Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 3

ГиггЬегтоге, йоабпй-рош! орега6опз пеег( по! Ье аззос!айуе ог |Г!згпЬийуе. Ехзмогз 3 (| = 8). %|гЬ а'= 023371258|о 4* Ь '= 0 33678429|о2, с:= — 0.3367781||о2 опе Ьзз а + (Ь +* с) = 023371258|о 4+ *0 6!800000|о — 3 = 064|37|26|о-3 (а +* Ь) +* с = 033678452|о2 * 0336778!||о2 = 0.64!00000|о — 3. ТЬе ехас! гезий Ь а + Ь + с = 0.64!37!258|о — 3. %Ьеп зиЬ|гас6пй гюо пшпЬегз х, у е А оГ |Ье зап|е з!8п, опе Ьаз |о игагсЬ ои! Гог салсейапол, Т)йз оссигз П х апг( у ад!ее !п опе ог тоге 1еасйпй г(!8!гз иг!|Ь гезрес! |о |Ье зап|е ехропеп|, е.й., х = 0.315876|о1 у = О 314289 о1. ТЬе зиЬ|гасйоп саизез йе сопппоп 1еасйпй гГ!й!гз |о г(!зарреаг, ТЬе ехас! гехи!! х — у !з сопзегГиепг1у а тас16пе пшпЬег, зо йа! по лего гоипг(ой' еггог х — о у = х — у апзез.

1п |Ь~з зепзе, зиЪ|гас6оп ш йе сазе оГ сапсейа6оп !з а гГи!ге Ьапп!езз орега6оп. %е илИ зее ш |Ье пех! зес6оп, Ьоигеуег, ЕЗ Еггог РгоразаГ1оп йас сансе!!агюп 1в ехггегпе1у г)апаегоив сопсегп)па йе ргорааайоп оГ оЫ еггогв, »гЬ|сЬ вгет Ггот йе са1сн1айопв оГ х апг) у рпог го саггуша ои1 1Ье в«Ыгасйоп х — у. Рог ехргезв)па йе гезий о! йоайпй-роги! са1сн1айопв, а сопчешепс ЬШ вййЫ1у ипргесгве посайоп Ьав Ьееп гч)г(е1у ассервег$, апг)»ге «й!1 изе Ь Ггег!иеп1!у оигве1чев: ГГ й гв с!еаг !гога йе сопгехг Ьо«го еча!иаге ап апйипейс ехргевяоп Е (гТ пеег! Ье йгв сап Ье врес)йег( Ьу твеггшй зшгаЫе рагепйевев), 1Ьеп П(Е) г)епогев 1Ье ча!ие оГ йе ехргевяоп ав оЫашег) Ьу йоаг)па-ро)пг апйгпейс.

Ехлмеы 4 П(х х у):=х х* у, Г!(а ~- (Ь ~- с)):= а 1-* (Ь 1- ч с), Г!((а + Ь) + с):= (а ~- * Ь) + * с. %е»л!! а!во иве йе погайоп Г!( г х), Г1(соз(х)), есс., »гЬепечег йе г))й)га! согпрнгег арргохипагев Гипсгюпв гг, сов, его., Ьу виЬвйгигез *, сов*, его. Т)шв Г!( ггх):= чгхе, апг! во оп. ТЬе апгЬгпейс орегагюпв +, —, х, /, сойегЬег»г)й йове Ьаяс Гипсгюпв 1йге г, сов, Гог гчЫсЬ йоаг)па-ро)пг виЬвйгигез ' е, сове, его., Ьаче Ьееп врос(йегГ, «й!1 Ье сайег) е!епгеигагу орегабопя 1.3 Еггог РгорадаГ!огг %ге Ьаче вееп 1п 1Ье ргечюиз весгюп (Ехатр1е 3) йас Пчо гй!Тегепс Ьиг гпагЬетайса!1у ег!шча!епс тейог$в (а + Ь) + с, а + (Ь + с) Гог еча1иайпд йе вате ехргеввюп а + Ь + с тау 1еаг) го н(йегепг гехи!!в гТ йоаг)па-рошг апйпгейс 1в ивед.

