Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 6

Распространив шу щюцедуру иа случай трех взмерезий, по. Пе-« (ги н) гк, а о к, о о к, о о1(г„„ е]По к, о о к, о о-к, о~(гю.,! ш] )о ок,о ок,о ок,~(гм (г, сгм- ~ 3.3. Местная система координат Полученне системы уравнений длв узловых значений неизвестных величии включает интегрирование по плошдпи элемента функ. ций формы илн их частных производных.

Ив«тгрироваипе может быт у««роще«го, сели записать аитерполяшюнпые соотвошения в системе координат, связанной с элеыентом. Эту сисшму коордица ь т нзэываэгг местной (или локальной) системой коорлвнэт. Ивтерпгшяционвые соотэошшшя могут быть ааинсвны в месть ной системе координат пуши преобразования уравнений.

полушзаьи в глобальной системе жюудиивт. Рассмотрим треугольэый элемент, а котором скэлярхая величина пргдставлиетси в аиде ф Кдр«+к,го«+к,р„ фуншгюг фг«Р«««;г опревеляапсц формул«3 (3)о) месмую с стсму коорпнвэт в цент(ю элемента как попав ио иа фш.

З.б. Запишем форнулы преобраэошишя когт«д«шатг х=х+е б«у шшя формы Кг е глобалввой системе коо дин 'к«ял (и«+ь«*+цы. 1 Под стевин сюэл зместо к и р их выражения через з е т. получим к«т( Ьг«+ь«(х+э)+с (р+т)) лг«эл ((а«+ Ь«Х+с«У)+Ьд+с«т). улью З Хг.)-з — Хг в г и=(1 — ~~ )Фс+() )Фя (ЗЛ4) (ЗЛ1) В результате яресбрэзовзняя Ьг н сг остаются нежирными н по-црежвему умножаются ва везаыюнмые перемснныс. Константа ас изменяется. Вснп»юная определения аг.

Ьс н сь данные э формуле (3.10). в увпывая выраженпя (3.28), можем обнаружить, что (а,+Ь»2+с»У) равно 2А/3. Такам образом, функция формы в аястеме жюрднват, снязаинсй с злеиенм»м, првпимжт внд й(т=-Цззл+(уг — и,)з+(х» х,)ф (3.2(3 Ршалогныю получвем выражения вля других фузпагнй форюсг Ыг= 22„[ — З+(У»-У„)з+(Хь — Хг)1~ (ЗЛЗ) » 1 ~2.4 А () 1,)з+(Х Х)ф Интеграл от функции, заданной в глобальной свстеме координат. может быль вы желев з местной системе координат с вомощью соотношения йз) )(х й)4 Ь=~)(х(ц)), Р(з,))!!У( й. (ЗЛ0) л где В в й» вЂ” сосшстстненно старая н тюзая области внтегрнровэнвя, (1) — абсолапвсе звачеиве оггрсдепнтеля преобразования шютемы координат, которое равно отношевзю площадей в Лвух системах координат А„т(дв Так как обе системы прямоугольиыс н масштабы намерения в внх совпадают, то (1( 6.

Кроме юго, )(=1(», поскольку 4юрма злсыента сохравяпгся прн этом неизменной. Таким образом. соотзсшсвне (3.30) своднтся к следующему: Функшгя 1(л, и) в левой часю равенства (ЗЛ1) представляет со. бой фумкцаю формы звежнта, выраженную з июбалнной сношке координат, тогда как Дк(з, 1), Р(з, 1)) соответствует фувгвгнв формы элемента, представленной в локальной ансшж кгюрдннат. 3.5.1. Одно»»ернии элемент При расглялрснгш олпомсриого элемента вет большой иеобходвмости в использовании ыссиюй системы ксордшют, так как интсрпозясзюпнос Ррэвнение легко шпегрирустея в этом случае. Дп некого)юй степени зштегрнровэаие можно упростить. поместив иа- чало местной сгюшмы коорззнват в 1-м узле элемента '(фнг 3.7); Тйнитэаляв выражение «=Х,+з В г. Зу.

М»слав с пемз кс»рднзаг заа оин»атавм зз»кента в уражюше (88), опрелелиюгже фЬчиа~ни фермы. получаем Х- — Х,— » х —, В-~ ь х — с (3.32) Соатвоюевие, определяющее элемент, запгиывается теперь в вале З.Ы. ). р„ г Дла треукжьного элемента наибоже рзспрситраненжй янлястся естественная система координат, опрсделжмая тремя отно, снтельнымн нссрднватвмн йь Ь» н ь», изсбражешгыж ва фнг. 3.8,а. Каждая коорвинатв предствзляет собой отасшенж рвссквашя от выбрзнзюй танин Преупшьника ло одной нз его сторон з к в»коте Ь, опущенной ва зту сторону из прогнволежашвй вершины (фнг. Здй б).

