Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 5

х=4,0 см. ь=Хг — Х,=4.5 см. Полстзвляя асходяые данные в (юрмулу лля темперзтуры, получаем э(гш) + х,вече 3333+30 е,в Для трцджвта температуры амеем е 1 1 1 эо — !!о — эе ж тт + ГУ! ь (Уз тг) Э В Э -6,61 с 3.2. Двумерный симплекс-элемент Двум ый сямплекс-элемент показан !ш фнг. 3.3. Вто треугольмнк с пряаолннейныьш сгоровамн и тремя узлвмн, !Вше у юпкдой эерппнш. Необходима логхческвя аумерэцня уююв еле- *1 ( Еег. Вд. Дмчетгеа ез елгке.эзевевт. . В втой кинге попользуется поглсдоветелынэн нумерация менте.

в узлов против чвсовой стрелка. на пшвя от пехот ро о го гто .зла, который выбирается пронзволыю, Узловые значения сквлярно Ясгшчгшы гг обознвчвютсЯ чеРез !Рг, Фэ н Фм в ин1Рдмнетные пвРы трех узлов — через (Хь У!). (Хг, У!), (Хг Уь). Ивтеуышш(нгег!ый поливом пасет япд (э=а -)-а т-(-а В узлах выполнякпсн сле Е Фг прн «=Х % Фг прн х=Х, р — у а Р=Ф пр «=Хм р=у, ~~э зтвх условпй е фо)нгул (йу) ме уравневнй Ф,=а +а,Х,+ у ~=аз+~~ г+..у„ ~з=ое +аэХз+а ! м Решая которую получаем 1 '%4 ((ХЗУ вЂ” ХеУг) Ф +(Х У, — Х,Уз) Ф!+ +(Х,У,— Х,У,)Ф,), 1 1+ (Уь — !'1) Фг+(уг — 1'!) Фз), 1 э=э! ЦХз — Хг)Фг+(Ху — Х)Ф!+(11 Х)гр) (йцмдсгэггеш спстегы связан с щкш яонкенем в формулу (3.1) зоввть а ЗОМ, ЫР ЦЕГХ Д Н Е К ДУ.

ООД ~ У (30) Вш прею ~~~ енгерншт трн функцвн ф«,м. елдой для нежно,о узл,. Е=)У,Фг+И,Фг+ цФ„ (3.10) (,=Х,У,-Х,Ум эл ргг+бгт+сгр( п ~ б,=у, 1) да (И 1 ))заловив Р внутри элемента овредела Р=№рс+ Я Р -( )4 Р тде ! ф ' Ьй Ь "+ У). №-Фд (,+Ь,х+,р) и' =Ьр, +ь)41+ьд„, е:'е (3.)2) Тэк как Ьо Ьт, Ьз постоянны (они (мксированны кви только зада. 1. вы узловыое юордхвнты) и чь в1 в вь ие зависят от ксюрлинат простравс остравства, частная пронзводвая в (3.)2) нмеет постоянное ввачение. Постеннстзо гредиелтл екртри клждсео элемента озя- е«ает, что иеобходимо ислолеэоеезь очень мелке но ееличнке элеммиы, чтобы оляриипмпроеать быстро меляюп(рюсл фрялцвю ф ( ет )(зр ь )'з)11 )у =+(ат+Ьзх+с)р) я т,~ Ьз —— )"з — ~'и , ., ~Е-Х.У1 — ХР.„ „=Хт — Хв Вычислим аначензе № и 1-м узле1 №= — (,+Ь,к+~,р)- 1 = 1..

()(1рз-ДеУ1+~~, — У„т(с+)(зУ1-)(,У,) Вырэжеяие в скобках представляет собой величину определителя в формуле (3 й). поэтому в узле с иомерой 1 Из =-),;;,(2А) =1. 1 Прелдвгаем читателю бохазвть,' что.№ равно арлю во втором м етьем узлах, тах же.как и во всех точках прямой.