гос пшпепса1 ригровев й гв йегеГоге ипроггапг го г)!в!!пан(вЬ Ьег»геен г))йегепг еча!набоп всЬетев ечеп й 1Ьеу аге тайетаг1са1!у ег)н!ча1епг. ТЬ«в «е са!1 а йпйе вег)пенсе оГ е!етепгагу орегайопв (ав а)чеп Гог шзгапсе Ьу сопвесийче сотрнгег швггисйопв) «ЫсЬ ргевспЬев Ьо» го са!си1аге йе во1игюп оГ а ргоЫет Ггогп й)чеп шрнг г)ага, ап а!дог11Ьгп.

Фе «411 Гоппа1ые йе погюп оГ ап а!доййип воте»гЬаг. циррозе а ргоЬ1егп сопяв1в оГ са!сн!айпд г)еягед гехи!1 пшпЬегв у„..., у„!гот !при! пщпЬегв х„..., х„. 1Г гче !и!годнее йе чесгогв =П йеп во!ч(па йе аЬоче ргоЫегп теапв г)е1егт)п)пй йе ча!не у = гр(х) оГ а ГО ! Еггог Апасуса сегсат шп11!чапа!с чессог Гппс1юп гр: Π— й, О с й", счЬеге ср гв а)чеп Ьу гп геа1 Гппсгюпв грг, у,.

= ср;(х,, ..., х„), 1 = 1, ..., гп. хсо= е й"', сче сап аввос!асс сч!1Ь ап е!ешеп1агу орегасюп ап еГегпепгагу гпар рп':О,. й"", О, а й", во йас ср"(х") = х" ", счЬеге х"" !в а чес1ог гергевепгаг!оп оГ йе ггапвГоппес( орегапс( ве1. ТЬе е!епгепгагу гпар срсп !в пощаде!у с)еГспес( ехсерс Гог !псопвес)пепс(а! репппга- 1!опв оГ хсп апс) х" " счЬ!сЬ в1егп Ггош йе агЬ(ггаппевв !пчо!чес( ш аггапа!па 1Ье соггевропс((па орегапс1 вега ш йе Гопп оГ чессогв. С!чеп ап а!аопйш, йеп Ьв вес(пепсе оГ е!епгепсагу орегагюпв а(чев пве со а с)есошров!1(оп оГ гр шсо а вес(пепсе оГ е!епгепСагу гоара ср"'.

О, — О,„, 1= О, 1, ..., г, О, ~ й"Ь (1.3.1) гр= срсоа срс' го ° ° ° осрс~г, Оп = О, О,„~ й""' = й счЬ!сЬ сЬагасгег!хе йе а!аопгЬш. Ехамчгв 1. рог чг(а, Ь, с) = а+ Ь+ с, сопяс1ег сЬе пчо а!аопйпи гс:=а+ Ь, у:= с с- гс апс! гг:= Ь + с, у:= а с- гс.

ТЬе ссесогпроягсопв (1.3.1) агс ср' '(а, Ь, с):= ~ е й', (а+ ь1 с чг (и с) и с-сей апс1 ср"'(и, с):= и -С- с а П. Ас еасЬ всаае оГ а са1си!асюп 1Ьеге !в ап орегапс( вес оГ пшпЬегв, чгЬ!сЬ еЬЬег аге опа!па1 !прас пшпЬегв х; ог Ьаче гевп11ес) 1гош ргеч)опв орега- 1!опв. А в!па(е орегасюп са1сп!асев а пепг пигпЬег )гогп опе ог пюге е1ешеп1в оГ 1Ье орегапс( вег. ТЬе песч пшпЬег гв еЬЬег ап !псеппес))аге ог а Гспа1 геви11.

1п апу саве, Ь !в ас))о!пес( со йе орегапс1 вес, счЬ(сЬ 1Ьеп )в рпгаес) оГ а1! епгпев йас сч)!! пос Ье пеес(ес( ав орегапс(в с)иг!па 1Ье геша!пс(ег оГ йе са(сп1ас!оп, ТЬе йпа1 орегапс( вес сч(!! сопв!вг оГ йе с(еягес1 гевп!1в Ус . Ую ТЬегеГоге, ап орегагюп соггевропс(в со а сгапвГоппагюп оГ йе орегапс( вег.

