Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 20

г ! 1и (1+хр) х 12р г ! — агх = — 2Π— — !п 2. )и (1 — х) л 1!' 1 — хг 2 ! с(х = 20 — —, ! и 2. 2 г ! ()их) х л ~~ -]-(!п2)г~ г ! (! — х) е )п — с(х 1 — —. 1 ! х е ' г хр-! 1 л' — 1и — ах = —. 1-х х егиг рл г опгкдклкннык ннткггклы 864.Б2, ( —" 1п — г(х = ~ —." Р" ,) 1+х х з!и'рл 864.63. —, г(х = —. 864.Б4. 1 г г г(х= — 1п а о 864.бб. ~ — Ых = —, 1' (1п х)' лг ',) хе+1 В ' 864.61. ~ ( +,х) 'г(х= — "1и 2-)-О. о 864.71.

~ (, + !(х = хг-Р (1 — р) ми рл о 864.72. ~ + ) е(х= —" хгго о а~ ле о )и (1+ха) л !(х = х ~ 1 е) п(Ч вЂ” 1) Р о 1п)хе — 1~ ( л хо л (О 1) (!) — 1) (о Р 866.01 1ик1пхг(х= — — 1п2- —. 4 2' [0» ч-1»р] [См. 48.32.] 217 216 опгепеленные интеггьлы опгвдвввнныв ннтвгелзы ВЦВ !и сов х п» вЂ” 4(Х з!и х з' (См. 48.32.),н 865.02. 866.27. Н/4 1п 16 х 4(х = — О. !и(1+совх)»тх 20 — —. и !п2, 2 1См. 48.32.] 865.31.

н /» и!п2 . !П(1 — соз х) 4(х = — 2() — —.' 2 !П(1+!Бх) (х= а+ —, и!п2 8 и/4 1См. 48.32.) 865.33. (См. 48.32.) и/$ !П(1+рв!п'х)4(х * 8 865.34. ') !п(!+рсов'х)4!х=тз!и [(1+р)~0~, 8 п/2 865.12, 1П !6 х $2х = О. 1П (а» в!п'х+ (»'сов'х) ах = и 1п— 2 8 (а Ь 0). и/» и/$ ~ 1П ! а'+ И!Б*х) а/х = ~ ! п (а'+ Ьс!ц'х) 4!х * и ! п (а+ Ь) 8 8 (а,д ~ О), и/» 8 д/$ 1Ь' ~ а'). !! и" !п2 865.42. ~ х !п 21пхах = —— 2 (п)О), и/4 и О ! п соз х 4(х = — — !и 2+ —, 4 2' 865.04. 1п (1 -1- !6 х) $(х = — 1п 2.

8 865.05. 1п (1 — !6 х) Йх = — 1п 2 — О. 8 и/2 и/2 86Б.11. 1пз!п хбх !п сов х/(х= — — !п 2. 2 866.21, (21п х) 1п 21п х 4(х 1п 2 — 1, П/2 865.22. (сов х) 1п сов х 8(х = 1п 2 — 1. и/2 8»8.$8. ~! Щ !1 ! 8 ( Р! !1 8 — 1. О и/2 н» 865.24. (!и х) 1п з!п х Бх = — —, 24' 86Б.25. (з!п' х) 1пз!их»(х= — (1 — 2 1п 2).

8 865.26. (соз 2пх) !п 21п х Их = —— 4п 865.41. ) !п в!пхах = — и!п 2. 8 1См. 48.32.! 1См, 48.32.] взз.ве1 [ЗВЕ.4З 218 219 ОПРЕЛЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ] !п(1~совх)а(х — л !п2, э 885.65, [е, а)0], 885.43. — гах= — 1ийеа !п (Гиа тх! л а+ха а е 865.44. 865.66. [е, а)0]. 865.45. 865.71.

[а) 1], [См. 431.11.] 865.51. 865.72. хр в!и (41п х)Г(х ра+ ц' о [р) О]. 865. 52. 865.73. [а) Ь ) О], [Ь а)0]. г хр 'сов(4!ик)ИХ=— ра (,а е 865.53. хр ап(д !и к! г(х= агс(8— е !их р+1 [р+1) О] ! п (1 — 2а сов х+ а') соз ех а(х =* — — а о [0<а<1 е=1, 2,...]. 865.74. [а, лг)0]. 865.61. я~~ ю~, оо'1 а+* а агх=-1п(1+ ре "') [О<р~1; е, а)0], й — !п (р~ "') 86$.75.