Ясно, что велююва Ег взменжтсн в пРеДе- лах от пуля до единицы (0~(».~1). В тех жс щжделах пзменя- 1 ютсЯ 1-г н Еь Нэ фнг. З.з,е показаны пиная, вдоль ксчоРых (» постоянна по нелвчнне. Каждая нз зтнх линий параллипжв сийгом, от которой измеряежя 1, Координаты Еь Е, и 1.» называются 1:ноорпинатаын. Их зна'чения дают оснсснжльные величины площадей трсуюлыжжв, иа но»орые разбег злсжнт. Ь-жюрдгшаты тачки В (фнг.

3.8, б) предсгвзляют собой площвдя треугольников, взсбраженных зш фнг. 3.9. ~о»цепь А, тре)зольника (г. й й) дастся формулой М 2 (3.33) .Гимэ Л г г (3.43) с б -Е,Х, +Е,кг+Е,Х„ Р=Е У,+УчУ +Е Уь 1=Ег+Е +Ее (3.4!) У<лошадь Аг.ваищивоввнного т<юуишышкз (В 1. 3) Раюю Аг=-й-. (3.33) Составам отаошевие Шик площадей лг — -У -' ° лг 4иг, ЭД:. тве иаиьтзк с геенне с аравгзызеен пямц трети ъннкв. Итак, координата Ег прелсгьвлеет собой отношение влощадн эаиггршюшишого треугольника иа фиг.

3.9 к плошади жю:о зде- мента: Яг лг ' (3'„3У) Аналогичные формулы могут быть ззпнгииы.длн Ег и Ез. лз ' ! л,' лг РЛ3) Тан как Аз+Аз+Хз Аь Егт/ +Е =1. (3.39) Уравнение (3.39) юиыызает между ссСюй три координаты. Уравиеиия этого типа следовало ожидать, потому что тра жюрдинэты в двуьюрном случае ие могут быть иеззвпонмымн. Ебссиюоложегюс ц<юиэвольгюй точка может бьнь полностью описано с помощью толыю двух жюрдпваг. Изучснне сзойсю Еь Е» и !.э с учеюм оитношеиия (3,39) обиарунювает гмкотсфые интересные сведения.

Координатные лереиепяые Еь Е» и 1., представляют собой фрикции форды длз трергольиого спиигеггоэлеиентаг 3<г Ез. 3<1=(э, <Уз Е К к и фш.з.й, < ! н узле с исиерсм 1, [ 0 в узлах 1 и й. Подобные оютношення,выполняются также для !и и Ег. Кроме того, формула (3.39) иоэвсляет угнерждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице н, такам обратом, выполняется крищюй ююдньюсгв, обсулщзсмый даме е этой главе.

Нажаец, если записать слсдушщие ззвясиьюстн: и РазРешить их оыюыпсльно Еь 1.э ы Еь то л РезУльтате полУ- чим соозношенпя. идентгвгные (3.10). Первые два уравнения и (3.41) представляют координаты х и и как функции узловых зиа'гений. Эти уравнения справедливы, посколыгу х и р ирецстзвлявп собой кошюненты расстояния. з мы рве вздели, что векторшге компоненты могут быть выражены как функции оютаезствующих уэловык значений„ у юа Пуспмуществам вснользозанля Х.-жюрдв»жт каляева сущсствозанве интегральных бюрмул, ипарые упрощают вычисление ннтегралов вдоль сторон элемента н по его площади (1)» й(ум»(2 ПМ а у+Ь+12 ° (3А2> М (4(Щ1А 2А. (3.43р исвюльм»ванне соотношения (3.43) может быть црснллюстрцровано црв вычисления вэтсгуалэ вида Лннаыв нг»п»ынжнз»и з»лззази »рункпвн 4»»рмы лля линейного тстрзэнрв представляют собой г объемные й-коордннатыг Ф» 1.