%г!1!пд сопвесис!че орегапс( вега ав чес1огв, !.3 Еггог Ргорзззиое А(ддпгйт 1: гг,:= а х а, з,:=ЬиЬ, А1ддпгйт 2: гг,:= а + Ь, ег =д-Ь, У '=% и ггз. У '=гГг Чг. Соггезроп<$(пд г$есогороз(г(опз (1.3.1) аге А(догггат 1: вг'е'(а, Ь):=, сро!(и, е):=,, Ег'п(и, е):= и — е, Л АГдопГЬт 2: Вг!е!(а, Ь):= Ь(оге гЬа! !Ье г(есотроз(!$оп оГ я(а, Ь):= а! — Ьз соггезропсйпд !о А!дог$гЬгп 1 аЬоче свп Ье ге!езсорег$ !пго а вппр1ег г$есогороз$!$оп: Гдл $ втт(,Ь)= ~ ~, то'(и, ):=и- . Ь огг(сг!у зреа$г$пй, Ьо вече!, и!ар ф'е' гз по! е!си!си!агу. Могеочег гЬе г(есотроз$гюп г$оез по! г$егегт(пе !Ье а!дог(гЬт ип(г$ие1у, япсе гЬеге ы в!!11 а сЬогсе, Ьовечег пшпег(са1!у $пз(дшйсвпг, оГ вЬа! го сои!риге йгзг, дз ог Ь!. Нор(пй !о йпг$ сп!епа Гог )иг)й(пй йе г(иа($!у оГ а!йог)!Ьгпз, ве в(П пов ехапипе !Ье геавопв вЬу г($$(егеп! а1йопйгпз Гог зо1ч(пй !Ье загпе ргоЫегп йепега11у у(е1г$ г($(Гегеп! геви)гз.

Еггог ргорацайоп, Гог опе, р1ауз а г(ес(з(че го1е, аз йе ехапгр!е оГ йе яип у = а + Ь + с вЬопв (вес Ехагпр)е 3 ги Бес!(оп 1.2). Неге йоа!(пй-ро(п! ап0ипе!(с у(е1ов ап арргох(гпа!)оп у = $1((а + Ь) + с) !о у вЬгсЬ, ассогг)(пй !о (1.2.6), за!(зйез г):= $1(а + Ь) = (а + Ь)(1 + в,), У:=(1(гГ+ с) = (г$ + с)(1+ вл) = 1(а + Ь)(1 + в,) + с)(1 + з,) а+Ь = (а+ Ь+ с) 1 + — — зг(1+ е!) + вз а+Ь+с рог йе ге!а!(че еггог в„:= (У вЂ” У)/У оГ У а+Ь з = вг( + 2) 2 а+Ь+с ог г)(згейагг)(пй !еппв оГ огг)ег Ь(йЬег йап 1 Гп в'в впсЬ ав в!ее, а+Ь в!+ 1 в! а+Ь+с Ехлмчы 2.