ироэаммтр иой через этх узлы. СКалярввн величина Е определяется внутри злемеята фувквияин Формы, лзвейаымн по х п р Это означает, что пзедиопты втой велнчпны з напрвилевнях х н р будут постоянны. 1радиант в Ваправленви х опрсделнется ссотношеннем у)римир 8. Требуется получись Оютхоп1мйие оп(1еделяххцзз е. е ен вычислить зиаченне лавлекня в точне В с коорднизт мв (2 1 б) еств эю~®~ы узловые значения Р,=40.Н)смз, Рел-24 Н)смт „' р, ' =4б Н)смэ. Ф =йй-ЬЪ+ЬФ+с„р). 1 ' у фсф улу (З(0) Ь, лейта-хаР1=4(~ И1) х вт=)(,Г,— Х,у,=й((Ь 0(б) 0 аз Хсут Хтус=бн — 4(0)=0, 1 ! Ьт=)1 1«=-й — б= — 4,0, Ь)=у» —.1'1=0 — 0 — б ээ Ь„=У,— У, Π— З-= — 2; ! ! ЗЗ вЂ” зн Э вЂ” н сэ — эс н — а,э Поступая еналопнчно.

получим р=3.5 си. с,=Մ— Х,=2 — 4= — 2. с,=Х,—.Х,-Π— 2= — 2. Х, Хе=э — О 4. х см э э Лииия уровня зюкаэшы анже. Н млзче д. , х, у, ! о о 23= ! Х, У, = ! 4 -' =25 в )=)9. ! Х„!'» ! 2 5 Тймзю подстановки констант и фунгппш фоэмы аыражэп дла Р принимает зня ! Ъ ! р+9 — 45 -Ырс+(б -2р)рз+7( — э +4р)рз) тэ Значение давления и в точке В с координатами (2, !,5) Равно р=~- ((7) (40) + 7(34)+ 5(46)) =3937 Н/снз Следует отметить диа полезных оаойстэа треупшьного элемонта. Во-первых функция г иэыснясжя ладейно между двумя любымн у!лами. Тзн каи узлы определяют гранины элемыпв, гг вюияется линейно вдоль кашкой ив трех его сторон.

Отсюда следует второе полезное сэойстэо: акбая ливия, вдоль которой 4 прияти ает о шюковые эначекмя, есть праман, пересекаюшая дэе стороны элемента. Исключением будет случай, когда ла у м од мех злах значения е одинаковые. Принеденэью два сэойства позволяют легко определять линии уровня скалярной величины. Обраывкя опять к предыдущему примеру, чтобы кронллюсгрироэать этн сэойстэа, Пример 9 Т ебУетсл шт "'~ ла личине дазлаэня 42 Н)смз, длп т)юутольного элемента, использованного п задаче 8.

Искомая лиана 2)юаня иерессканг стороны сй и А). Поскольку даэлонае меняется линейно вдоль каждой из стороа треутольннна, можно составить простые отношения, позноляюшне получтпь координаты точек иа укаэанных сторонах, через которые проходит искомая ливня. для стороны )Э имеем — пли — — а=~67 см жюрдянаты жжкн тш стороне рйг н р= — см, э =э З.З. Т рекмернмн симплекс-элемент Ре нпйный симплекс-элемент средсганляет собой Трех ')еггФе ею узла обозначены индексами г, 5 й и ), п и г . и .'причем обход Ушесгэлается шейся ане пдоскостп .авдею (, ' й. узлов .

), . Злемпнг нзобрюкен гш бнм 34, Рполяююнный полн1юм длн тстраздра изюм и ! 9=аз+и. +азу+о,а (3)3) Узлах: Нсэбчрт!анонсы можно опрсдышть, используя четцре услшпш и Ф,=ест+ азХг+ пэУг+ с! 2 Фг=п, + а,Хг+а,!' + е,хг, 'Рэ=сы+и Та+и,Уз+и,х„ (3.)4) Фг=от+пзХг+ сбуг+ гмхь Впг.

Иа. тэ ваагна мм с-эшче г [Ф)г 1ФгФгФэФг), [, )т 1, уг,а и ) К га 1 1 1 1 Х1)гйг 1000 у обретнап митри а !СГг 1 О О Зта система уравнений мажет быть решила с повеваю правиле Крамера„уанаа проневурв, однаио, требует вычисления пяти апреле лнтелей. Пропп всего провести эщ вычнсненая еа маюнпе. Систему уравнений [3.14) запишем,в матра фор «пой ме )Ф)=!С) [а), ' (3.15) х, у;г, х у й Ла Гэ Яэ Х !"т г Сгро«а «оэффиииента [и) может быть получела обрашеявем ма рицы [С) в послеиуюшим уынонмвяем. (ЗЛО) ва [С)-ьг [а) С)а (Ф).. "!Ол! — а, ц=аг+о ь+о4ц+аэ«~Ъ- х'и 4 .,а, ттэээ вам го, испо«ануя форьгулу (ЗЛ3), оолучам- Е [1 л Р апб)-Э [Ог)г (3. 19) Опреаелитель мвтршгы [С) ранги, пшп Овемшаы я~гривной алшбРы, псобнслимые ири эгаюаьтоввнгяш лранила Крамера, юложонй, 'пап!мьер, в и иге 3 н Пример Ооршжиты першил тетрвэира поил эи опус«слить фуп«цжг фо)г же.

