че еггогв в„, в„» 1!1 Ье атр1фегГ. ТЬ!з агпр11йсайоп 1з г1газ6с !1 х = — у Ьо!г1з апгГ йегеГоге саасеИаг!оп осспгв. ч!г'е»г!!! по»г егпр!оу !Ье 1оппп!а (1.3.3) !о г1евспЬе !Ье ргорааабоп оГ гоипсГоГГ еггогз Гог а а1чеп аГаог1!Ьгп. Ап а1аог111ип Гог сопгрийпа !Ье Гппс!юп гр: 0-+ й", 0 а й", Гог а а!чеп х = (х„..., х„) а 0 соггезропгГз !о а гГесогпрозгбоп оГ!Ье !пар гр гп!о е!епгеп!агу гоара грго [зее (1.3.1)], апг$1еагГз 1гогп х'о':= х гйа а сЬаш оГ !и!еппегГ!а1е гезп!гз (1.3.6) х = х'с' -+ гр'о'(х'о') = хсп — " -г гр"(х") = х"" = у 17 1.3 Еггог Ргораааиоп ,.)0) хз!) х)з) х)з) у дз Г)з р)!)(ц „) ц ез ~,)з)(ц „) ц Вд(х) = (2а, — 2Ь), ГЬЬ))(х!')=(1, — 2Ь), ГЗР)з)(х)з»=(1, -!) в)г)ее Г!( р)о)(х)о») 4))о)(х)о» = Ф "-~''.! дз — — ез(а — Ь ), )е)! < ерз Гог 1= 1,2, 3.

Егот (1.! 13) «вй Ах = ~ Ъа) (1.3.14) Ау = 2а Лд — 2Ь ЛЬ + азе, — Ьзез -)- (д — Ьз)ез. Апа!овопв!у Гог А!вопгЬт 2: хо) х'з'=у=а Га -е Ь) -1. Ь! ф)!)(ц е) ц. е Ве)(х) = (2а, — 2Ь), ГУ)Г)")(х)!» = (а — Ь, а + Ь), ! е,(а -г Ь)1 , , (е! О дг = ез(аз Ьз) Е! ~ (е)! < еРв ез(а — Ь)~' ' (О ез!' х=х апг! ГЬегеГоге (1.1.13) ава)п у!еЬГв (1.3.15) Лу =' 2а Аа — 2Ь АЬ + (а — Ь )(и ! -)- ез .1- ез) (1.3.16) ГЗфг!)а)+" + Офг")а„+ и„!. Ап а!аог!1Ь)п гв са1!ег) пцтепсаИу тоге ггцвг)цоггЬу 1Ьап апойег а!аогИЬп) Гог си!си!а!!па гр(х) !Г, Гог а и!з)еп ве! оГ г(а!а х, йе соса! еГГес! оГ гоппг(!па, (1.3.16), !в 1евв Гог йе йгв! а1аог!!Ь)п йап Гог йе весопг) опе. Ехлмугв 6.

ТЬе Го)а! е)Тес! оГ гоппгг)па пв!па А!аопгЬгп 1 !п Ехатр!е 2 1з, Ьу (1.3.14), (1317) !дзе Ьзг +(дз Ь!)е ~ <(дз+Ьг+ !дз Ьз~)ерв, ТГ опе ве1есгв а г)!ГГегеп! а1аог!1Ь)и Гог са1сп!а1!па йе вап)е гевп1! гр(х) (!и ойег «)огг(в, а г)!ГГегепс г(есоп)ров!!!оп оГ гу гп!о е1еп)епсагу п)арв), йеп Г)д) гегпашв ппсЬапае)Г; йе УасоЬ!ап гпа!пеев Оф)!), гцЬ!сЬ гпеавпге йе ргорааа!!оп оГ гоппг(оГГ, «)!!! Ье г(!(Тегепс, Ьо«)еуег, апг) во «ч11 Ье 1Ье соса! вйес! оГ гоппг(!па, 18 ! Еггог Апа!уча аог1 гиаг оГ А!вопйпь 2, Ьу (1.3.15), (1.3Л8) !(а — Ь )(ег + ед + гз)! < 3)а — Ь )ерв.

