Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 3

объемная плотность энергии дается формулой пот кин ( о о (4) а вектор плотности потока энергии (вектор Умова-Пойитиига) $ = р'т. (5) (2) Величина (В( = р'и (6) называется интенсивностью (силой) звука. Если проинтегрировать (3) по достаточно большому объему и среды, на границах о которого движение исчезает, и воспользоваться теоремой Остроградского — Гаусса для преобразования объемного интеграла в поверхностный, получим чт ~ Е и'У + ~5п йг = О.

о Интеграл по замкнутой поверхности ц равен нулю, поскольку мы условились, что эту поверхность волны не пересекают. При этом из формулы (7) следует )'Е 1('й = сопз1, т.е. полная энергия в объеме Р идеальной среды сохраняется. 1.1.21. Получить выражения для объемной плотности энергии и интенсивности плоской бегущей волны.

Решение. Пользуясь соотношением р'/(Р сэ) = и/с, приведем выражение (20.4) к виду Е Ри Р /(рс) (1) получим еще одно полезное соотношение: У = р о = 4.(р'и'+ р"о) = 2йе (р'и'), (5) которое используется во многих задачах. 1.1.22. Амплитуда звукового давления в плоской гармонической волне равна р' = 2.10 дин/см . Вычислить амплитуды О колебательной скорости н смешения, средние интенсивность и плотность энергии волны в воздухе на частоте ( = 1 кГц (Р,с = 42 г/(см с)) Ответ.

и = Р'/Рос " 4'7 10 м/с чо ио/2п1 7 10 м У = р' /2р с = 4,8 10 П Вт/м, Е = У/с = 1,4.10 1 Дж/м . О О 1.1.23. Интенсивность звука У равна 0,1 Вт/м Вычислить объемную плотность энергии Е, давление р', смещение ЕО, скорость оо и ускорение Е частиц в плоской волне на частоте Г = 10 кГц в воде и в воздухе. Скорость звука в воде 1500 м/с, в воздухе 340 м/с.

Ответ. Воспользуемся формулами Е У/с, р' = (2УРОс) 1/з ЕО " РО/(2п!РО~) О цо = РО/Рос' ~О ~пуоо' тогда полу Интенсивность равна У = р'о = сЕ РОси = Р' /(рос), (2) В гармонической волне р' = Р' соз (ыГ-(эх) средняя за период о сила звука равна У = ро /(2РОс) рэ /(Рог), У = Росио/2' (3) где р — эффективное среднеквадратичное давление (13.4). эф Используя комплексное представление поля гармонического во времени сигнала р'(х () = 2р'(х) е ' э2р' (х) е', и(х,1) = 2о е ' + 2о е', (4) чаем соответственно для этих величин в воде: 6,7 10 Дж/'м, -в 3 5,5.10 Па, 5,8 !О м, 3,7 1О м/с, 23 м/с; в воздухе: 3 10 Дж/м, 9,2 Па, 3,5 10 м, 2,2.10 м/с, 1,4.10 м/с .

1.1.24. Плоская волна частотой 400 Гц распространяется в воздухе, Интенсивность волны 1,2.10 Вт/м . Определить плотность энергии н амплитуду колебаний, если температура воздуха 27 С. Плотность воздуха р прн ! = 0 С равна 1,18 кг/м . о Решение. Плотность энергии Е = У/с, У вЂ” иитенснвнсть звука. Скорость звука с = 20 Т (см.(7.1)). Плотность воздуха о при Г = 27 'С находим по формуле р = р (1 ь 0,00367!) з и = 1,07 кг/м . Находим с = 350 м/с. Определяем скорость колебаний: о = (2У/рс) = 8.10 м/с. Амплитуда колебаний = и /2п! Подставляя числовые значения, получаем для плота= -5 3 ности энергии и амплитуды смешения частиц Е = 3,4 10 Дж/м, =3!Оп о !.1.25.