ма«рвать до риииит ужа щ амтд впу 6 0- 3' .Π— 1» 1. Яюц:::::з ю ю в После пщютавовка [С).ч ммеем б ΠΠ— 3 3 О 3 — 1 — 1 — 1 Π— 1 — 1 2 [йю[ — й-[! л р з[ э — эю — э-э 3 а Зю — з — ю йюю —— —, 6 Змвнпем иитсрполяцнонный поленом е-[1 л р зцс) «Ф). Так как е=[й[[Ф).

функцив формы Представляются щюиззеденвем вида [И[=[1 х й э[[С[ Такам образом, фрнкцвн фермы рассизцжваеиоюп юммента имеет вид йюю = —, н э' ЗА, Интерполирование векторных величин Интерполяющоювюые соопаннеиия в предыдущих разделах используются при рэссмохренююл скалярной величины. Векторная величина, например перемещение, имеет как величину, тэ» н иавранленис, поэтому е каждом узле меобхолимо определять более одной нсююзнюстиой (осенены свободы). Обычно в этом случае поступают следуюпщм образом: векторная величина представляется ее ююмлонснтаыи, «старые рассматриэаются кэк вснзщстные скалярные величины.

Каждый узел будят сслержать оллу, дне или трн ненавестны. н зааионмостл от того, какая задача ржтмэюриюмется — одномерная. двумюйюиая али трехмерная. | Р юивию инте ю ююлюююли эз И польэуемое в этой мните обозначение компонент вектора проююлюмтрнрююыю иа 4вг. З.б. Все компоненты обозначанются буоюй [Ю. Отдельные комооненты РазличаютсЯ юэоквнм индексом, Числовые значения няжнвх индексюе упорядочнэаются в со. пюеюствни с иапразлеинем компонент вектора по осям х, р, ц Внг. Зд Оеюююючююн» узюююих вехюыююю юююючюц юююоюьюуююые э вмиэеюс- юююииеюх ю — юею ю аьююмювз-ыю ю юг ее .

- ю ю ю ю Иалменыэею значение соопмтствует компоненте по осн л. На-. правление гюложнтсльной компоненты соэпааэет с полонюнтельным взцраалением соответствующей координатной осв. Буквы и, о и ю использую кя для обозиачення перемещений по осям л, р и х. В одномерной залэчс предсганлсиия векторной н скалярной величин внуюри атементэ сонпадают, так кэк в обоих случзяк и Каюнлпм уэлс отысыюаазся тольке сада неизвестная: в=йюю(гг+й[ю[/ю Орюйюю) г <бгют (3.23) гле и — пе[юмещыюююе.вдоль элемента.

Функции формы, привсщииыю здесь, идентичны записанным в формуле (33). Прн рассмотрении векторной вслюючюш в треуплчьиам сиююлекс-элементе следует использовать рюзуяьтаты раза, 3.3. Горизситальное перемещение и апцроксчыируется ныраженнем и = р' ю('юю-ю+ ции- ю + йюю('м-ю то.21) варщкалмэая компоаента о предстэзлясюся формулой =д,[)и+йюууы+Л,(ты. (32лу «К О Л О К„О1 (гм лучам слезуюпше эависамости аоо(щ«шаты центре« е«л«ч э (339 г-л«у«П Эти доэ соннов«ения могут быть записаны с учаюм всех уэлоэьш апачеивй вектора персмещеиняг и' К«Щ~ ~+Ю~+КЩ«э+баге+К~Пи а+Ю~ о — О(У ~+К«(г +0(г г «+К//ы+О(Г «+К«Пы Воспользуемся матричными обозиачпэняма б«увк«шн формы е (323) адезшшвы представленным в формуле (з(о).