Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 2

ТЬе Р!и!те-Е!ешепг МегЬод 553 Ехегс!зев Гог СЬартет 7 560 Кегегепсев Гог СЬаргег 7 566 ! Еггог Апа!уг!г Боте аийогв ехСепгС йе Сепп "Сгипса6оп еггог" Со сочег йвсге6га6оп еггогв. 1п йЬ сЬарсег, сче гч!!! ехапипе йе 8епега! еГГесс оГ три! апгс гоипгсо1Т еггоь оп сЬе геви1с оГ а са!си1а6оп. Арргохипасюп еггогв игг1! Ье йвсиыегс ш 1асег сЬарсегв ы иге гсеас счссЬ 1пгс!чЫиа! тесЬогсв. рог а сотргеЬепяче Сгеагпсепг оГ гоипдоГГ еггогв ш С)оа6п8-ро!пС сотрига6оп все БСегЬепг (1974). 1.1 КергеБепТВ(1оп о1 1 1сспсЬегБ Вазе!с оп сЬегг Гипгсатепса1!у йсТегепс счаув оГ гергевеп6п8 пшпЪегв, сиги сасе8опев оГ сотри6п8 тасЬ1пегу сап Ье йз6привЬей (1) аиа!од сотригегв, (2) гГ!д!га! сотригегв. Ехяпр1ев оГ апа!о8 сотрисегв аге в1!!се ги1ев апгс тесЬатса! шсе8гасогв ы иге!1 ы е!ее!готе апа!о8 сотрисегв. реп иып8 сЬеве гсечссев опе гер1асев пшпЬегв Ъу рЬуяса1 г!иап66ев, е.8., сЬе!еп8сЬ оГ а Ьаг ог йе спсепясу оГ а чо!са8е, апгс япш!асев сЬе тасЬета6са1 ргоЬ!ет Ъу а рЬуяса! опе, игЬ1сЬ Ь во!чесс йгои8Ь псеавигетепс, усе!йп8 а во1исюп Гог йе опрпа1 тайета6- са1 ргоЫет ы сче1!.

ТЬе вса1ев оГ а вИе ги!е, Гог Гпвсапсе, гергевепс пшпЬегв х Ьу !спе верпепь оГ 1еп8й Гг!и х. Ми!сср!Гсасюп и яти!асс!с Ьу ровьютп8 Впе верпепь соп6ргоив1у апгс теыипп8 йе согпЬГпегс!еп8й Гог сЬе геви11. 1с !в с!еаг сЛас сЬе ассигасу оГ апа1о8 гсечкев ь йгесс!у 1птисегс Ьу йе рЬуяса! псеавигетепсв йеу етр1оу. О!8!са! сотршегв ехргеы сЬе йрь оГ а пшпЪег гергевепсабоп Ьу а вегСиеисе оГ йвсгесе рЬуяса1 ссиапсгс1ев. Турка1 гпвсапсев аге !сей са!си!асогв апгс е!ессготс йрса1 сотрисегв. Еххмегв 1 1 ЕасЬ йрс св гергевепсегс Ьу а врос!йс рЬуыса1 гргап6су. Б!псе оп1у а япа!1 Вассе пшпЬег оГ ййегепс йрь Ьаче со Ье еасоф!с — т йе гсесипа! пшпЬег вувсет, Гог швсапсе, сЬеге аге оп1у 1О йрсв — сЬе гергевепса6оп оГ йрсв Ги йрса! сотрисегв пеегС иос Ье гсшсе ы ргессве ав сЬе гергевепса6оп оГ типЬегв ш апа!о8 сопсригегв.