В плоской звуковой волне с частотой 1 кГц в воздухе экстремумы давления отличаются на 1 див/см от среднего г атмосферного давления, равного 10 дин/см, Вычислить, чему б г равны: изменение плотности, сопровождающее распространение такой волны; интенсивность волны; максимальное смещение частиц. Скорость звука равна 340 м/с, р с = 420 кг/(м с).

г. '3 Ответ. р' = р'/с = 8,7 10 кг/м, У = р' /(2р с) = 1,2 х х 10 Вт/м, ~ = р'/(р с 2п() = 3,8 ° 10 м. 1.1.26. В атмосферной акустике принято характеризовать уровень интенсивности В = 10 (д(У/У ) относительно стандартного нулевого уровня с интенсивностью У = 10 Вт/м . -1г г ст Чему равняется среднее звуковое давление Р в воздухе при ст о нормальных условиях (атмосферное давление 1 атм, ! = 0 С) волны нулевой интенсивности (с = 332 м/с, р = 1,26 кг/м )г з о Записать выражение для уровня звукового давления относительно стандартного давления р ст Решение.

Для эффективного звукового давления получаем р = (У р с)~~~ = 2,04.10 Па. Уровень звука при этом записывается как В = 10 !ц(У/У ) = = 20 (8(РГрс,). 1.1.27. Интенсивность звука равна 2 10 Вт/м . Найти относительно стандартного нулевого уровень интенсивности уровня У = 10 Вт/м . Ответ. В = 1О!п(У/У ) - 83 дБ.

1.1.28. Амплитуда звукового давления р' =,0,1 Па. Найти уровень интенсивности в воздухе при температуре 20 'С и давлении 1 атм. Решение. Используя определения В = 10!8(7/7 ), 7 = р', /(2рос), 7 = 1О Вт/м и подставляя значения р и с при 1 = 20 С (р = 1,29 кг/м и с = 340 м/с), имеем У = 1,14 10 Вт/м . Следовательно, В 70,6 дБ. 1.1.29. Уровень интенсивности плоской звуковой волны в воздухе равен 100 дБ по отношению к стандартному нулевому уровню интенсивности.

Вычислить амплитуды скорости и и ус- корения г, частиц на частотах 7 = 500 Гц и 7" 5 кГц. 1 2 Ответ. Интенсивность звука равна 7 = 10 ~~'~3~ Вт/м2. Следовательно, на частоте 7" = 500 Гц имеем l = 10 Вт/м, -2 2 1 во —— (2!/р с) = 6,7.10 м/с, ч = 2п)оо = 21 м/с . Соот- ветственно на частоте 7' = 5 кГц У = 10 Вт/м, и = 6,? х 2 о х10 и/с, г, = 210м/с. 1.1.30. Плоская волна, распространяющаяся в воздухе с частотой 1000 Гц, имеет амплитуду звукового давления р' -4 2 о 2 10 дии/см (порог слышимости). Определить амплитуду смещения Ч и амплитуду скорости о частиц среды (в единицах СГС). Тот же расчет сделать для уровня интенсивности в 160 дБ над порогом слышимости. Ответ.

о = 4,8 1О см/с, Р = 7,6 10 1 см. При увели- чении уровня интенсивности на 160 дБ интенсивность возрастет в 10 раз; давление, скорость и смешение частиц — в 10 раз. 16 а 1.1.31. В воздухе при температуре 27 С и нормальном ат- мосферном давлении распространяется звуковая волна, уровень интенсивности которой равен В = 150 дБ (сильиый звук, вызы- вающий боль в ушах).

Определить температуру в месте макси- мального давления и амплитуду ее колебаний. Как изменится зта величина, если мощность волны уменьшается в 10 раз? Решение. Находим звуковое давление р', соответствующее данному уровню интенсивности В = 201п(р'/р ), где р — стандартное нулевое давление при нормальных атмосферных условиях (р = 2,04.10 дни/см = 2,04 10 Па). -4 2, -З (2) Отсюда находим р' = 645 Па. Используем уравнение адиабаты для температуры: Т = Т, (р /р )(~ ~, Т - 1,4. Подставляя р = р 1,01 ° 10 Па, р р' + р и учитывая, что р' < р, Б о имеем Т - Т (1 к — к — 1, т.е. дТ Т х — к-.