А18ог11$ип 2 Гв пшпеггез!1у гпоге ггивгччоггЬу !Ьап а18ог11Ьш ! ччаепечег з < !а/Ь |~ < 3; огЬегчч1зе а!8опгЬгп 1 Ь гааге гговгччоггЬу. ТЬгв Го!!оччв Ггогп гйе еашча!епсе оГ йе гччо ге!абопз 1 < )а/Ь|~ < 3 зпг! 3/а' — Ь~! < а~ 4 Ь' ~- ~аг Ьг! еог а-=0.3237, Ь:=03134, ияпз Гоог р!аеев (г = 4), чче ошагп !Ье Го11очч1пв гезоиз. А!догГгзт 1: а х е а = 0.1048, Ь х* Ь = 0.9822ге — 1, (а х * а) — е (Ь х * Ь) = 0.6580,е — 2. А!догггвт 2: а+* Ь = 0.6371, а — * Ь = 0.1030,е — 1, (а 4* Ь) х е (а — е Ь) = 0.6562, — 2.

Ехаег гезп!1: а~ — Ь' = 0.6562!3, — 2. Ги йе еггог ргорааа!юп Гогпш(а (1.3.13), !Ье 1аз! !епп аг$т1!в йе ГоПоччша Ьошк! г !Е„гу! < !у!ерз, по гпа!!ег ччЬа! а!аоп!Ьт Ьаг$ Ьееп пвег( Гог сотри!Гпа у = га(х). Непсе ап еггог Ьу оГ гоаб!пг(е /у!ерв Ьав !о Ье еврее!ег( Гог апу а!поп!Ьт. ЬГоге, пюгеочег, ччЬеи пв!иа тап!(ввав оГ г р(асез, йаг !Ье гоппгПпд оГ !Ье гири! г(а!а х = (х,, ..., х„)г ччП! свозе ап шрт еггог г3'о'х чч1!Ь !г3опх) < !х!ерз, пп1евз йе шрш г(а!а аге а!геаг)у тасЫпе пшпЬегв апг( йегеГоге гергезепг- аЫе ехас!Гу. В(псе !Ье 1а!!ег сапио! Ье сопи!ег( оп, апу а!аопгЬт Гог со!п- ри!Гпа у = гр(х) пчП Ьаче !о Ье аззптед !о гпспг йе еггог Гугр(х) .

с!Р'х, во йа! а1!оаегЬег Гог егегу зпсЬ а!аог!!Ьт ап еггог оГ тапи!!пг(е (1.3.19) г3е1у:=[!Гугр(х)! /х/ + /у!)ерз пшв! Ье ехрес!ег(. %е саП Липу !Ье !аЬегелг еггог о!у. %псе !Ыв еггог ччП! Ьаче го Ье гес)гопег( чч(!Ь ги апу сазе, П ччоп!д Ье ипгеавопаЫе !о аз(г йа! йе шйпепсе оГ шгеппег!Га!е гоипг(о(Г еггогз оп йе Ппа1 гевп1! Ье соп- в(г(егаЫу втаПег !Ьаи Л'о'у. %е йегеГоге саП гоипг(оГТ еггогз аг ог Ег Ьагт(езз П йе(г соп!пЬпПоп гп (1.3.13) 1оччагг(в !Ье !оса( еггог Лу Гв оГ а! !поз! !Ье вате оп(ег оГ тапи!!пг(е ав ГЬе шЬегеи! еггог Л'е'у Ггогп (1.3.19): )Туг(г"(хго) аг) = !!Офш(хт) Е,х'"! = Л'е'у И аП гоипг(о(Г еггогз о! ап а!аоп!Ьт аге Ьапп1евв, !Ьеп !Ье а!поп!Ьт Гв за)г! !о Ье ччеП ЬеЬаеегГ ог питепсаПу вгаЫе. ТЫз рагПсп!аг иоПоп оГ пшпепса1 з!аЪП1!у Ьав Ьееи ргото!ег( Ьу Ваиег е! а1.