ТЬив опе т!8ЬС Со!егаге чо1Са8ев Ьегигееп, вау, 7.8 апгс 8.2 гчЬеп аипш8 ас а гергевепса6оп оГ йе йрс 8 Ьу 8 чо!св. 1.1 КерсесспСаиоп ос 14ппсЬссс Сопзес!иеп11у, йе ассигасу о1 йр1а! сошригегз сз пос йгес11у 1пш1ес! Ьу йе ргесгзюп оГ рЬуяса! шеазигешепгя Е'ог гесЬшса! геазопз, споз1 пмк1егп е!ее!гоше йрга! сошри1егз гергезеп1 пшпЬегз !псегпаПу ш Ьслагу гайег 1Ьап с!осипа! Гопп. Неге 1Ье соеГПс!епгз ог Ь!ь ссс оГ а с(есошроз!Поп Ьу рочгегз оГ 2 р!ау 1Ье го!е оГс!!ргз сп 1Ье гергезепса6оп о1 а пшпЬег х: х=+(а„2" +а„,2" '+" +ао2 +а,2 '+а с2 +" ), сс;=О ог 1.

1п огсГег пос со сопГизе сГеснпа! апсГ Ъспагу гергезепгасюпз оГ пшпЬегз, сче сГепосе йе Ьссз оГ а Ьспагу пшпЬег гергезепга6оп Ьу О апсГ 1., псвресссче!у. Ехпмгпа ТЬе пшпЬег х = 18.5 ассппсз сЬе Оесогпроя6оп 185=1х2 +Ох2 +Ох2 +1х2'+Ох2 +1х2 ппсГ Ьаз сЬегеГоге сЬе Ыиагу гергезеп1а6оп ЬООЕОЛ %е илП изе таси!у йе с)есппа! пуз!ей, ро!п6па оис сГ!Пегепсез Ьегсчееп 1Ье гисо зузсеспз чсЬепечег П Ь рег6пепг со 1Ье ехапппа6оп ас Ьапс1. Аз йе ехашр!е 3.999... = 4 зЬосчз, йе сГеснпа! гергезепгагюп о1 а пшпЬег гпау пог Ье ип!с!ие. ТЬе загпе Ьо!<Ь Гог Ъспагу гергезепгасюпз.

То ехс!исГе яссЬ аспЬ!аш6ез, чсе исП! а!исауз геГег го йе Пш1е гергезепса6оп ип1езз 01Ьепч!зе па!ей 1п Пепега1, йр1а! соспрШегз пшз1 шаГсе сГо чч!1Ь а ПхесГ Пшсе пшпЬег оГ р1асез, йе счогсГ 1еидсЬ, исЬеп сп1егпаПу гергезеп6пи а пшпЬег. ТЫз пшпЪег и !з сГегепшпесГ Ьу йе ша1се о1 йе шасЫпе, а1йоиаЬ зоше псасЫпез Ьаче Ьш11-ш ехгепзюпз 1о !п1еПег пш!6р!ез 2л, Зи, ... (сГоиЫе ччогсГ !епрЬ, 1пр!е исогсГ !епрЬ, ...) о1 л го оПег цгеагег ргессзюп П пеесГесГ. А исогсГ !епрЬ о1 л р!асез сап Ье изесГ ш зечега1 6!ГГегепг ГазЫопз го гергезепг а пшпЪег. Гс схесГ-рослс гергезелиивои зреайез а ПхесГ пшпЬег и, о1 р!асез Ъе1оге апсГ а Пхес1 пшпЪег лс аПег 1Ье сГесипа! (Ъспагу) ро!п1, зо йас и = и, + ис (ивиаПу и, = О ог л, = л).

Ехлмггв. рос л = 1О, лс = 4, лс = 6 30.42! 0030 421000 0.0437 0000 043700 лс и, 1п йсз гергезепга6оп, 1Ье роясюп оГ йе с!осипа! (Ь!пагу) рошг ь ПхесГ. А Гечс ядр!е йрса! сГеч!сев, ша!п1у 1ог ассоип6па ригрозез, аге з6П ге- | Еггог Апа!уаа а!пс!егГ |о Пхенц-ро|п! гергезеп!а6оп, МисЬ |поге ипрог|ап|, ш раг!|си1аг Гог ас|еп6Пс са1с«1а||опя аге г!!8!!а! сошри!его Геа!ипп8 Г(оаг1лд-ро!лг гергезелгапол оГ пшпЬега. Неге |Ье г(ес!ша! (Ь|пагу) ро!п! !а по! Пхег! а| йе ои!аег; гайег Па роя6оп вПЬ геарес! |о |Ье Пга! |Г!а!! |а |пйса|е|1 Гог еасЬ пшпЬег аерага!е!у.

