Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах, страница 2

Таким образом, нспользуя прнемникн градиента давления, можно определить направление прихода акустической волны. 1.1.3. Найти условие, прн котором распространение звуко. вой волны можно рассматривать как аднабатнческнй процесс. Решение. Распространение звуковой волны сопровождается изменением температуры (см. далее задачи 1.1.31, 1,1.32). Температура увеличивается в тех областях, где среда подвер» гается аднабатнческому сжатию, и уменьшается в областях адиабатического разрежения. Процесс распространения звука можно считать адиабатнческнм, если за время, равное периоду звуковой волны, тепло ие успеет днффунднровать на расстояния порядка длнны волны Л.

Иными словами, "длина температурной волны" Л (масштаб диффузии, соответствующий частоте )) должна быть малой по сравнению с длиной акустической волны Л = с/1. ДЛИНа тЕМПЕратурНОй ВОЛНЫ ЛГ = 2чй)(/1 НаХОдИтея НЗ ураанения теплопроводностн д Т 3-Т = т з, Т(х=0,1) = Тое ~, (1) решение которого при х ~ 0 имеет внд Т = ТО ехр (- Лх) ехр (- СЫГ + йх), (2) где Ф = 2п/Л, т-коэффициент температуропроводностн.

Т' Условие аднабатичностн Л ь Л будет выполнено для частот Т с /(4нХ). (3) Оценки показывают, что условие (3) хорошо выполняется в жидкостях н газах вплоть до очень высокнх частот. Так, в воздухе (числовые значения параметров у = 2,8 10 и /с, с = 330 м/с) звук распространяется адиабатнческн прн частотах ) я 101 Гц. (2) Р/Р = сопз1 = Ро/ао где р, р †равновесн значения давления н плотности, О 0 у = с /с — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Для того чтобы найти (др/др), представим плотность и давле- 5' ние в виде (1.3). Тогда, линеаризуя (1), получаем ("Ро/ао) Р Используя уравнение состояния идеального газа, имеем РР— й йТ Р Р (3) где Р = 8,314 Дж/(моль К) — универсальная газовая постоянная, )г — молекулярная масса, Т вЂ” температура в кельвинах.

Из (2), (3) для скорости звука следует РО ыа Кто Ь'З с- ~у — ~ = [з — ) (4) 1.1.4. Выразить адиабатический модуль объемной упругости к, связывающий приращения давления и плотности а' аа /О ~аа /~0 (1) (где  — адиабатический коэффициент сжатия) через скорость а звука с. Решение. Согласно задаче 1.1.1, малые возмущения давления и плотности в звуковой волне связаны соотношением ~-В =" Из формул (1), (2) получаем к = Рос .

(3) Таким образом, измеряя скорость звука и плотность среды, можно найти ее объемный модуль упругости. Такой способ оказывается наиболее эффективным для слабо сжимаемых сред- жидкостей и твердых тел. Заметим, что число Маха М = о/с, введенное в задаче 1.1.1, в силу формул (2.3), (2.4) может быть также записано как М = а'/ао = Р'/к. (4) Поэтому величину к иногда называют характерным внутренним а давлением среды. 1.1.5. Вывести формулу для скорости звука в идеальном газе. Решение, Уравнение адиабатического процесса в идеальном газе имеет вид ю Эта формула известна как формула Лапласа, так как именно Лаплас показал необходимость введения множителя Т для аднабатического распространения звука.

1.1.6. Рассчитать адиабатический модуль объемной упругости (внутреннее давление) для воздуха (с = 330 м/с, ро = = 1,3 кг/м, т = 1,4) и воды (с = 1500 м/с, р = 1000 кг/м ). Ответ. Для воздуха к = с ро = 1,4 10 Па, В случае 2 . з идеального газа (см.задачу 1.1.5) внутреннее давление к а свЯзано с Равновесным давлением РО фоРмУлой Ро = к /Т, откУ- а да р = 1 атм.

В случае воды получаем гораздо большую велио 9 з чину к = 2,25 10 Па = 23.10 атм. Поэтому для волн, распространяющихся в воде, линейное приближение справедливо в гораздо более широком диапазоне приращения давления, чем для волн, распространяющихся в воздухе. 1.1.7. Получить приближенную формулу для скорости звука в воздухе, учитывая, что Т = 1,4 н (г = 28,8 г/моль Ответ. Скорость звука (м/с) рассчитывается по формуле см20Т о (1) где Т вЂ температу в кельвинах.

О 1.1.8. При какой температуре скорость звука в воздухе ч удвоится по сравнению со скоростью при 0 С и при какой станет в два раза меньше? Скорость звука при 1 = 0'С равна с = 330 м/с. о о ь Ответ. с = 2с при г = 819 С, с = с/2 при ( — 205 С о (если бы воздух оставался идеальным газом). 1.1.9. В два свистка одинаковой длины вдуваются: воздух, о охлажденный до температуры жидкого воздуха (Г = — 180 С), 1 и теплый воздух. Один свисток издает звук на октаву выше, чем другой Какова должна быть температура воздуха 1, вдуваемого во второй свисток? Ответ. Отношение резонансных частот свистков пропорпионально отношению скоростей звука в них.

Из (5.4) получаем = 99 С. 2 1.1.10, Рассчитать "звуковой барьер" самолета (когда скорость его равна скорости звука), на высоте 9 км, где темпео о ратура -?О С, и сравнить его со звуковым барьером при 0 С на уровне моря. Зависит ли барьер от атмосферного давления? Ответ. Около 1000 и 1200 км/ч независимо от давления. 1.1.11. Какова скорость звука внутри цилиндра двигателя внутреннего сгорания сразу же после вспышки, когда давление р равно 200 атм и температура 1000 С, если для газовой смею си у = с /с = 1,35, а плотность смеси при 0 С и атмосферном давлении ро = !О Па равна РО = 0,0014 г/см? 5 3 Решение Считая процесс адиабатическим, находим плотность газовой смеси после вспышки р ро(р/р ) ~/Откуда скорость 1/2' звука с = (ур/р) = 620 м/с 1/2 1.1.12.