(1965); Вапег а!зо свез йе !епи ' Тзе аЬчо!ше ча!иее ог чеечогч аеа гаагпееч аге го Ье неаегегоеа еогаропеегвае, е.в., Ь! =(!у ! "' М)' 20 1 Еггог Апз!Уыв Ь яь а е ь ях а я, -Ь а-Ь а а~Ь 1 1 Ч т! я в(1 яс (, "Гс- Чх в Чз О" А!яопсьсп 1 Ду яв А!Хопкинс 2 Е!апге 1 свгарьв Ггергевеп!!пд А!аог!сьпп апд ТЬе!г Епог Ргорададоп. То йпд !Ье Гас!ог Ьу чгЬ(сЬ 1о гоп!1(р1у 1Ье гоппдоГГ еггог ас поде ! Гп огдег 1о ае! Гсв соп!г(ЬО!Гоп со !Ье еггог а! пос(е 1, опе пш1!ГрГсев аа агс Гас!огв Гог еасЬ д(гес!ед ра!Ь Ггогп ! 1од апс1 аддв !Ьеве ргодпс!з. ТЬе цгарЬ оГ А1аог- 1!Ьсп 2 !Ьпз Гпд(са1ев 1Ьа! 1Ье Гпрп! еггог я, соп!пЬО!ез — — 1+ — — - 1 .я, 1о !Ье еггог я,.

1.4 ЕхаТПР1ЕЕ Еххмчяя 1. ТЬ!в ехаспр1е Го!!оччв пр Ехасар!е 4 оГ !Ье ргеч!опз весйоп: а!чеп р > О, сг > О, р >> сг, десегпппе сЬе гоо! — Р+ ч~Р -1. сг юЬЬ мпааев! аЬво!асе ча!пе оГ сЬе срсадгассс есгпадоп у' + гру — сг = О. 1прп! дага: р, сГ. !сева!с: у = ср(р, !) = — р + /рг + сГ. ТЬе ргоЫесп счев вееп со Ье сче11 сопд!с!опед Гог р > О, сг > О. И пав а!зо вьосчп сЬа! 1Ье ге!арче !пра! еггогв я, я, саа1се сЬе Го!!оп!па сопспЬассоп со сье ге!адче еггог оГ сЬе гевп1! у = ср(р сГЬ р с — р р+.~р -1-я — та-- Я г ~=;Г+, ч ~РО+ч в гчУРз+сг 21 1А Ехашр!ез о!псе = < 1, — = < 1, Р Р+.,/Р + Ч .,/р'+ д ' 2„р' ~- ! !Ье !пЬегепг еггог ~Р'у ваГ!зйев ,до~ < )о~, <З у %е айй позе сопвгйег ! ио а!йоп11ипз !ог сошрийпц у = гр(р, д).

А!дог!гйш 1: з '= ря, г:=з-~ д, и:= Й, у:= -р+ и. ОЬг!сиз!у, р» д саивев сапсейа!гоп зяйеп у:= — р + и !з еяа!па!ее, апг( й пшвг гЬеге1оге Ье ехресгег) 1Ьа! 1Ье гоипг(о(Г еггог Ьи:=я Й = я /рв+ д, йепегагег) г)иг!пй 1Ье йоагпщ-ро!пг са1си!айоп оГ 1Ье зг!иаге гоог Г1(,/с) = lг(1+ я), !я! < ерв, пй! Ье йгеаг!у агпрййео. 1поеед, 1Ье аЬоче еггог сопгпЬигез гйе Гойоайпй гегш го гЬе еггог оГ у: 1,~~ +д — пи = — — — — ~= —.