Подставляя Т Ро2' э ро Т = 300 К, получаем бТ 0,55 К. При уменьшении мощности 1 волны в 10 раз (давления в 3,16 раза) бТ = 0,17 К, 1.1.32. Вычислить изменение температуры в звуковой волне, имеющей интенсивность 7 = 0,01 Вт/м, при температуре возду- 2 ха 20 *С и атмосферном давлении. Ответ. 5Т = ТТ вЂ” (2/р с)1 = 2,5 10 К. ТРо о 1.1.33. В гидроакустике уровень звукового давления приня- то отсчитывать относительно давления р = 1 мкПа = 1О а Па, Н В 20!п(р/р ), Найти формулу пересчета от В к стандартно- Н Н -12 2 му уровню интенсивности 7 = 1О Вт/м, соответствующему з з в воде (р = 10 кг/м, с = 1500 м/с) эффективному давлению р о эф' Решение. Найдем значение стандартного нулевого уровня: 7 р /(р с).

Отсюда р м 1,22 10 Па. Следовательно, эф имеем В = 20 )П(р/10 ), В - 20 16[р/(1,22 10 )1, из кото- рых получаем В =  — 61,72. Н 1.1.34. Вычислить радиационное давление, оказываемое пло- ской звуковой волной на препятствие, если известно прираще- ние давления в звуковой волне. Решение. Уравнения гидродинамики идеальной сплошной сре- ды, приведенные в задаче 1.1.1, можно записать в виде дП.ь ПТ (Рт) = эм, ПТ (Ро1) =  — — ' — . (1) Сила Р, действующая на единицу объема среды, выражается че- рез дивергенцию тензора П. = рб,„+ ри.в„, называемого тензором плотности потока импульса. Его физиче- ский смысл будет понятен, если проинтегрировать (1) по У и воспользоваться формулой Остроградского — Гаусса для преобра- зования интеграла от дивергеиции в поверхностный интеграл: ПТ~ро,г(У = — ~Л,„л Йт. э (Г Левая часть (3) описывает изменение ~'-й компоненты количест- ва движения в объеме У.

Поэтому выражение П.„л„рл. + ро. с„лз (4) !з соответствует потоку рй компоненты количества двнження через единицу площади поверхности с единичным вектором внешней нормали п. В звуковом поле р = рот р' прн гармоническом изменении Р' во времени среднее за период звуковое давление Р' = О. Поэтому в гармонической волне П,„= Рф', - РО"ш,щ, = Х™. (6) Здесь В = р и -объемная плотность акустической энергии, ус- 2 о редненная по периоду, щ-единичный вектор вдоль направления распространения волны. Если плоская волна бежит вдоль оси х, — т2 2 то отлнчна от нуля только компонента Й = Е = р' /(2р с ), хх О О т е поток "нксовой" компоненты количества движения вдоль оси х. Чтобы найти силу, действующую на препятствие, нужно решить задачу об отражении и прохождения волны через его границу.

В простейшем случае, когда облучается плоская граница раздела, ортогональная оси к, слева от нее существуют падающая и отраженная волны с плотностями энергии Г и с', а пап отр' справа — прошедшая волна Г . Поэтому, как следует из формулы пр' (3), на единицу плошади поверхности действует сила (6) Видно, что давление на стенку учитывает добавку, связанную с реакцией (отдачей) отраженной волны, н уменьшается на велнчнну, связанную с прошедшей волной 1.1.35. Уровень интенсивности звука составляет В = 120 дБ (громкнй звук). Найти звуковое давление и мощность — поток энергии, попадающий за 1 с в ухо человека. Считать плошадь уха равной 4 см и ухо перпендикулярным направлению распро- 2 странения волны (РО = 1,29 кг/м, с = 340 м/с).