Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 4

параллельными главная диагонали (фаг. 2,10). Рвгстоянве жшигм мшаг» б амг. яя. Веяэдэмвзве умм к узам. встзрп» мегуг шзеэпмэвш з сазак взпрзьмкэз. фиг. 2,9, б, допускают перемещения в вертикальном маправлеюш в ие позволяют двнгатьгн ми в аписы вз пгрнзсатальпых направ.лений.. Учсг узловых условий такого тина асупгествляется путем видоизмененна алагемы ура»гений, решение которой определяет узловые ицремсажиня.

Многие фнзнческне вада ш не имеют четко установленных гразгяц области анализа, В аадаче б рассмотрен одни из таких примеров — процесс распространения тыгла. Зевая лроспграется бес,южечло далеко ввнэ от тротуара, а излучающие тепло кабели прастирюотся взирала и малева ва неопределенное раастаяиие. Иоделнрованве тел, бесконечэю прстяткенных в олине ихн нескольких направлениях, представляет определенную трудность для мнженерз, тяк как ан должен иметь дею с ограниченной моделью.

Для анвзиэа следует выбирать яри этом достаточно больтпую область. чтобы внчнсляамые вдоль ес границ величиям бмлв саглапнмаы с теин значениями, которые встречаются в физиче. -стай задаю. В задаче 5, ныример, исобходимо шэбрзть достзтач-»о балыпую аа глубине область с тем, чтобы злачевин в узлах, рзспологкеиных ма знзчиюлыюм расстоянии от кабытей.

баши равны мюкду собой. Вероятно, лучшим руказодяшдм црэяцгкюм е давнем случае валяются опыт и изучение чужого опыта в моделировании цодоб.иых веагравнченинх облзстерь е е е о е.е с с ь С Сььа О О е е с о е сэьо' о е С е е с е сььа е е о е е е с о е ОьСС'С С С С С С о оье с е а а очке о о о о бьс е с е о е е е е с о с с а Ш нюг юзэа мге пг Лз Г (С эве коэИвязм™ь) ой между главной днапгнзлью и етиьш иинивьш ггазыввктся ширина полосы матрицы Все каэффицнеиты вие этой пгжасы озоны нулю, п онп ве должны сохрзиятъся в машинной памяти.

г)равэльвая аычмсюпельная программа использует талька тс козффниненты матрицы, которые иаходятся вхугри уназаиюй полосы. Уменыиеыне ширины полосы щжноднт к шн~рапгению размеров требуамой ыашивгюй памяти, а танже к гзжращеяню времени вьюислазпй. Ширгыа полосы В вычисляемая по формуле В=()(+ 1) д, (2.!) где )( — максютальная по элем»лам велнчпла маиболыпей раажгсгв между »амерами уапов в отдельном элементе. й — число нег»весалых (число степевей свободы) в каждом уэлс.

Иинпмизацня величины В сюиава с минпмиаациеб Я, что, в частгюстм. может быть асущесцшено гюследавателвной нумерацией узлов ари шш- 2.4. Заключение Задачи жпэян а направления нанмеиынего размера тела. Два равных способа нумерация узлов н теле показаны на фнг. 2.11, а н б. Наибольшее разности между номерами узлов лля первых элементов на фнг. 2.11,а н б равны 7 и 21 соответшяенно. Значения !! дэя зюлных наборов элементов равны 9 н 21. Для ширнны полосы ° юлучзготся зваченнн рй н 22, если в каждом узле взыскивается б Езг. Д11. Льг шмяста шчмэааы узазв ээя раюаммз эзеаштн дзуаернсге., тезз. по одной невиюстной велнчине, илв значении 20 н 44, если в кшг.- дом узле рассматрвзанися лгш нензвеепгые велнчпны. Правпльяая нумеранкя узлов в этом пркмере сокращает машинную пазгнть.

более чем на 00 "гс. Нумерация элементов представляет собой прхтую процедуру. В этой книге помер элемента будет заключаться в круглые свобкн с тем, аобы избежать пугюшцы с номервмн узлов. Элемент (!) на фкг. 2.Н,а содержат узлы с гюмераыв 1, 2 н 8. Нумсрацпе элементов ме плняет на вычислительные аслекты зццачп. Прн решеннн задач ыемжоы копытных елемектов мспользуюп.ж резжюбрашгые элементы. Нежпорые наиболее важные из нпх введены былп п втой главе в связи с рассшгцювием джиретизацне «плошкого тола. В следующих десяти главах паше впнмпнне будет сосрцлоточе .но на симплекс-элементах.