й(1 =1 Д»ь —— йа У(г~ . фйб) гпе )у» н Л'» — функцнн х н р. Этат вктегуал по площвдв элемента щмобрвауется очелующнм обраюм: )4,((,ЬА+Р;ГДА-.ф —,—,— „дйА ц =-т-. л — = (+1+а+ай ц ццш эл л л )( а ы 1. н й саотлетствуки' ф)нациям форыы й(ь )уг квн паказаво па 4»вг. 3.3, а. Пасжшьку )Уз пс вошло в гюдывтсгральное выраженве, показатель сыпани с у мваювтгля б» приравнен нулю. Соотношение (3.42) нсп~льэунъж для вычисления нзтыувлон вдоль стауоны элемонта. Величина 2 представляет собой расстояние между двумя уалзмп рассмзтрг»ащ»юй сгсржы Улпбсзва применения бюуыул (3.42) в (3.44) станут очеэвдмы, когда мы перейдем к уассьютршппо»кжкрстаык задач. 353.

Объем»н»е Е~~ Естссцнннан система координат для тстраадральною э»нмеита вводится почта полвостыо ыюлоиг»во таму, как это было сделано в случае плоских 1:координат. Четыре отвосхтгльэых расстояз»ия ь», йн ь» и ь» ацределюатся как опюшсвня расстоянвй ач' выбранной боя»валь»ой точки элемента до анной вэ ста граней к высот», опущенной ва зту грань пэ противолежащей вершины. Таяне б-коардвнэты вазываютсв объемными (фяг. 3.10).

Ова связаны между собой оюию»пенкам Ус+1 +Ус+ус='1 (3.44) Фвг, а.10. ОС»»вз»з Шкгарлвнп» 4 ю» зз»»н тз з взз ытрюшн иющцюат упрогцает 1»ы„г»ю емных пят»»фалов, так как чв»»~-~-,»»тн~. (3Аб) 3.6. Свойства ммтп)зцопяцмоммого попмномв Палввамиальные уравнения (3.3). (З.У) и (3.13) былн вспальаававы для аппроксимащги скалярных в векторных наличия ннугРи эле»юнга тютому, чта анв облшццот некои»рь.мн весьма жслэтелькымв свойствамл, Они дают цраапльныс результз"и», когда узловые значения ужсматрнвэемых вслнчвн равны между собой, в.

нрга»с тога, обеспсчнвэют непрерывность в ыежэлемсвтныл зонах 3А1. Оходимасть Решение, аалучанюж иетодом конечных элементов, будет сло»Шться к та яюму уешенню с умезы»нз»нам размеров элемента прн уклон»ж, что, как только узловые значения оказываются разгазын между собой, пнтерполяцванные уравнения лрююдят к по- 4 стоянным еначннням рессматршюемих величин внутри элемента. Прн этом подразумевается, что градиенты бес«юнечно мали. Иитерполяшюнмые уравнения для элемента должны ыоделнровать поспешные значения, сели только тае«ю значения во»речи«отса. Зтн критерии накладывают ограничения ва функции формы, Предположим, по узловые значения злеьюнтз, жпорый имеет г узлов, равны Ф,=Ф«=Ф«=- Ф,=С, где С вЂ” постаяннаж скалярная величина.

В общем виде ниранижие для р занжывается е инде Ч=(У»Ф«+7»)Ф«+(У«Ф«+ ..-+74 Фи пцц»да ф-(17«+ А»«+Ага+ "+)У,) Ф« Однако. посюльку ф С Фь Х)уэ= (3.47) з» Итак, сумма значений ф)шю»нй формы должна Равняться едввнце в каждой внутренней точке элемента. Есин.згот нрнтарнй ие выполняется, то лол«июмнвль»шя епароксимация»р не будет давать постоянных аначений лаже тогда, нагда ао условию они должны быть. Запишем функции формы для одномериога элемента: Х- —.« — Х )у» = — '— с г Снлалыная их, получаем Х +)у х( —,«+ л — х» лг — х» ь г т с б с г.

Если Фз равна константе С, то Ц(--~Е - э1с=а (3.48) . Этн фувкшш бюрмы в сумме давгг едн«жцу. Анализируя двумерные в трехмерлью симцлекс-элемевти, вояжа показать, что функции формы для этих элементов тоже удовлешоряют условию (3.47). наличие вас»аниных значений»г (или перемещений и т. д.) внутри элемента подразумевает отсутствие»радневта»р ио любо. му ввпрввлевню. Раосмотрны градиент е изпраелеивн оси х; Так иш( канете«па С ме обязательяо.раева пулю. Ревенство (3.48) удовлемюряется, если только ч~~~ — '-О.