Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 5

Потенциал скорости плоской волны в поглощающей среде ф = А ехр~ — аж ~ — х1 = А ехр~- — з(п(дх)1ехр~- йХ+ ~ — соз(дх)1. (2 ) Для коэффнцнента затухания получаем 13 = (6>/с ) 5(пд. (3) В случае слабо поглощающей среды В = (ы/с ) д. 1.2.16. Найти связь между углом потерь н текущим нмпедан- сом среды. Решение. Текущий удельный акустический нмпеданс в среде с поглощением — число комплексное: Х = р'/с = )2 — 1Х = )2( е ~~, где 1йтг = Х/)т.

(1) Вычислим давление н скорость с помощью выражения (15.2); р = — р в~- = Цз ьхр, о = О = 1 — (созд+ 15!По) (р. да . дм .И опг 0 ' ох с Тогда расо г -, „„„- р...к-а~. (2) Сопоставляя (2) с (1), видим, что 1яд = х/)г, а в слабо поглощающей среде д = х/к. Следовательно, тангенс угла потерь равен отношению мнимой части текушего импеданса к его действительной части, Заметим, что определение угла потерь в акустике не совпадет с определением этой величины в электротехнике. 1.2.17.

Скорость звука в газе равна 351 м/с, угол потерь д = 0,004 . Найти коэффициент поглощения звука по энергии на частоте 100 кГц. Ответ. 26 (2ы/с ) д = 0,25 м 1.2.18. Кислород при 20 С имеет следующие акустические характеристики: Ро 1,33 10 г/см, с = 1328 м/с, коэффи-з з цнент поглощения 6 = 1,49 10 7' см,.: Найти угол потерь и удельный комплексный импеданс среды при частоте 7' = 1 МГц.

Ответ. Угол потерь д = 6 с /(2п)) = 0,003 . Удельный комплексный импеданс среды р с = р„с (1- (д) = 1766(1 — Р0,003) кг/(м ° с). 1.2.19. Вывести формулу для коэффициента поглощения, связанного с наличием в среде релаксационного процесса. Решение. Примерами релаксационных процессов могут служить молекулярная диссоциация, обмен энергией между внутренними и поступательными движениями многоатомных молекул, фазовые переходы в среде. Распространение звука влияет на внутренние процессы, которые в свою очередь влияют на поглогцение и скорость волны При наличии в среде релаксационного процесса связь между приращениями давления и плотности перестает быть алгебраической (р' = с Р'); давление в момент времени ( зависит от значений плотности в предшествуюшие моменты времени: д Р' = с,р' + тс, )ехр(- — )'6РГтт(('.

(1) Здесь т-характерное время релаксации, тл -число, смысл которого выяснен ниже (см. (20.3)). Уравнение (1) рассматриваем совместно С уравнениями гидродинамики идеальной среды (см. задачу 1.1.1). Исключая из этих уравнений переменную р' с помошью (1), получаем Я в р 61 « = 0, '(2) сэ втщ+ — Ч~р' + тп )гехр(-:) дрГт Ж'~ О.

т -м (3) (6) Для приращения плотности р' уравнения (2), (3) сводятся к одному интегродифференциальному уравнению д',з1д Ь (р' + л» ) ехр(- — ) дР»-д('~- — — е — = О. т с д( (4) Щ 1, Ищем рещение (4) в виде плоской гармонической волны, бегущей вдоль оси х: р' = р' ехр(- (ы(+ (йх).

Получаем дисперсион- ное уравнение йэ ~ ~'от ] ~ (6) О Число л» обычно мало, поэтому из (5) приближенно следует 2 2 со~ ~1..2т2 "1,ызт21 Мнимая часть (6) определяет коэффициент поглощения 2 2 (7) 'о 1»и т 1.2.20. Показать, что в области релаксационной дисперсии квадрат скорости звука выражается формулой 2 2 2 Г С вЂ” СО ыэт2 с =с~1+— (1) О где с †скорос звука при ыт < 1, а с -скорость звука на О и высоких частотах (ь»т э 1). Решение. Из (19,6) для скорости звука (с учетом»п < 1) получаем выражение с = с2 ~1 + т ыэт~/(1»ы~т~)1, (2) откуда следует, что с (ыт-»О) = с, с (а»т-»и) = с (1»»п) н 2 2 2 2 Б 2 2 202 О и с„.

Находим значение Гп = (с — с )/с и тем самым сводим формулу (2) к искомому виду (1). 1.2.21. Используя формулу для дисперсии скорости звука, обусловленной релаксационным процессом, найти область наибо- лее быстрого изменения скорости в зависимости от частоты. Ответ. Область быстрого изменения скорости лежит в ок- рестности точки перегиба кривой с (ыт), описываемой формулой 2 (20.1). Точка перегиба отвечает значению ыт = 1. 1.2.22. Найти максимальное значение коэффициента релакса- ционного поглощения, происходящего на длине волны.

Решение. Коэффициент релаксационного поглощения описыва- ется выражением (19.7): 2 (с с )21 ( с )2-1 О 1»(ыт) 1+(ыт) Полагая й((э)т)/г((ыт) = О, находим, что ыт = 1 соответствует максимуму, и, следовательно, = ~ [с„' /с,'1 = ~ т (1) 1.2.23. Скорость звука в уксусной кислоте на частоте 250 кГц при температуре 20 С и атмосферном давлении равна 1194 и/с. При увеличении частоты до 3000 кГц относительная дисперсия скорости звука составляет около 1 % . Найти макси- мальный безразмерный коэффициент релаксационного поглощения, отнесенный к длине волны.