ТЬ!а |а г(опе Ьу прес!Гу(пд а ьо-саПег( ехролеш. 1п о!Ьег вогг(я еасЬ геа! пшпЬег сап Ье гергеаеп!ег( ш йе Гопп (1.1.1) х = а х 10~(х = а х 2 ) виЬ 1а) < 1, Ъ |п|е8ег (аау, 30.421 Ьу 0.30421 х 10!), вЬеге йе ехропеп! Ь Гпг(!са!еь йе роябоп оГ йе г!ес!ша1 рош! виЬ геарес! |о |Ье лгалггаза а. Ки6ьЬаиаег ргороаегГ йе ГоПо«Пп8 "аепп!одап!Ьш!с" по|абоп, вЫсЬ йар1ауь йе Ъаяа оГ |Ье пшпЬег ауяе|п а! йе |шЬаспрс 1ече! апгГ п|очеа йе ехропеп! г(овп |о йе 1ече! оГ йе шапбааа: 0 30421|с2 Апа108оиа1у, О.Г.ООГ,ОГ,! ЬОГ. г(епо!еа йе пшпЬег 18.5 ш |Ье Ь~пагу ауяеп|.

Оп апу 6!81!а1 сошри|ег йеге аге, оГ соигае, оп!у Пхег( Ппйе пишЬега ! апг( е, л = | + е, оГ р!асез ачаПайе Гог йе гергекеп!а6оп оГ шапбааа апг( ехропеп|, геаресг!че!у. Еххмгга рог г = 4, е = 2 опе «оп!0 Ьаче |Ье йоа6па-ро1п! гергекепгаОоп 0 5420 04 ог шоге сопсие1у 5420 04 1|о ! |ог |Ье пшпЬег 5420 1п йе гГес1гпа1 гуагеш, ТЬе Поабпд-рош! гергеьеп!абоп оГ а пшпЬег пеегГ по| Ье ип!г!ие. 8!псе 5420 = 0542,с4 = 00542,с5, опе сои!6 а1ао Ьаче йе Поабпд-Ро!п! гергеаеп!абоп 0 0542 05 ог 0542 05 !па!еаза оГ йе опе и!чеп |п йе аЬоче ехагпр1е.

А Поа6пд-ро(пс гергеаеп!а6оп |а лог|лайгед |Г йе Пгь! |Г!8!! (Ь|!) оГ йе п|апбааа |а й!Тегеп! Ггоп| 0 (О). ТЬеп !а/ > 10 ' (!а/ > 2 ') Ьо!6а !п (1.1.1). ТЬе а!длфсалг сПддз (Ь!га) оГ а пшпЬег аге йе 6!а!!а оГ йе шап6ааа по! соипбп8 1еаг(!пд хегоя 1п вЬа! 1оПовз, ве «чП оп!у сопыг!ег поппа!|лед Йоабпа-ро!п! гергеьеп!абсид апг! йе соггеьропгГ!пд Поа6пд-рош! аг!!Ьше6с. ТЬе пшпЬегь | апд е г(е!епп!пе — !оае!Ьег «Пй йе Ьаяа В = 10 ог В = 2 оГ йе пшпЬег гергеаеп!а6оп — !Ье ае! А а й оГ геа! пишЬега вЫсЬ сап Ье гергеаеп!егГ ехас!1у «п|Ып а 8!чеп шасЫпе. ТЬе е1ешеп|а оГ А аге саПег( !Ье лгасЬгле лиеЬега 1.2 Коипдод Еггоо апд Ноаппв-Ревя Агаатейс %Ы!е погшайгег( йоайпц-ро!пг аг!1Ьгпег!с 1в ргеча!епс оп спггепг е1есггошс г(!а!га! сотрпвегв, пппогшайаед агйЫпейс Ьав Ьееп ргоровед Со епвпге ГЬаГ оп1у 1гп!у ядшйсап1 о!й!Гв аге сагпег( [АвЬепЬпгвГ апг( Меггоройв, (1959)!. 1.2 КОиПдОГГ ЕГГОгй аПд НОабПД-РОГПГ АТ1йП)Е6С ТЬе веГ А оГ пшпЬегв юЬ!сЬ аге гергевепгайе ш а и!чеп гпасЫпе гв оп!у йшге.

