Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (Колесников. Сборник задач по теоретической механике (1983)), страница 5

5 2. Координатные способы задания движения точки 3.7. Движение точки па плоскости задано уравнениями х =- а соз' ыг, у Ь з(в' Ы, где а сопз( > О, Ь совет > О, ы— соаз( > О. з х коогдинлтнык спосовы алдлния движвния точки 11айти уравнение траектории точки, радиус кривизны траектории, а также дуговую координату в и величины скорости и и ускорения а точки как функции времени. Изобразить графически траекторию точки и построить графики в в(я), и о(С), а = а(1). Ответ: уравнение траектории точки у.=Ь (1 — — я а у где 0(х(а, р = оо, в()) = . (1 — сов 2М), и(1) = у'а'+ 6' = ор 'грал+ Ь' з(п 2оМ, а (1) = 2юо'и' а'+ а сов 2ояг. 3.8.

Движение точки па плоскости в интервале времени 0 ч' -" 1 ( яД2ю) задано уравнениями: х = Ь зес ое1, у 6 Лб ю1, где Ь= сопвФ> О, ю =сопзо> О. Найти: 1) траекторию точки; 2) проекции скорости и ускорения точки па естественные и полярные оси координат в момент времени 1 О. За полюс полярной системы координат принять начало декартовой системы координат, за полярную ось — горизонтальную прямую, совпадающую с осью х. Траекторию точки, а также векторы се скорости и ускорения при и =О изобразить графически. Ответ: 1) траектория точки — ветвь гиперболы хо — у' = ЬЯ; 2) и,(0) Ьор, а„(0) = О, а„(0) Ьорр, и,(0) = О, вр(0) доя, а„(0) = = Ьоэ', ар(0) О.

3.(). Движение точки па плоскости задано в декартовой системе координат Оху уравнениями х аясозяв1, у а1з(пявт, где а = сопж > О, оо = сопя( > О. Найти: 1) радиус кривизны траектории точки в начальный момент времени (и = 0) и предельную (при г — оо) величину етого радиуса; 2) траекторию точки в полярных координатах; 3) проекции скорости и ускорения точки на орты полярной системы координат. За полюс принять начало декартовой системы координат, за полярную ось — ось х. и а Ответ: 1) р(0) = —, ров = оо; 2) г =* — <р — спираль 2ро '— ор Лрхимеда; 3) и,=а, гр аю(, а, -аоврс, а, 2аяв.

3.10, Двилаение точки на плоскости задано в полярных координатах уравнениями г ае", у ю(, где а сопи~>0, ер сопи( > О. Найти траекторию точки и проекции скорости и ускорекин точки на оси полярной и естественной систем координат. Ответ: г = ае' — логарифмическая спяраль; в, ор — аояе~~ и, О, ар 2аеяре"', о, ) 2 асов"', а, = а„)'2 аояре"'.

З пол Рои к с коаооиияояо Гл. э, кииемАтихА точки ЗЛ(. Стержень АС в точке А шарнирно прикреплен к полвуну, который перемещается вдоль вертикальной направляюще|й У Движение точки В стержня в полярных координатах описывается уравнениями ОВ =- г = — 1 у' соез ю(+ 9 а(на (а(, 1 »р = агс(у(З АМ), ч где со сопя() О, 1= соне() О. У Найти для точки В в декартовой 1( задаче ЗЛ1. системе координат Оху траекторшо, го- дографы скорости н ускорения. 4х 4да 4х 4у 4» 4у Ответ: з + — =11 + ~=-1 з + 6(з~а Ьаа 6(зиз ЗЛ2. В условиях предыдущей аадачи найти траекторию точки К стержня АС в декартовых координатах и, перейди к естественному способу задания движения точки, ее дуговую координату г как функцию времени, если АК=1 (АВ = 1/4).

Построить годограф скорости точки К. Ответ: траектория точки К вЂ” отрезок прямой у 0; а(1) == 1(4 — соа оз1), где координата г отсчитывается влево от точки, декартовы координаты которой х - 1, у = 0; годограф ч» — о(- резок прямой ( — 1(о, 1ы). ЗЛЗ. Стерн(ень АВ длины 1 падает, находясь ео все время движения в вертикальной плоскости. Концы А и В стержня нрн этом скользят но вертикальной сте- ие и горизонтальному полу соответ- у огненно. Найти траектории точек С и Р стержня (АС 1/2, АР ЗУ4), а также радиус кривизны траектории точки Р в момент соприкосновения стержня с полом. Ответ: траектория точки С вЂ” окружность хо+ уо (а/4, траекто- д рия точки Р— эллипс хр+ 9уй К задаче 3.13.

9 1 1э ' 1 ('~ "га 13 ЗЛ4. Велосипедист движется с постоянной скоростью ч„ по горизонтальному участку дороги. Радиус колес велосипеда В, отношение чисел аубцов ведущей и ведомой звездочек цепной передачи равно х, длина кривошипа АВ педали Ь. Колеса велосипеда катятся по дороге беа скольжения. Найти нормальное и касательное ускорения, а также радиус кривианы траектории точки А при (р "я/2 и (р и. В началь- 4 2.