[а, Ь, е О]. — !и — „Нх= — (1пе+С) [е)0]. [См. 851.1.] 865.63. [р и1; е, а) О], = — 1П( 2 ) 865.64. !п (1 — е-") с(х = — — ", . 6 э [е, а) 0]. 865,82. '](п (а ~ Ь соз х) Г(х = л )п ( 2 е ) гГХ= Л ЕГСВ!П а 1п (1+ асозх) соз х г (соз ех)!пхаах = — — ° Я (т) т о Таблицы см. [22]. аг Т 1П(1+" — )созеха(х= — (1 — е 'и) х* лг э 1п ~ — ~ соз тх Г(х = — (е — е 1~') Гаг+хаТ -Ьт -лн ~Ь +х*) лг о [а) Ь> О].

[О<а<1].. Ф '-1( ) !и (сов'лгх) и /сп таТ с(х = — !п (А — ~ а'-1-Ха а (Г Енл ! о ]!п(1~-2а соз х+ аа)с(х= 2л!па =0 ] !П(а'~-2аЬсовх+Ьа) дх=2л!Па е =2л!пЬ ] 1П(аа~2аЬсовх+Ьа) Фх = 4л1па * 4л)пЬ 865.81. г] !и (1 + е *) ах — н о [аа а:;1). [ОР-Ь) 0], [Ь ~н а ) О]. .220 опгедалвнныв ннтвгуллы 221 опеаделвнныв интвггллы 865.912 865.901 [а) О]. [См. 852.1.) 865.913 [а) О]. 865.902. [а ) О].

866.01. [а) О]. 885.904. 866.02. [а, р) 0]. 865.905. [а, р)О]. 865.906 8ВВ.О3. 880, о ] ( — + — ) «х=С. о 865,911 ] 1и ( ) «х — ] !и 1!г — «х е '" 1п — «х * — (1 п а -1- С) к а о Относительно постоянной С см. 851.1. С=О,5772157. хе 1п — «х =а(1п а — 1+ С) - о.о к а о х е 1п — «х = — ([п а —.2.+С) о ок 1 2/ 3 к а'1 о ! ч Е "ок!Л- к р и = «х = — (!па+2 !п2+С) ~ — „(,— к — е '") «х=!п а +С о — ( — — е" ) «х*=!п — + С 1 / 1 -ак~ а к ~!+Р' ) Р 865;907. ~ ( —.— —,„.) «х=С. о о 865.908. ~1п (!п — ) «х= — С, о '] (1п — ) е '"з!плгх«х= (ео «о —, ! — ! и (а -[- нг ) — а агс(6 — + еС ~ (ао ! по) 12 а [лг, а~О]. [С . 851.1.] '] (1п — ) е-'"созегх«х= — ( — 1п(а'+ лг')+ лг агс(8 — -1- аС) ао+еР 1 2 а [гн, а~О].

[См. 851.1.] ю ( ) к ° (1п — ~! е- з!и «гк «х = ( — 1п (а'+ лс') + С ~ агс(6— о [и, а~ О]. [См. 851.Ц Значительная доля интегралов в 850 — 865 может быть найдена в [6], См. также [3] — [7]. ~ сов (ха!пф) «ф = ~ сов (х соз 9) «ф =м,/о (х), ] соз (лф — х з!п ф) «ор = м,/„(х), где и†нуль илн целое положительное число. (Иннгегралм Бесселя.) ееооок«х=п/,(р), как в 809.1. Таблицы к 866 см. [20] н [21].

Правило Симпсона. Если известны значения у=/(х) для равноотстоящих значеннй х с шагом й, то численное значение интеграла приближенно выражается формулой: ь ~/(х) «хж — [у,+4у,-(-2у,+4у,+2у,+... +4у,„, -[- у,„[, о где /г = х,— х,— постоянная разность между соседними значениями х, т. е. 2пл = Ь вЂ” а. Коаффнцненты равны поочередно 4 нлн 2, как указано. Приблнженне обычно тем точнее, чем больше и. Такнм методом можно получить численный результат, когда аналитическое выражение для ннтеграла не может быть найдено. Используя таблицу / (х) н арифмометр, можно провести это вычисление без промежуточных записей.

222 опРалазанныв нитвГРАлы хш. где 4ПЬ=Ь вЂ” а. 881. Погрешность приведенной выше приближенной формулы равна пй'~~( (л) (Ь вЂ” а) Л41~~ (л) Ю 180 где для оценки величины Ь'У'ч (х) может быть взята наибольшая четвертая разность в интервале (а, Ь).

882. Другая формула, которая во многих случаях более точна, чем формула 880. По ней тоже можно производить вычисление на арифмометре без промежуточных за1тисей: ь ~ .т (х) 4(х 4 6 (1~4ув+ 6 4УА+ 2 4уз+ 6 4уз+ 2 8ув+ + 6„4уз+ 2 4ув+ 6 4уз + 2 8ув+" ° ... + 6,4Увв-з+ 2 4УА» з+ 6~4Уви-т+ 1,4У4в1~ ДИФФЕРЕННИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИИ 890.1. Разделение переменных.

