Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (Колесников. Сборник задач по теоретической механике (1983)), страница 6

За полюс полярной системы координат прпняаь точку О, за полярную ось — ось Ох. В начальный момент времени (! О) точка В совпадала с точной С шестерни 2, а кривошип ОА был расположен на оси Ох. Ответ: траектория точки — кардиоида, х=- В (2 сов се! — сов 2се!), у = В (2 в!и ов! — РАП 2ы!), О — г = В г' 5 — 4 сов оа?, ю = агс!а [ ! 2а!яоя(! — савоМ) ? [ (2сеаак — ссагео) )Ь гл..з, кинкмлтика точки 3В и~~в!з а 2з Ответ: и,',ссз а Г / з 2вз /,= — '(((д +(яй)+1/ ((.

~+(й 3)'+ в из сов а ч 3.25. Самолет (точка О) движется в вертикальной плоскости по дуге окруявности радиуса Й с постоянной по величине скоростью ч,. В момент времени, когда самолет находился в положении А, от него отделилась точка М, движение которой после отделения происходит с постоянным ускорением д относительно неподвижной системы координат О,х,у,. 3.22. В условиях .предыдущей задачи найти наименьшее и наибольшее значения скорости и ускорения точки В за время одного полного оборота кривошипа ОА из его начального ноложения. Кроме того, найти радиус крнвпзны траектории точки /) в момент времени ( = л/ы.

Ответ: и „= О, а,„= 2Лы при (=О, и „= 4г(ы, а,„ 6/(ы"" при 2 л/ы; р(л/ы) ЗЛ/3. 3.23. От самолета, который летит с постоянной скоростью ч, па высоте М над Землей, з некоторьп) момент времени отделяется точка М. Движение точки происходит в вертикальной плоскости с пох ° и ив г стоянным ускорением ф. Найти: 1) траекторию точки в не- подвижной системе координат Оху, у начало которой совпадает с поло~пением точки в момент ее отделения от самолета; 2) расстояние 1, на котором точка должна отделиться от самолета, чтобы попасть в точку А ка поверхно- К задаче 3.23. сти Земли; 3) величину скорости точки М и угол а между вектором скорости этой точки и вертикалью з положении А.

Ответ: 1) у= —,х'-'; 2) 1= и, у =; 3) и = ),' ги-1- 2у//~ /т 2у и а = агс(д ,/2— „,/ 3.24. Лых|ник (точка М), оторвавшись от горы разгона трамплина со скоростью ч,, движется в вертикальной плоскости с постоянным ускорением й. Углы, которые образуют с горпзбнтом прямолинейнь1й участок О,О горы разгона трамплина н линия паиболыпего ската. горы приаемления равны а и () соответственно, ОА Ь.

Найти наибольшую высоту подъема Н лыжника над точкой его отрыва от горы раагона трамплина и горизонтальную дальность полета Ь. з 3 коогдинатныв спооовы 3АдАния дВижения тОчки яо Найти ускорение точки М как функцию угла гр относительно системы координат Оху, связанной с самолетом в точке О и движущейся поступательно (оси систем координат О,х,у, и Оху соответственно параллельны). К задаче 3.24.

К задаче 325. оа ( 2елоояе 'я Ответ: а =- 1г Л~+ — з 1+ л' ~ "з 3.26. 1'имнаст (точка М), деряяась за перекладину трапеции, отталкивается от опоры А со скоростью те(тз-'- О,А) и дюпкется вместе с трапецией в вертикальной плоскости. Проекция уско- рения гимнаста на касательную к его траектории па участке АВ аг равна а з)п (ез — р), длина трапеции О,М= й В положении В(2 и+ р) гим- Р наст отделяется от трапеции н з У продолжает двигаться в той я'е в плоскости с постоянным ускоре- )а пнем й.

ив зг у Найти: 1) скорость и ускорение гимнаста в положении В; 2) уравнения движения гимнаста после его отделения от трапеции (з полярпых координа- тах г, ез), Ответ: 1) из = 1 4+ 22)(соз)) — сова), ав = у' (ав)я+ (ав)яа где иаз+ 2Е! (соя Р— соя а) з )) во а 2) г = ~ ~/ оз„— ~доз з1пй) 2-). -й')з, р=агсГй~зй)) — 2 — „„„„2). 40 гл ь пгостьишив движения тввгдого тыла 3.27. Накти дальность поле~а точка М, отделившейся от колеса велосипеда радиуса В = 0,55 и в положении А. Двшкеяяе точки происходит в вертикальной плоскостя с постоянпым ускорением ф (д= 10 мlс').

Скорость центра С колеса, катящегося без проскальзывания, постоянна и равна ге = 5 м/с. Ответ: Б = 5,5 м. ,т К аадачо 3 23 11 задаче 327. 3.28. Зенитная ракета (точка А) стартует с поверхности Земли вертикально и двия.ется в вераикальной плоскости с постоянной по величине скоростью т, все время направленной яа самолет (точка В). Самолет движется равномерно и прямоливейно со скоростью и яа высоте Н пад поверхностью Земли. Найти траекторию ракеты, если и= г и в момент старта ракеты О = О) самолет находился в положении С. Кривиену поверхности Земли ие учитывать, уравнение траекзории ракеты представить в виде х = /(у).

