Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 3

Искусство разбненвя облжтп завнснт ат имеющихся Инженерных назыкоз. Плахов нзв3 несовершенное раэбвеняе будет прнзоднть к оюнбочным Результатам. если даже остальные агапы метода осущзпгнлшотся с достаточной точностью. Дяскрешзацяя аблаем! (тела) включает эпнанве часлв, уаэ.- нерав я формы зтодобласгей, кспорые нспользуютси для построения днскрегнай зящезв реального тела.

Как нвженеры мы сталпнваенся прв этом с довольно деликатней свтуанней. С одной стороны. зл«манты должны быть выбунны достаточно ыалымв, пабы палучалнсь прнемлсмые результаты, а с Лругой стороны, лрнмененне достатачзю крупных элементов сокращает вычвсжпельнуш работу. Нужно иметь пекожсрые сбщне соображения об окончательных зяаченнях, с тчм чтобы ножка было уменьшить рапчеры пюмениа в тех областях, где ожклэемый результат аюжет очень шльэо менэтыя (большне величавы гунннентов). н увюзнчять нх там, где ожидаемый розулыат почтя постоянен. Навыки в днскретнэацял области пряходяг с аоытом.

Однако вежпсуые обапю праанла иажно сформулировать. Этн щпвнла м некоторые советы атшкпщлыю днскретнэашш п обсуждзтпгся в втой главе. 2Л. Тнпы конечных элементов Прн решеннн задач методом ижечных злеьнвтов пснольэукпся пшмавты различных чипов. Некотоуые, наиболее общне еп впх, обсуждаются в этом раздене.

2.1 Л. Одномериыа элементы П3хктейшкм среди зленентов является апкомцрный элемент Схематлчеспи он обычно взобрзжается а ваде отрезка (фпг. 2Л.о), хотя н имеет паперечнос сечение. Площадь поперечного сеченая может вэменнться по длине, но во мноопх вот)ючаюшднся задачах ана считается пса»нюней. Наиболее часта такой элемент псполь- 2 ТИ 1У тлс 3 дюязгтиэаим оалагг» 2„1 З. Трекмариые элементы г 1 а г ! г ъ Пнг. Э.х. Неютэзме слзонер анс наисчэие эыиеэю.

г $ Ъ ! г г з ~да вуется в одномерных захлвзх распрогаравения тепла в в задачах сцэонтелькой механики прв рссчстт стнржнеаых элементов кои струнций (типа ферм). Простейший одномерный элемент иыенг два узла, по одному тж каждом конце. Зпемснты более лысокого порядка, срехуалсвые (квадратичные) я четырглузловыс (кубические). изображены ва фнг.

2.1,б и с. Одаомервый элемент может быть ирвволивейвым (фиг. 2.1, з) прн условии, что длава дуги входит в дравнеиж, определяюжое элементы. 2 1 2. ))ауыерньге элементы ))дн построения дяск1ютной модели двумсрвой области используются дза основных ссмснствз элементов: лреугольннкк в чегырсхугслывгкн. Стороны лниейиьж элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (фиг. 2.2,о). Кналратлчнгю и кубические элементы иогут иметь кек прямолинейные, так и волияейиые стороны или тс и лругие (фнг.

2.2,б).,Воэможность ариьюделирсвания кржюлвнейаых границ доспиасгск добавлением узлоэ в с:ерехяву сторон элементов. Оба семейства элсьюлтоэ могут бить чнхкипловзиы одлозремеаво внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов иа стороне (фнг. 2.2,е), тоязцивз элемента аюжет быть ялн постоянной, или являться фин»- пней жюрдннат. Наиболсс часто нсзрсчающимвсн трехмерныыи элементами являются тетравпр и парюмелеюпмд (фиг. 23. а и б). В ссюих случаях линейные элементы онраиичены прямолмнейнымн сгоронамв (плосностаин), тогда как элементы более наивного порядка могут иметь н качестве грэнспг криюлииейиьге псвержюсти. Прн раабиеаии хрехмсрэюго тела трудно ваглкягю представить расжыожеиие элементов а дзскрепюй модели, поэтому, аероятно, более желательным аэ этих днух тяпов элементов является параллелепипед.

На фиг. 2Л, и показав др)той внд цчеиентси„которые использую.гся при,рассмотренна тел цилиндрической формы. Зги элеьюнты подобны дзумермому тре)чслыжку п поэвсляюг епм учесть язмевенве веиаивлаюй величины вдоль третьей мх~рдинаты. Лю б а Фхг. ЭЛ, . Ысхсгсрпе трспирзме хош л Ф г ЯА Ошснйжетишо й хеяазвп засмеет. , широзп всполшуегтый в осеснмНз фнг. 2.4 показан вземеит, ш есннх задачах.

Этот элемент о» аз устоя поеоротпи эре ююы четырехугольвпна. элемент может быть волучен нрешв- 2.2. Разбивммн области ыа элименты Процесс двсгбюмгзацгш может быть разделен на два зтапаг разбпезие тела ма элементы и нумерация элементов и узлов. Последний этап логически совершенно прост, во усложняется в связи е нашим желаняем повысить эффективность вычвслеаий. В этом разделе раосматриваскя разбиение двутшрвой области на линейные феутольпые элементы. Лвумерная область выбрала для удобсгва иллюстрации; кроью того. идеи„представленные здесь, могут быть обобщены иа случай тршвеерхого таз. Днсвре- Ф .

дз. де е не сюисгя третгюьмто инв за линей ье тает альянс злемнпм ююацгш одномерного тела почта тривиальна, так хэн осю сиодигси только н делению отршна иа более короткие учвспл. Разбнсиис двумерйюго тела па треугольники пыдежно пстшеу, что этот элемент — простейший нз двумерных злеиевтов в смысзе аналитической формулировки. Требоваяие црсстсты элемезта тмязвво с там.

