Левитская О.Н., Левитский Н.И. - Курс теории механизмов и машин, страница 10

Как и для плоских кннемэтических цепей, задача об определении положений звеньев пространственной незамкнутой кинематической цепи по методу преобразования координат всегда может быть сведена к решению системы линейных уравнений. Рассмотрим, например, кинематическую цепь манипучятора с двумя вращательными, одной поступательной и одной сферической парами (рнс. 21). Оси вращательных пар пересекаются под углом 90 в точне Оь направляющая поступательной пары составляет с осью смежной вращательной пары угол 90' н также проходит через точку Оь Требуется определить положение центра сферической пары Е относительно стойки по заданным значениям обобщенных координат ю1с и чсзс и расстояние з,ь измеряемое вдоль направляющей поступательной пары от точки О~ до точки Оз '. Введем в рассмотрение точки Ет, Ес и Ес, которые в даииый момент совпадают с точхой Е, но принадлежат соответственно звеньям 2, 1 и 0 (стойка).

На основании уравнений преобразования координат (5.1) при расположении координатных осей по рис. 21 получаем хл.=хн,, 'Ун,= -лл„— ззт) хл,=рн.,' (5.3) хл,=хе, сов рн — Ун, з1п ря( Ул,= -лл,( хл,=хн, з!и тм+ + Ун„соз Рзт; (5.4) хл =хн сон это Ун, з!и рзю' Ул =хл, з(пузо+ +Ул, соа тм! лв.=лн,.

(5.5) Решение системы девяти линейных уравнений с девятью иеиэ. вестными дает возможность найти по точкам искомую траекторию точки Е, т. е. положения точки Ез. Для решения системы линейных уравнений имеются стандартные программы вычислений иа ЭВМ. С целью установления определенных правил вычислений и сокращения записи применяют матричную форму записи уравнений пре. образования координат. Сведения нз теории матриц. Матрица порядка (шХэ) представляет собой систему чисел (элементов) в виде прямоугольной таблицы из т строк н п столбцов: ап а,з ° ° а,„ ам аю ам амт амя .а ° ' Н дзойвмх индексах сначала идет индекс звена, к которому относится давняя зззвчннв, з затем индекс ззснз, но отношению к которому ова определяется.

Индекс стойнв З может онусннтзся. 10 0 0 ОΠ— 1 О! 0 0 00 0 1 Аналогично, коэффициенты правых частей уравнений (5.4) и (5.5) с добавлением тождества ! — 1 дают матрицы — з(пвз, 0 0 0 — 1 0 сазу„О 0 0 О! сов жм юпвы 0 0 з1п Ьм соз ум 0 0 0 0 10 0 0 0 1 )м= Левые части уравнений (5.3), (5.4) и (5.5) с добавлением тождества 1= — 1 дают столбпоаые матрицы четвертого порядка; Если т=п, то матрица вазывается к в адр ат ной порядка щ. Если п=1, то матрица называется столбцовой порядка пг. Матрицу не следует смешивать с определителем.

Определитель порядка т есть многочлен, полученный из элементов квадратной матрицы порядка щ по определенному правилу (например, по правилу Сар юса). уммой двух матриц А н В одинакового порядка Опхп) называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц. Перемножать можно только матрицы, у которых число столбцов а первой матрице совпадает с числом строк во второй. Каждый элемент матрицы— произведения С=ВА — определяется по правилу умножения строки иа столбец, которое для квадратных матриц приводит к формуле сы=Ьмвы+Ь„ам+...

+Ьа„а,„ь Ь,(=1,..., вз, (5.61 т. е. чтобы найти элемент строки Ь и столбца 1 матрицы С, надо найти сумму произведений элементов строки Ь матрицы В на элементы столбца (матрицы А. Произведение матриц не подчиняется переместительиому закону, т, е. ВАчьАВ, но сочетательный закон сохраняется: СВА=С(ВА). Квадратные матрицы можно умножать на столбцовые матрицы того же порядка. В результате получаются столбцовые иатрицы. Запись уравнений преобразования координат точек звеньев в матричяой форме. Коэффициенты правых частей уравнений преобразования координат (5.!), соответствующие повороту осей н переносу начала координат дают матрицу порядка (Зэс4). Чтобы иметь дело только с квадратными матрицами, которые можно умножать, добавим к каждым трем уравнениям преобразования координат четвертое уравнение в виде тождества 1м— а 1. Тогда коэффициенты правых частей уравнений (5.3) с добавлением тождества 1 — 1 образуют квадратную матрицу четвертого порядка хл, уе, 1 .Сл Ул 1 ХЕ уе Хл 1 Аналогично, ХЕ' Теперь уравнения (5.3), (5.4) н (5.5) можно записать в виде, соответствующем умножению квадратной матрицы четвертого порядка на столбдовую матрицу того же порядка: йв,=ТБзйл„йк,= =Т21йхй йк.=Тийн,.