Коогдинатныв снесены ЗАдАний движнния точки 33 ный момент времени И О) точка С оси заднего колеса находилась на оси Оу, а точка А кривошипа занимала верхнее положение. К аадаче ЗЛ4. л А ай й з Ответ. 'при йр =-3 а = з й „. ай зз йл р й + зпй)з(й Аг~~ Р= прн гр =и, а„= —,',,а,=0, р = ь й~л~ (Вй — А) ЗА5. В механиаме Рифлера линейка АЮ в точках иирно прикреплена к ползунам, которые движутся нейных взаимно перпендикулярных направляющих. торый линейка образует с осью Ох, изменяется по = ейй, где ю сопзг>0.

В и С шар- в прямоли- Угол йй, ко- закону и К аадаче ЗЛЗ. К задаче ЗЛЗ, Найти траекторию точки А и радиусы кривизны этой траектории прн Г 0 и ~ лП2ю), если АВ ° ВС й. Построить годографы векторов скорости и ускорения точки А. й з 1 ( л й Ответ: — + уй = йй, р(0) — 1, р~ — ) = 41; годографы 'й "й та и аа — зллипсы — + у =- й ей — + у = й ей . ай а "за 4, з 4 3" зл.

3 кннеметикА точки 3.16. По стержню ОА, который вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, скользит ползун М. Движение ползуна происходит под действием нити 3, которая при вращении стержня наматывается на неподвижный диск 1 радиуса Л. Нить прикреплена одним концом к ползуну, а другим (в точке В) к диску 1 и во все время движения натянута пру7киной 3. В начальный момент времена О = О) стержень ОА горизонтален, а колзун 31 совпадает с точкой С диска.

Найти уравнения движения ползуна относительно системьг координат Оху, скорость, нормальное н касательное ускореняя ползуна как функции угла ф; радиус кривизны траектории ползуна в начальный момеят времени, если ф = ю1 (ее = сопз1л О). Ответ: х = Л(1 + М) соз еИ, у = Л(1+ ееО зйп го( — спираль Архимеда, о(ф) = Лее 'у~1+ (1+ ф)е, а, (ф) = У1+(1+ф)з ' а (ф) = Лют[2+(1+ф)е) 1 р(0) =,, Л. 1+ (1 + ф)' 3.17. Кривошип ОА вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, Он приводит в движение подвижную н7естерню 1 радиуса г, которая обкатываетг ся но внутреннек поверхности неподвиж! ной шестерни 2 радиуса Л.

с Найти уравнения двнл ения точки В подвижной шестерни 1 в декартовых координатах, если угол поворота кривошипа ф в( (е» соне() О). В начальный момент времени (1 О) точка В совпадала с точкой С неподвижной шестерни 2, а кривошип ОА был располо ьеп на К задаче ЗЛ7. оси Ох. Ответ: х = (Л вЂ” г) соз ю(+ т соз р = (Л вЂ” т) з(п м — т з(п 3.18. В условиях предыдущей задачи найти радиус кривизны траектории точки В шестерни 1 и дуговую координату е этой точки как функцию'времени, если е(0) 0 и Л- 2г, Ответ: р-, е(1) = 2т(1 — соз оэг). ЗА9.

В условиях задачи ЗА7 найти траекторию точки В шестерни 1 н дуговую координату е этой точки как функцию времени, если Л-4г, Определить, в какие моменты времени (при одном полном обороте кривошипа ОА из его начального положения) скорость точки В будет равна нулю и найти проекции з а координатные спОсОБы задания движхния точки 37 ускорения точки В на полярные осп в зти моменты времена. За полюс полярной системы координат принять точку О, за полярную ось — ось Ох. Ответ: траектория точки  — астроида ха"+ уота=(4г)"а, а(!)=- = бг в!и'ое1, и = О, а„= — 42гааа, ар — О при ! = — я, где п = ?, 2, 3, 4. 3.20.

Кривая — улитка Паскаля — может быть вычерчена грифелем, закрепленным в точке Л стержня АВ, который проходит через вращающуюся вокруг оси О муфту 1 и движется в плоскости рисунка так, что ар=ос! (оа сова!>О), а неизменно связанная с ним точна С описывает окружность радиуса В с центром в точке О,. Найти уравнения движения точки А в декартовых и полярных координатах, а также проекции скорости и ускорения этой точки на полярные оси, если АС а сопв!.

За пол1ос полярной системы координат принять точку О, за полярную ось— ось Ох. Ответ: х=(2Всовое?+а) совое?, у=(2Всовса?+а) в!Пы?, г=2Всов<с!+ а, ср= ое1; и,=-2Всев!Псе?, Рр — ге!; а, — ы'(4В сов !э!+ а), и„= -4Вое' вш ое!. 1! аадаче 3.2!. !! задаче 220.

3.2!. Кривошип ОЛ вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Оп приводит в движение шестерню 1 радиуса В, которая обкатывается вокруг неподвижной шестерни 2 того оке радиуса. Найти траекторию точки В шестерни 1 в декартовых и полярных координатах, если угол поворота кривошипа а еа! (ы = сопв! > О).