ТЬе циевйоп ГйегеГоге апвев оГ Лочг го арргохппаге а пшпЬег х ф А ччЬ1сЬ !в пог а гпасЫпе пшпЬег Ьу а пшпЬег д е А вЫсЬ !в. ТЬ!в ргоЫет гв епсоппгегег) пог оп1у аЬеп геагйпд г(ага шго а соп1рпгег, ЬпГ аЬо ччЬеп гергевепйпц 1пгеппегйаге гевп11в чч!1Ып 1Ье сотрпгег дпг1пйгЬе сопгве оГа са!сп!а1юп. 1пдеег(, вгга!аЬГГопчагг( ехашр1ев вЬою Гйав ГЬе гевп11в оГ е1етепвагу аг!ГЬтеГ!с орегайопв х + у, х х у, хну пеег( пог Ье!опй Го А, ечеп 1Т ЬогЬ орегапг(в х, у е А аге гпасЬ)пе пшпЬегв. 11 !в па!ига! го ровгп1асе Гйаг 1Ье арргохппагюп оГ апу пшпЬег х ф А Ьу а гпасЫпе пшпЬег гг((х) е А вЬоп1о ваг|в(у (1.2.1) (х — гг((х)! < (х — д! Гог ай д е А.

БисЬ а тасЫпе-пшпЬег арргохппайоп гд(х) сап Ъе оЫа!пег( ш пювг савев Ьу гоига((ид. Ехлмчгв 1 (г = 4) гй(0.142851оО) = 0.1429шО, гй(3.!41591оО) = 0.31421о1 пЦ0.1428421о2) = 0 1428 ш2. 1п. аепега1, опе сап ргосеег( ав Го!!пав ш оп(ег го йпг( п1(х) Гог а г-г(црг созпригег: х ф А !в йгвГ гергевепгед !п погшайгег( Гопп х = а х 10",во ГйаГ )а/ ) 10 '. Япррове 1Ье деснпа) гергевепвайоп оГ /а/ гв и!чеп Ьу (а(=Ол,а,...аа;„..., 0<а;<9, а,~О.

ТЬеп опе Гогшв )Оа,ав ... а, !ГО < а,, < 4, (О.а, ав ... а, + 10 ' !Г а„, ) 5, Гйаг 1в, опе шсгеавев а, Ьу 1 !Г ГЬе (Г + 1)вг г(!8(Г а,, ) 5, апо г(е(евев ай йй!гв айег гйе ггЬ опе. г !па!!у опе рпгв гг((х):= в!йп(х) а' х 10'. ! 2 Кочпдо!Г Еггогк ап4 Ноайпа-Роьпс АВШтеас Впг ГЬеп ггГ гГоев по! ьа!!ьГу (1.2.2), гЬаг !а, гЬе ге1аг1»е еггог оГ п1(х) шау ехсеегГ ерш. Гу!й!!а( сошрпгегв ггеас осспггепсев оГ ехропепг очегйое апгГ ипдегйочг аь !ггеап!аг1г!ек оГ Гйе са(со!акоп.

1п гЬе саве оГ ехропепг ппгГегйог», ггГ(х) шау Ье ГогшегГ аа ГпгГ!са!егГ !и (1.2.3). Ехропеп! очегйо» гпау сарае а Ьа11 ш са!си!аг!опт. 1п Гйе геша!и!пц геап!аг сааеь (Ьпг пог Гог ай шаГгез оГ сошршегь), гоипгйпй !а дейпегГ Ьу ггГ(х):= гй(х). Ехропепс очегйо» апд ппоегйочч сап Ъе ачоЫей го коше ехгеп! Ьу зп!гаЬ!е ясайпа оГ Гйе !прыг гГага апгГ Ьу !псогрогаг!па прес!а! сЬесГгя апгГ геьсайпйа оиг!пй сошрпга6опа В!псе еасЬ гй!Тегепг пшпепса1 шегЬод айй гегриге йв оччп крее!а! ргоГесг!оп гесЬп!г!пеь, апо ипсе очегйо» апо ипгГегйою гГо по! Ьарреп чегу Ггег!сепг!у, чче айй шаГсе Гйе Ыеайгед аавшпрйоп ГйаГ е = со !и опг апЬкециеп! гГ!вспьь!опь, ьо !Паг п1:= п1 гГоеь !пгГеед ргочЫе а гп!е Гог гоппгГ!па вЬ|сЬ епвигез ггГ: й- А, (1.2.4) гд(х) = х(1+ я) айгЬ (е) ( ерз Гог ай х е Й.