%псе а — Ь = (а $- Ь)(а — Ь), опе Ьзз Гог гЬе св!со1вйоп оГ ч!(д Ь):= аз — Ьл йе гво а!дог$1Ьгпз 12 1 Еггог Апа!ува ТЬе акр!!йсаг(оп Гасгогв (а+ Ь)/(а+ Ь+ с) ап() 1, гевресг(че!у, шеавпге гЬе е(Гесг оГ гЬе гопп()оГГ еггогв г,„я, оп гЬе еггог е, о! гЬе гевп11. ТЬе Гасгог (а+ Ь)()(а+ Ь+ с) гв спг)са!: (Гереойпа оп «)ЬегЬег !а+ Ь) ог !Ь+ с! гв ГЬе вша11ег оГ ГЬе Глчо, 11 Гв ЬеПег Го ргосее(Г ч(а (а + Ь) + с гайег йап а + (Ь + с) Гог сошрпг)па а + Ь + с. Гп Ехагпр!е 3 оГ 180 ргеч!опв весооп, а+Ь 033... 'х!О), а + Ь 6 с 0.64 ...,о — 3 Ь -(- с 0.6!8... )0 — 3 а 0.97, а -(- Ь .(- с 0.64 ...,р — 3 вЫсЬ ехр!ашв йе Ыааег ассигасу оГ Г!(а 6 (Ь (- с)). ТЬе аЪоче гпегЬо(Г оГ ехаш(п!па гЬе ргораааг!оп оГ рагг!сп!аг еггогв а(Ь(!е йвгедагйпд Ь(аЬег-ог()ег геппв сап Ье ех(еп(1е(1 вув(ешаГ)са!1у Го ргоч)((е а (Гфегелг(а( еггог ала!ув(в оГ ап а1аопГЬш Гог сошрпГ(па (р(х) (Т ГЬ(в Гппс(юп гв а(чеп Ьу а (Гесошров)Г)оп (1.3.1): о) ( — (), (0) (р,(х,, ..., х„)1 (р (.х „ ..., х„) ~ (р: 13 — Гг'", (р(л) = Гв (ГеГ(пе($ оп ап орел впЬвеГ 13 оГ !х", ап(1 ГЬаГ (Гв сопгропепГ ГппсГ)опв (р,, ( = 1, ..., л, Ьаче сопГ(ппопв йгв1 (Гепча((чев оп 13.

1.еГ л Ье ап арргохппаГе ча1пе Гог ге ТЬеп (че (Гепоге Ьу Лх,:=.Е( — .х„ (лх:=л. — .х йе аЬво!иге еггог оГ х, ап(Г .):, гевресг(че!у. ТЬе ге!аггее еггог оГ,х( !в (Гейпе(Г ав гЬе (!пап!(гу х; — х; га:= — ' -' !Г х(+ О. х; Кер1асшд йе шрш (Гага х Ьу х !еа()в го йе гевп11 у:= (р(х) швгеа(Г оГ у = (р(х). Ехрапйпа ш а Тау1ог вепев ап(Г йвгеаагйпа Ь!аЬег-ог()ег гегшв а!чев Лу(:= у, — у, = (р,.(х) — (р;(х) =' ,') (х, — х,)— Йр,(х) дх, (1.3.2) — ' — -Ьх, 1=1,...,л(, =Х д(р;(х) 1 дх, То йгв еп(Г хче ппьг шчевггааге Ьо(ч гЬе !прог еггогв Лх оГ х ав «)е11 ав йе гопп()оГГ еггогв ассшпи!аге(Г (Гпгша гЬе сопгве оГ йе а1аопгЬш а(Гесг гЬе Г(па! гевп11 у = (р(л).

%е в(агГ 1Ь)в шчевГ)ааГ)оп Ьу сопв!(Геппа йе гпрпГ еггогв Ьх а1опе, ап(Г хче хч!1! арр1у апу !пв)аЬгв ч(е аа!и го йе апа!ув!в оГ гЬе ргораааггоп оГ гопп()оГГ еггогв. %е впррове гЬаг гЬе Гппсг)оп 13 !.3 Еггог Ргоразаиоп ог ш шагпх пога6оп, дгр г дгр г дх, дх„ Ауг Лхг (1.3.3) Ьу = дгр дгр дх, дх„ = Гугр(х) Лх Лх„ !ч(гЬ йе уасоЫап шагпх Гугр(х). ТЬе по!а6оп " = "' шв!еаг) оГ" = ", гчЬ~сЬ Ьав Ьееп изей оссагдопа1!у Ье!оге, гз шеап! го шйсаге гЬа! йе соггевропйпа есрга6опв аге оп1у а Гггв! оп)ег арргохипагюп, ).е., йеу с)о по! !а)се циап66ев оГ Ь(аЬег огг)ег (гп с'в ог Л'в) шго ассоип!. ТЬе г)иап6!у даг,(х)/дхг ш (1.3.3) гергевеп!в ГЬе вепг46гдгу ин!Ь !чЬ(сЬ у, геас!в !о аЬво!и!е рег!игЬагюпв Лх! оГ х,.