Эта группа включает,аинейпый одномерный влемевт с двумя уалзмп, лпненный вреугольник с тремя уэлаьш в линейный тетраэщт с четырьмя узхэмю Упор ме шы элементы делается по нескольнкм прачлнам. Она просты в тсоретнческом оыюшениюс что дает возможность легко проиллюстрировать вх црнмененне. Треуголышй и тетраэдвльный элементы мо. тут быть использованы для аппроксимации границ сложной формы, ° отому что шгн могут быть орнентлрованы кек угодно Другой важной лрюглной является то, что по ыногнх нмеющнхсв вычнслвтельных программах попользуются шп элементы.

В гл. !8 представлена программа ПВ!Р сеточного раабнення, Определяющая номера узлов я координаты треугольных снмплекс влеьюхтов н прокавольной четырехугольной областн. Чнтатсль может всюшльзоватьса втой программой дла решения задач, номе- Шенных в конце этой главы, н для получсвня исходных данных элементов в цтдачах ьв глав г:;рнкладного характере. 1. Разбейте треугольную область па 10 элеме~гюв, пригуыеруйте узлы и еычвслнте определенную выше шярнну полосы, предполаган палнчве дзук степеней свободы в каждом узле. 2.

Разбейте четырехугольвнк на 24 элемента, мглользуя пять узлов вдоль одной поры пюрон и н:тырс узла вдоль другой пары. Пронумеруйте узлы так, чтобы получшть знпашалькое вначепве негжчнны В. 3. Разбейте Шрямоутольный хреугольнл» прнмерно иа 60 эле ментов, предварительно выделгш две треугольные н одну четьь рехунаьвущ подобласти. Помеснпе нзнменыпие ио размерам елементы ибллав ириного угла. 4. Разбейте ющхыь иа лннедные треугольные злскенты. Нз закрепленной прзкнце Разиесипе лдюе белиссе узлов, чем аа свсщодвем юнце. Укажите с помощьв прннятых обовна'нжий неподвижно закреплсппые узлы.

б. Нгсксщьгщ злекгрнческах кабелей арсыожлно ниутри тро. туара. Кабели могут рассматриваться вак источника, разнещси- ц задаче 6. (эвипрнесввч «асеев пзевсневм ев глубин 4 ги ет ыиерщсмк рвсстез ие невку вх цсвтрвнн 4 св4 нце в узлах Выберите оригоднуы длн екапнза область я разбейте ее ка треугольные элементы, б. Используя программу йцЮ вы гл. !б, определите исходные данные элементов для обласгез, рассвкпрвпных и задачах 3 и б. лдтературд ьВ Ибтб,Щ |ДР.Г сМ Щ Ыб*и Д Щ МГИК.К МИ 4 Диеасы бе„м. У гите.

Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ И(УЕРПОЛЕЦИОРЕ4ЫЕ ПОУИИОМЫ Для мультяплегк-элементов также еспользуются полнвомы, с„жержащве члены высокого порядка, тю граишцы элементов прп поем должны быть парвллельшн коорднвнтлыы скям, что цеобко,шгью для достнження менрсрьюноств прк лц)ыходе от одного влс- Метод конечных злешяпов основан па нлы аппрояслмвцвя пецрерьшной функцвп (температуры, давленая, пергэыщення п т. д.) дискретной моделью, ыпорая строится вн аяюжестве к1- сочвоыепрерыишх функций, опредстеншгк ва конечном числе подобластей„яазьюземьгх элементами. В кагестве фрнкцнн элемента чаще всего црнмелнетсн пошиом.

Порялпк полвломэ эашклт от шола вспользусмых в каждом узле элемента данных о непрерывной фрннцвн. Классификация конечных элементов может быть щювелена в соответствии с порядком нолиномнальных функцкй этих элементов. Пра этом рассматрвввкптя трн слезующие группы злементонг оямплексч комплекс- и иультпплеяс-элементы (й]. Глгмплексэлементам соответствуют полвпоюг, содвржзщ е константу м ляпейные членм. Число коэффяцкентов в таком нолнвоме на Ецизвцу больше размерности коордннатлого пространства. Поляком р=сц+гЪх+еау (33 пргдстанлнет собой онмолексаую функпвю для двуморгюго треуголнного элементл.

Этот лелином лпнеен по х в у и содержат трх коэффнннента, потому что треупппмнк имеет трн узла. Комплекс-элементам соответсгнуют полияомнальвые фушь цпн, содержацше канствгпу, линейные члены, а также члены второго, третьего и белее высоього порядка, если это веобходнмо. Форма комплекс-элеьюнтев может бить таюй же, квк м у слмплекс-элементов, мо комплекс-элементы имеют дополннтгльные гранвчные узлы н, дреме того, могут ныеть также и внутренние узлы. Главное разлачпс между снмплекс- я комплекс-элементаын состоят з том, что чвсло узлов в комплекс-элементе балыке веяниям, ранней рвзмерностн гюордвнатного пространства плюс единица. Ннтпрполяпнонвый поляком для двумерного треугольжко кемпленс-элемента вьнют впд Р=а +п,х+а У+о„ь +и кД+взу.