При интерференции двух плоских звуковых волн, излучаемых двумя одинаковыми закрытыми трубами длиной ! = = 60 см, вследствие различия температуры воздуха в них создается 1 бйение в секунду. Температура воздуха в трубе, дающей более низкий тон, равна !6 С Какова температура воздуха в другой трубе? Считать, что генерируется первая мода колебаний закрытой трубы, т.е. длина волны звука ?Г = !/2. Ответ ! = 16,5 С 2 1.1.13. Записать решение волнового уравнения для плоской монохроматической волны. Найти соотношение между амплитудамн давления и смешения, колебательной скорости и ускорения частиц.

Решение. Согласно формулам (2 1), (2 2) решение волнового уравнения для давления в гармонической волне можно записать в виде р (х,() = Р' соз (ыг — ях), (1) где р' †амплиту давления, ы †часто, й = ы/с -волновое о число. Из (2 3) следует, что колебательная скорость находится в фазе с давлением о(х,!) о сов(ы(-?гх), о = р'/(р с). (2) Величина р с носит название волнового сопротивления (импе- данса) среды. Для амплитуды смешения частиц р = 2"и Ж и ускорения ц = ди/д! имеем из (2) О РО РΠ— — = ьхг О Ы РОСЫ О О РОС (3) Часто используется эффективное среднеквадратичное давление р, определяемое через среднее от квадрата звукового давлеэф' иия за один период волны Т = 211/ы: Т э2 Р = — ~Р Ж=2-.

2 ! 2 РО О Следовательно в воздухе на частоте давлении ро = 10 Па з частиц. Решение. Из задачи 1.1.13 имеем и, = р,'/(рос), ~о = и /ш Учитывая, что для воздуха р с = 42 г/(см ° с), получаем и, г. = 4,810 м/с, Ро= 7,610 м. 1.1.17. Человек с хорошим слухом воспринимает звуковое давление амплитуды р' = 10 дин/см прн частоте 2000 Гц. Вычнслнть амплитуду смешения, скорости и ускорения частнц воздуха в такой волне Решить ту же задачу при частоте 1000 Гц. Ответ.

На частоте 2000 Гц: Р = ио/(2п() = р'/(2п)р с) = = 1,9.10 см, ию ~о ро/(рос) = 2,4 10 см/с, ~о = 2п)и = 0,3 см/с . На частоте 1000 Гц: г, = 3,8 10 осы, о о ио ~о = 2 4'10 см/с, ~о = 0,15 ем/с . 1.1.18. Сравнить колебательные скорости частиц в бегущей звуковой волне в воде н воздухе при одинаковом акустическом давлении.

(Принять р с для воды равным 1,5 1О г/(см с), в г. для воздуха 42 г/(см с).) Ответ. и /и = (р с) /(р с) м 3600. р , = р,'/и~. (4) 1.1.14. Найти длину звуковой волны 500 Гц прн температуре Г = 15 С н (плотность воздуха ро = 1,26 кг/и ). з Ответ. Л = сЯ = ) 47р7р м0,7м. 1.1.15. Смешение частиц в плоской бегушей в воздухе звуковой волне имеет внд Ч = 5 10 з(п (1980г-бх) (м]. Найти: частоту колебаний; скорость распространения волны; длину волны; амплитуду скорости колебания каждой частицы; ускоренне; амплитуду звукового давления, если распространенне звука происходит адиабатически (р с = 420 кг/(м с)). г.

о Ответ )(ля данной волны угловая частота ю = 1980 с, волновое число й = 6 м, амплитуда смещения Ч = 5 10 м. Слеп довательно, 7 = ы/2п = 315 Гц, с ы/й = 330 м/с, Л 2п/й = м ио чо чоы 99 10 м/с ~о = ы» - 0,2м/с, ро иорос = 0,04 Па. 1.1.16. Плоская волна с амплитудой акустического давления 0,0002 дин/см прн 1000 Гц (порог слышимости) распространяг ется в воздухе.

Найти значения амплитуды скорости н смешения 13 1.1.19. Амплитуда колебательной скорости в плоской гармо. -5 нической звуковой волне в воде равна о 5 10 см/с. Выо числить амплитуду смещения н звукового давления на частоте 100 Гц. Как изменятся эти величины, если такую же колеба- тельную скорость имеет волив в воздухе? Ответ. Амплитуда смещения Р = 8 10 Ю м; амплитуда дав. о лепна; в воде р' = 0,75 Па, в воздухе р' = 2,1 1О Па, 1.1.20. Исходя нз лннеаризованных уравнений гидродинамики идеальной среды, вывести формулы для объемной плотности энер- гии и вектора плотности потока энергии звуковой волны.

Решение. Исходим из уравнений (1 4), (1.5). Заменяя при- ращение плотности приращением давления: р' = р'/с, получим Ф вЂ” Д . б~ч т — О, р в- + Чр — О. (1) Рос Умножим первое нз уравнений (1) на р', второе на т. Склады- вая полученные соотношения, запишем 2 д ' ро л- [ — Š— ь -2 — ) + Йу (р' ч) = О. 2р сз о Уравнение (2) имеет внд дифференциального закона сохранения 8-- - б(т$ = О, дЕ (3) где Е, Б †квадратичн комбинации переменных, описывающих акустическое поле Следовательно.