Отсюда йл.=ТиТОТмйз„т. Е. ДЛя ТОГО чтОбы получить столбцовую матрицу, составленную из искомых координат тачки Е, относительно стойки, надо последовательно перемножить матрицы кинематическнх пар и столбцовую матрицу, составленную из заданных координат точки Ез на звене 3. Применяя правила умножения строки на столбец, получаем: ΠΠ— 1 5|п Уи О О О 522 51П ти О 510 йм О Т Т вЂ” СОБ йм — 522сазу21 О 1 51П (221 Соз а12 5м 5|П т21 СОБ У12 51П т21 51П т12 522 5|П тм 5|п У!5 — С05 Уп — 522 СОБ зм О 1 С05 У„СОБ Уи 5!П 712 Соз (221 51П т!о — соз а12 5|П 921 О О О Т, (Тмтм)= умножая теперь квадратную матрицу ТПТПТ22 на столбцовую матрицу йв, и возвращаясь к обычной координатной форме, имеем: хе =хе, с05 Уя с05т12-гул 5|пт12, (ае +522) Б!и <?псазт15! ул,=-хл, соз р215!п уга ул со51712+(хл,+522) 5|и 42215!п ти| хл,= — хл, 5|и т21 — (зл, + ам) соз уи.

Разумеется, зти формулы можно получить также из указанной выше системы деъяти линейных уравнений, применяя обычные алгебраические преобразования. )Тостоинство матричной записи состоит главным образом в применении формулы умножевия матриц, позволяющей единообразно выполнять последовательные преобразова. ния координат. Иногда методы кннематического анализа механизмов с применением матриц называют матричными методами, что нельзя считать 47 удачным, так как матрицы дают лишь простую форму записи необходимых вычислений, но ие определяют содержание метода. В рассмотренной задаче об определении положений звеньев механизма содержание негода состоит в преобразовании координат, которое может быть выполнено без применения матриц.

Матрицы кинематических пар. Матрица коэффициентов правых частей уравнений преобразования координат зависит только от вида кннематнческой пары и потому может быть названа матрицей кинематической пары. Рнс. зз Для звеньев 1 н 1' врашательной пары ось Оз, направим по осн втой пары, кратчайшее расстояние 1; между осямн О,з~ и О,з; совместим с осью О,хь а начало координат От поместим иа расстояния (и от осн О,х, (рнс. 22), тогда угол иутацнн йя=сопш, угол прецес.

сии фи=0 и матрица коэффициентов уравнений (5.1) с учетом соотношений (5.2) дает матрицу врашательной пары: ( соври — ей при 0 Т,= соз В, з(п Р, соз Вд соз рж — з1п 6д -(д з(п В, . (5.7) З(ПВдэ(иуж З(ПВдепэрд СОЗВж (дСОЗВл Матрица поступательной пары получается из матрицы (5.7), если считать параметр (и=з„переменной величиной, а угол вя=й. Угол Вя в этом случае есть угол между осью О;г, и осью поступательной пары, а величина й равна кратчайшему расстоянию между этими осями.

Прн тех же условиях, если вместо поступательной пары будет винтовая, то расстояние 1э=зн надо считать переменной величиной, связанной с углом поворота Ти соотношением зи= В йлф,,(2п, где й„— шаг винтовой линии. Для цилиндрической пары в матрице (5.7) надо считать независимыми две переменные величины; (л=зл н рн. Для двухлодвнжной 48 сферической пары элементы четвертого столбца матрицы (5.7) надо принять равными координатам начала системы ! в системе 1.

Ось пальца должна совпадать с осью Отхт, а ось прорези (ось, перпендинулярная плоскости прорези) — направлена по оси О,хт (или параллельно оси Отхо если вачала координат О, и О, нс совпадают). Матрица трехподвижной сферической пары совпадает с матрнцей коэффициентов уравнений (5.!), выраженных через углы Эйлера по соотношениям (5.2) . Все указанные матрицы имеют порядок (ЗХ4).

Если жечательно иметь только квадратные матрицы, которые можно умножать, то к уравнениям преобразовании координат добавляется тождество ! — = 1 н соответственно во всех матрицах появляется четвертая строка, содеритащая нули в первых трех столбцах н единицу в четвертом столбце. Определение положений звеньев пространственных механизмов с замкнутыми кинематическими цепями. Применение матриц кннематическнх пар при анализе механизмов по мегоду преобразования координат поясним на примере карданной передачи, оси валов которой пересекаются в точке О под углом а (рис.

23) '. Промежуточное звено 2 образует с валами ! н 8 вращательные пары, оси кото. рых также пересекаются в точке О и образуют с осами валов ! и 8 углы, равные и!2. Для определения положений звеньев разомкнем нращательную пару, образованную звеньями 2 и 3, и получим две незамкнутые книематическне цепи; первая цепь состоит нз звеньев О н о', вторая— из звеньев О,! н 2 Для первой цепи координаты точки С в системе звена Л имеют значения: хс,=г; ус,=-хс,=б.