Если уравнение может быть пРедставлено в виде ~д(х)4(х=14(У)а1У, то н леваЯ и ПРавая его части могут быть проинтегрнрованы. 890.2. Р а з д е л е н и е п е р е и е и н ы х п р и п о м о щ и п о д с т ановки. Однородные уравнения. Если уравнение 'имеет вид Г' (х, у) ~Кх + 1'з (х, у) 4(У = О, где функпни однородны по х и у н притом одинаковой степени, то надо положить у= ах. Тогда ° ал 12(1, и) аи л 1, (1, и)+и14 (1, и) ' Если удобнее, то мозкно положить х=пу. 8903.

Разделение переменных при помогци подстановки в уравнениях вида .уз (ху),1' «х + уз (ху) х ау = О, где ут и уз — произвольные функции. Пусть п=ху. Тогда ал 14 (и) аи л и(14(и) — 1,(и)) ' 890.4. Уравнение вида (ах+Ьу+с)4(х+(ух+йу+Ь)ф, О может быть сделано однородным, если положить х=х'+ш и у=у'+п. Величины лз и п могут быть найдены нз системы двух совместных уравнений, которые получаются из требования однородности. Этот метод непригоден, если аз+ Ьу 14+ УУ вЂ” = сопзс, но в таком случае можно сделать подстановку ах+Ьу=и и исключить х или у.

224 [Зводй 896) днееазанцнлльныв хглвнання дяееагаицнлльныа хглвнання 890.3. 891.1. Уравнение в полных дифференцналах. Если для уравнения Мдх+)ч'с(у==О удовлетворено условие дМ дЛ~ др дл ' то зто — ураененне е полных дифференциалах, Оно интегрируется так: находят интеграл ) Мдх, считая у постоянным, н, добзвляя неизвестную функцию у(у), днфференцнруют результат по у. Полученное выражение приравнивают М; нз полученного уравнения определяют неизвестную функцию у(у). Таким образом, решение будет иметь зид: ) Маях+У(у)+ С=О.

Если удобнее, то можно поменять ролями М и И и соот- ветственно х н у. Линейные уравнения первого порядка. Йнффереициальное уравнение называется лпмеймнлг, если оно содержит только первую степень функция н ее производных, Линейное уравнение первого порядка имеет внд: дк — +Ру=се нли г(у+Руе(х ()дх, дл .где Р н (е не зависят от у, но могут содержать х. Решение такого уравнения: у=е е "~ ~ е ()дх+С~. Уравнение Бернулли. Если уравнение имеет вид 0е Д+ Ру= Ю". где Р н (е не содержат у, то его можно сделать линейным прн помощи подстановки и=у' ".

Прежде чем делать зту подстановку, надо разделить уравнение на у". 892. Нелинейные уравнения первого порядка. Полагаем ак — =р да Если удается разрешить заданное уравнение относительно н проннтегрнровать каждое нз полученных уравнений в отдельности, то тем самым будет получено решение исходного уравнения. 893.1. Уравнения второго порядка, явно не содержащие у.

Полагаем дд Р. да Уравнение превратится в уравнение первого порядка, содержащее р н х. Его можно решить каким-лнбо нз рассмотренных выше методов. 8932. Уравнения второго порядка, явно не содерж а щ н е х. Пола гаем еп де Р. Тогда Фу др ду др =Р лаз Дяде= ЕЕ' Получается урзвненне первого порядка, содержащее р н у, я его можно решить каким-либо из рассмотренных выше методов.

394. Чтобы решить уравнение аае 45 -(-А — +Ву О, ату ад где А н В постоянные, надо найтв корни вспомогательного уравнения р' + Ар+ В О, Если его корни а н И действительны н не равны между собой, то решение заданного уравнения будет у=Иее" + Иеь", где И н И вЂ произвольн постоянные; Еслн его корни †комплексн величины: гн + !и н лг — ул, то у = е (И соа ах+ И 5(п лх).

Если оно имеет два равных корня а, а, то у = е' (Их + И). Лннейное однородное днфференцнальное у р а н н е н н е а-г о п о р я д к а с п о с т о я н н ы м я к о зф. фнциентамн пер дп-~ дв-ар — „„-(- А — „, + В „— „, +... + Ку = О. Решением его будет сумма членов вида Ие'", где каждое а есть один нз различных действительных корней вспомогательного уравнения р~~+ Арь 1 ( В„У~-* ( + 8~ О Есля а †двукратн корень вспомогательного уравнения, то соответствующий член будет е' (Их+И).