Р т Зта соотношенпе включает шешь жгэбхунпиеятов, поэтому рассматриваемый элемент лоюкен вметь юесть узлов. еы, к1. пэзногпж знз, виунсэннв нульмннпыезеимгь мента к другому. Грашшы симплекс- к комплекс-элементов пе оолаернзются энному огранвченню, Прямоутольный элемеат на фнг, 3.1 отличный прнмер мульепшекс-элемента. Здесь будут рассмотрены симплекс.элементы. Когшлеш- е мультвпжжс-элементы наряду с нэопэ,рвметрнческнмм элеьмцтаыв обсужхвюэся после прикладных разделов квнгн.

3.1. Одномерный симплекс-элемент Одномерный симплекс-элемвнт представляет собой срннолгь медный озрезок длнвы Ь с двумя уэлнын, по одному нз кажном ежце отрезка (фнг. 3.2). Узлы обозначаются ындексамн г м 1, узловые значення — через Фг н Фг соатжтстшнвю. Нвчвло слсте- 1 $ г 3 ы 3 1 Еэх ЗХ. Одиыээннз сзюэаэсеззяезт. мы жюрдиват располагается вне элементв. Полииомивльная фуввция р для сяыщрной вютнюжы'г имеет вяд ф=а,+аР. (3.3) Коэффкжювты нг н ез могут бьггь ощжаюииы с иомощью условвй в узловых точкэхг Ф=Ф, прп х=Х, н ф Ф„щм я=-Хг.

Этв узловые условна приводит к системе двук уравнений Фг=от+п,Хе Фз=ия+о Хя (54з) и ю( — еч (3.45) П э лиц изйденные значения гп зг оз в фоуьгрлр ( )' 1' чаем для е пвфзжежю (атхг — егтг) (ю( — ег ) которое еинеег быть перепнсено з виде Р=(-(5 ")Фг+(" ™ )Фя (35) Лвиейныс Функции от х н формуле (3.5) называются функциями формы или интержмнцеонными фуакцняыя.

Зги Фунюиж всюду обознвчвются через РХ Каждая Функция 4юрмы долткив быть снзбжогщ юпкнюг индексои для обоэнвчепня уэлв, к юморому оез осносцтсл. Прсжзмжьн)ю Функцию фюрьгм будем обозначать через )Уь В соопнянезие (3.5] ююлят следующие Функции формы: Хà — к .с — Хг — Р)з= ь о Бтхы 1Г жгозьзтеюз дэз свезвэчснн» «Зс ввоьънсн снзэяряеа всвэчмвь И ын Г п р рвнсвяэнсе сссеэегспеево хзя осстю звяк мязсэатурм я кипе «вэ, мяне речь вле о кснвзетзюг Ипзвмявек. Огхпмоцювне (3.5) может быть ввпнсаао в матричном инде ': Р=)У)Фг+)УгФг )йг) (Ф)' (З.бр "где (ь]=()рярг) — матричная стропа и '(Ф) Ц вЂ” векгор.стол-- бец. Квк вплпо нэ Формулы (3,5), функция Хт=(]Хг — к)/С равна' еднинце в узле с номером г н,рввнз нулю в /-м узле. Анвлогнчно фуннпня Йг рвана нулю л г-м узле и рзвнб едцпице.в узле с знь меуюм 1.

Зги значения характерны для фунюгий формы..Овн резвы сданное е одном опрслслениом узле и обрвщвхпся в нуль во всех других узлвх.- Прмьтер юП Ф Т..Одномерный схмплекс-Элбмент используется длк япирежимвцпн рэсцредетежгн температуры в стержне. В реэультвте решения звлвчи усгэиовлеио, что температура я узлах. г л 1 рвани. 1я1 н 90'С соответственно.

Требуется определить температуру и точке ев расстоянии 4 см от евчвлв ыньрпннвт н градиент тем' перюуры внутри элемента. Увзы г и 1 расположены нв рэосгоя гжн 1, 5 н б см от иячалв иооржжэт. - т"йз г хг =Эсн я т. 'мпеуатУРВ 1 енУФи элемента ~ )юд„щюся с 1 ~тт — «]Т+~х Хг~ г.юзе З Л ешне еегеламегаеееи лаееман (3.3) Х! !'! =3г(. даняые элемента! Х,=!.б см, т,=(м С, Хэ=б,б см, Тз=рйчС.