Ответ: х(у) =- — ~ф — 1) — 2 1п ( — — 1) — 1~. Глава а ПРОСТЕИШИЕ ДВПГКЕПИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. Вращеияе тела вокруг пеподвижиой осп. Поступательное движение тела 4.1. Крыльчатка цептробеягпого насоса вращается равяомерпо вокруг пеподвижпой оси О с угловой скоростью, соответствующей 2135 об/мнп. Найти угловые скорость и ускорение колеса, скорость и ускореяие точки А, располоя[епяой ка ободе колеса, если его радиус равен 200 мм. Ответ: ы 223,6 рад/с, е = О, г = 44,7 м/с, а, = О, а„ = 9997 м/с*. $! ВРАшение телА ВОкРуГ неподВнжнои Оси 41 4.2. 'Точка А на кромке трехлопастного винта самолета имеет в момент разгона ускорение а.

Найти скорость точки А и зависимость угла поворота вала винта от времени, если ОА = Л, а вектор ускорения в некоторый К задаче 42, К задаче 4 1. момент наклонен к прямой ОА под углом а. Считать, что винт разгоняется нз состояния покоя ~р = 0 равноускоренно. Ответ: ф = а(з(п идз'(2Л), о„= а(з1п аМ. 4.3. Часовой баланс совершает крутнльные колебания по синусопдальному закону с периодом Т = 0,5 с и амплитудои а = ЫЗ рад. Найти путь 3, пройденный точной А, находяп(ейся па ободе баланса за время (=1 с после начала движения, если ОА 5 мм.

Вычислить также значение дуговой координаты в дочки А в этот тке момент времени. В начальный момент времени угол поворота баланса равен нулю. Ответ: 3 =13,3н мм, в = О. К задаче 4хь К задаче 4.4. 4.4. На рисунке показан велосипед-тренажер, Оси колес закреплены. Найти угол поворота педали как функцию Времени так, чтобы велосипедист «проехал» за 1 ч расстояние 30 км. Отношение 42 тл. ь пгостгишик движкния твггдого ткла чисел зубьев ведущего зубчатого колеса к ведомой шестерне равно 2, радиус заднего колеса равен 50 см, Вычислить также угловую скорость и число оборотов в минуту ведущего зубчатого колеса, полагая его вращение равномерным. Ответ: гр 8,331 рад, ы 8,33 рад/с, я = 79,6 обlмип. 4.5. Механизм для подъема груза состоят из ворота, изготовленного в виде двух жестко связанных между собой блоков 1 и 2.

На блок 1 радиуса Н и ва 1 з® ти. К концу С одной из пвх й блок 2 радиуса г, намотаны нипрпкреплев груз 3, а к концу Л другой н ти - Груз 4 Груз д в 4, опускаясь по наклонной пло- скости вниз, вращает ворот и с поднимает груз 2. г Считая нить нерастяжнмой, найти скорость в ускорение К задаче 45. груза 2, если перемещение гру- за 4 пронсходит по закову з азз. В начальный момент времени система находилась в покое.

г, г, Ответ: н = 2а1 — 'г а = 2а — '. г, 4,6. Устройство, подающее детали в печь для просушивания, состоит из кривошипа ОА, вращающегося в вертикальной плоскости, и соединенного с ннм шарнирно стержня АВ с поддоном. Во время движения устройства стержень АВ вертикален. Определить зависимость угла поворота чр кривошипа ОА от времени прп условии, чтобы скорость транспортируемо~о грува в поддоне была постоянна и равна 0,05 м/с. Найти также уравнение траектории точки В, если АВ = 0,8 м, ОА = 1,5 м.

Считать, что в начальный момент времени гр = О. Ответ; гр (1) = — 1 рад, хе + (у + 08)з =- 225 мз. К задаче 4.6. К зздзчв 4Д. 4 7. В четыречзвеппом механизме ОВСО точка А, находящаяся на середине спарннка ВС, движется равноускоренно. Касательное $ ь ВРАщение телА ВОкРуГ иеподВижной Оси 43 ускорение этой точки ад=5 м'сз. Длина спарпика ВС 1 м, а кривошипа ОВ =1'С 50 см.

В начальном положении стержень ОВ горизонтален, а угловая скорость его равна О. Найти уравнение траектории точки А, угловую скорость и угловое ускорение кривошипа, скорость и ускорение точки В. 8стз Ответ: уА + (ла — —., 1 = ОВ', ыов = 101 рад'с, еов = *= 10 рад!сз, ив = 5 8 и с, ав = 5У1 + 100 Тз и!сз. 4.о. В механизме, приводяп(ем в движение зубчатую рейку 4 строгального станка, колесо 1 с числом зубцов г, вращается по закону ~р, = а а)и рй Для момента времеви 1, = — с, прошедшего 1— от начала движения 11 = О), найти скорости и ускорения точек М, и М„ъолеса 8 и рейки 4, если числа зубцов колес 2 н 8 равны г, и г, соответственно.