что при .моделировании обласш долхспо быть использовано большое чнсло элементов. поэтому деление области иа треуголппихи, вероятно, наилучшвй способ рзабжтжя, При рззбкснзи любой двумерной облжти иа злемоиты сначала тыо делнтся иа четьйрсхугольные и треугсльиыс подобласти,. нли зоны, котсрые затем подразделяются ма треуголыипш. Грайпщы между подобластями должны лрохцппть там, где йюмспяхпся геометрия, црэложевваи нагрузка или свойства материала. Напболее просто можно ~равбнть треугольную подобласть иа злемепты, есзз выбрать определеююе чжло узлов вдоль каждой егоровы, соаыиапь соотвегстзуюпню узлы прямыжп жйзиямя и точки пересечевия этих линяй считать увлвмгь Треугольная зова, понзэвхная па фзг.

25, а, ратбвта иа деюпь элементов после разминаю~я четмрех узлов ага каждой стороне. Узлы па сторонах нины не обязателыю располагать иа равных рвостсвпвях. Варьнровапиерасстовпвя между иимя позволяет ивиегшть Раамеры элейпытов. Если треугольнея подобласть кршюлннейння, нрнволянейпые Чшницы элементов заменянпся па прямые отрезки. Разбиение крнволинейюй треугольной зоны пн линейные треугольники поннзлво ин фнг.

2.6, б. Ш зриновой лыжей цредстннленв исждная форме, сплошныж! ливнями пзобрзжены элементы. щяж!нных идей Лпскретпзэцнн пронял вано иэ фвг. 2.7. расстояния ь|екду узлаим вдоль границ четырехугольнон зоны изменяются тзк, чтобы элементы вблизи крвнолмнсйной части грпнипы были ыэлыьщ, ввг. дд дезеиж озлгстн з згае чстнэенугезгнзнз нз гзмезьне жюгчльвца Если пз емфсне чреуголнной гюдоблзсги выбрвно л уэлен, чж.но треуголннык элементов и результате рвзбнеиня рэвинется (л — 1) !.

Четырехугольные зоны обычно 1разбнвают вз элемы!ты соеди.нением узлов пе проппюположных сторсизх (фиг. 2.6.а). Пересеимня линий определяют внутренние узловые точки. Вэутрвнмне четь!рехугсльнякн ениут рассматриваться кзк элементы; они мо. !туг быть разбиты ин треугалывю злемснть! щюведеинсм короткой .днзгоннли п нюкдом внутреннем чещрехугальнике (фиг. 2.6.6). .Р . азбиенне с гцполыювнннем нороткой днзгонзлн прелпочтвгсльио.

лютому что згмменты. блнзние по форме к рнвносторощге левику, пуеяюднт к более точи~~ результетем, юм длинные го узкгю треупжьнюш. Ч исло узлов нз смежным сиропах четырех)тольникз пожег быть различным, по из врстивоположных сторонах узлов должн ыть поровву, если голые! сеть рззбиения пс пзмельчвется (нли лжно укрупижтся]. Рнсстоянне ыенгду граничными узлами можно варь.ировать, чпгбы получать элементы различных рззмероз. В четырехугольнике будет 2(л — 1)(ш — 1) элемещтю, если пз съгежных сторэнэх его фиксировано л и ш узлов. Тйюуголышн и четырехугольння подобнжтя могут иметь общую границу Число узлов пв етой гравице зля обеих подсблнстей долнню быть олвннновым н онноснтельное полонюнне узлов должно совпадать. Эго требование необходимо для сохранения непре(нпнюстп рассматриваемых величин вдоль об!ней грлшщы зле. ментов.

не н четирыутОлиж зонн е нес!елунзнюе мн! нз цнтчг!гнию злснезгн ! ! ! ! ! ! ! г ! ! Пнг. ЗД. Развя!нее ззгмяэяпыеься осла» н нз лп !янга эегпнн:Ние ззгнегпп Резво!ирисе рззбиовие, когда пес элементы имеют однпвковую форму и рззмеры, обычно ве проводится, потому пс сущытвуют «сицентрацня ннцряженнй. темгюратурные градиенты и т. п. Вазможность взрьщювзть размеры элемента — взжвое достоинство метода ыжишых элементов.

)!нибалее простой способ существенного нщмснення Размеров элементов вэглючзется в приьюиенпи чегь1рехугольных подобластей с мерлиным числом узлов нн: противонгщожных стороннх. Хорошим варнянтом япляегсн случай рнсположсыня двух узлов иа одной стороне проыа каждых трех. узлов ца прониюположной стороны Твквя позоблжть показана пн фнг.

2.8. В задачах механики твергнню деформнруемого тела меобходимо семенить узлы. котс(нее нменц определенные перемещеншв Для обозначении выюрвггжных узлов применяется символ иеподвэжпого шарпирз (фиг. ВЗ,о). Если узел мажет веремещатьсн только в аданы »вправлении, всналыуется символ лодыоююго шарнира (фнг. 2.9,б). Подвнжвьге шарниры, изображенные иа 2,2.

р(умерицыя узлов Нумерация узлов была бы тривиальной операцией„есэн бы вомерв узлов вс вляялв ма эффективность вычислений, веабхаднмьш рдя получевгш решенин. Использование метода конечных взеъшнтов прйнаднт к системе линейных алгебраических уравнений больцюе число ноэффициентов которой разно нулю. Рассмотрение матрицы ноэффициентов системы показывает, что лсе ввнулевые казффнцйеягм и вегкларьн: и)зелью находя*эся ыелд\ двумя лв пвямв.