у:=гд(х+ у), у:= ггГ(х — у) Гог х, у е А, у:=ггГ(х х у), у:= ггГ(х / у), (1.2.5) х х» зо ГЬаг (1.2.4) ппрйеь (х+ у)(1+ е,) (х — у)(1 + еа) (х х у)(1+ ез) (х / у)(1 + ех) х+*у= (1.2.б) ! я;( ( ерш. х х*у= х /* у = 1п Гиггйег ехашр!ез яе юч!1, соггеьропгГ!пй!у, !рче гЬе 1епагЬ г оГ гЬе шапг!ььа оп!у. ТЬе геагГег шпаг Ьеаг !и ш!пгГ, Ьоюечег, Гйаг апЬяегГпепг агагешепга гедагйпд гоппоой еггогь шау Ье !пча(Ы !Г очегйочгв ог ипгГегйож аге айоччегГ го Ьарреп. Фе Лаче иееп Гйаг гЬе геап1га о! апгЬше6с орегаг!опь х+ у, х х у, х/у пеегГ по! Ье шасЬше пшпЬегь, ечеп И гЬе орегапдь х апгГ у аге. ТЛИ опе саппог ехресг го гергоопсе ГЬе апгЬгпе6с орегаг!опз ехасг1у оп а гГ!а!га! согпрпгег. Опе ей! Ьаче го Ъе сопгепг чч!ГЬ апЬь6ппе орега!!опв + ~, — г', х *, /*, ао-сайегГ Яоагтд-ротг орегаггоаг, чг!ПсЬ арргохнпа!е Гйе апгйше6с орегаг!опв аь ччей аз рова!Ь!е !».ЬГешпапп апгГ Оо!<Ьге1п (1947)).

БвсЬ орега!!опя шау Ье гГейпегГ, Гог шягапсе, е!ГЬ ГЬе Ье!р оГ ГЬе гоппйпй шар ггГ аа Гойоез | Еггог Апа|уоы Оп п|апу аппо|(егп сотри|ег шяайа6опз, |Ье йоайпй-ро!и! орегайопз + *, ... аге по! г(ейпе|Г Ьу (1.2.5), Ьи! !из!ел|! ш висЬ а игау йа! (1.2.6) Ьо1оз иг!гЬ оп1у а зотеигЬа! агеа(сег Ьоипг(, зау, ) з, ! < )г ерз, !г > 1 Ьешй а япай !пгейег, й!псе |Ьезе япай г(еч!айопз Ггоп| (1.2.6) аге по! з!8п!йсап! Гог оиг ехапипа6опз, иге |ой! азяппе Гог яп|рйсйу |Ьа! |Ье йоайпй-ро!и! орега6опз аге |и Гас! г(ейпе|$ Ьу (1.2.5) ап|! Ьепсе зайзГу (1.2.6). 1! зЬои16 Ъе ро(и!ей ои! |Ьа! йе йоабпй-ро|п! орегабопз г!о по! за6зГу |Ье |зей-!гпоигп 1агоз Гог апйте6с орега6опз. Е'ог шз|апсе, х+*у=х !Г)у! < — )х), х,уиА, ерз В |оЬеге В |з йе Ъаяз оГ йе пшпЬег зуяет. ТЬе тасЬ!пе ргесайоп ерз сои!с( шг(еег( Ъе г(ейпе|Г аз |Ье япайея роя6че п|асЬ|пе пшпЬег д Гог игЬ!сЬ 1+'д>1: ерз = пип(д и А ~ 1 + * д» 1 ап|Г д > О).