Ответ. Используя формулу (21.1), находим ((3д) = 0,032. 1.2.24. Вычислить коэффициент поглощения, обусловленный вязкостью и теплопроводностью на частоте 500 кГц, а также максимальный релаксационный коэффициент поглощения, отнесен- ный к длине волны, в углекислом газе, если его плотность р = 1,85 кг/м, коэффициент сдвиговой вязкости э) = 1,4 х 3 0 х10 Па с, г /с = 1,3, с = 8,5 ° 10 Лж/(кг К), коэффици!г''р ент теплопроводности к = 1,63 цс . Скорость звука в углекиси и лом газе при 20 С и атмосферном давлении на частоте около 100 кГц равна с = 268 м/с, при увеличении частоты до о 1000 кГц она возрастает на 4 и/,. Ответ.

Коэффициент поглощения, обусловленный вязкостью и теплопроводностью, равен 3,5 м !. Безразмерный коэффициент поглощения на длине волны равен 0,128. 1.3. Отражение и преломление звука 1.3.1. Используя условия на границе раздела двух жидких сред †равенст акустических давлений и нормальных компонент скорости по обе стороны от границы (см. рисунок), получить формулы для коэффициентов отражения н "прозрачности" по давлению. Решение. Опуская временной множитель ехр( — йМ), запишем потенциал звукового поля в падающей волне (среда 1): А ехр(ьй(кз!п6 — хсоз6 )), й = ы/с!, (1) и в отраженной волне: (р = АУ ехр (!л!(хз!п6! + зсоз6!)!.

Здесь У вЂ” коэффициент отражения; с н р — соответственно ско! ! рость звука и плотность в среде 1. Потенциал поля в среде 1 ~1 4 пад ( итр (3) 28 (6) а из (7) — связь между коэффициентами отражения и прозрачности Ф' = (1~У)/гл, где л! = р /р. Из (6) получаем прн г = 0 (1 — У) со50 = ПВ'со50 .

(9) Из (7)-(9) выводим формулы для У и (Р (акустические формулы Френеля): гЛСО591 ЛСО502 ввн ТН5ВЭЭ' лэсо59 — (л -5! и О ) 2 2 ! 2 1 1 л$со50 +(л — 5! и 0 ) ! ! рзс2/со50 -р!с!/со59 Х -Е р252 соз 2'р!с! соз ! л~+У~' (10) где 5, = р.с./со59.— нормальный нмпеданс на границе; 1 с (Р = 2 со59,/(глсо591+лсо59 ). (11) Напомним, что У н (р выражают коэффициенты отражения н прозрачности по потенциалу скоростн. Так как р' = — рдр/д! (См. (1.1.9)), то соответствующие коэффициенты по давлению равны р 2тсо59, (12) Нрн нормальном падении волны (В = В = 0) получаем 1 2 (13) 1.3,2.

Источник со скоростью звука с расположен над поверхностью раздела, а приемник со скоростью звука с -под 2 В среде 2 р = А(рехр(гя (кып6 — гсо56 )), й = и/с . (4) Здесь )р — коэффициент прозрачности, с и р -соответственно 2 2 скорость звука и плотность в среде 2. Граничные условия прн г = 0: а) равенство давлений: р = р, откуда (см. (1.39.3)) 1 2' Р! Р2 (6) (Р! Ю2 б) равенство нормальных скоростей: о ! = о илн др! дт2 дз дз Из условна (6), учитывая (1)-(4), находим при г = 0 — -(р — = ехр [!х(Л25!п02 1151 ЛО )).

Р11-У (7) Так как левая часть этого равенства пе зависит ог к, то нз (7) получаем известный закон преломления †зак Снеллиуса: !/ 2 2/ 1 1' 2 (8) 29 К задаче 1.З.! К задаче 1.3.2 поверхностью раздела (см. рисунок). Источник н приемник раз. несены на горизонтальное расстояние й. Показать, что время распространения сигнала вдоль луча, испытавшего преломление на поверхности раздела, минимально, если луч подчиняется закону Снеллиуса (см. (1.8))-принцип Ферма.

Рещение. Время распространения сигнала от точки А до В ( = —.— = — Ь.х .— Ь -((-.) . АО ОВ 1 «2 2 1 2 С ! С 2 С! 1 С2 2 Мнннмальное значение 1 определится нз соотношения Ж х з(-х /г 2 2 2 с кЬ, -х с Ь +(Н-х) откуда ~р = А ехр (-(Ь «), (р Аг' ехр((Ь «), 11 А)р' ехр(-(Ь «), (1) 1 1 ' отр 1 ' 2 2 где Р2«2-Р1с 2Р1«2 — Ф' р с+р с' Р,с,'Р,с, (2) з!п6 з(пй с1 с2 1.3.3. Вывести формулы для коэффициентов отражения и прозрачности по колебательной скорости на плоской границе между жидкими средами в случае нормального падения волны. Сравнить нх с соответствуюшнмн коэффициентами по давлению.

Решение. Запишем потенциал скорости в падающей, отраженной и прошедшей во вторую среду волнах при нормальном паденнн на границу: Коэффнциент отражения по скорости равен Коэффнцнент прохождения по скорости будет иметь вид ~др2/де 32 с! 2Р1 с! с! 1 1 1Вр (4) в (Рф /Ве) о ~ с2 Рэс2+Р1с с2 1.3.4. Найти коэффициент прозрачностн по ннтенснвностн при нормальном падении плоской волны. Показать, что интен. снвность прошедшей волны не зависит от ее направления падения.