Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 8

Иначе говоря, используя то обстоятельство, что соотношение (6А) согласно предпологкени!о не зависит от системы единиц измерения, мы устанавливаем систему единиц измерения так, чтобы !с аргументов у функции у имели фиксированные постоянные значения, равные единице. В этой относительной системе единиц измерения численные значения параметров а, ас„,..., а„определяются формулами П= ого! П,= ! а"'а"'... акт ! 2 а По-в = аюаы... аст ! т''' е где а, а„а„..., а„суть численные значения рассматриваемых величин в первоначальной системе единиц измерения. Нетрудно видеть, что значения П, П„..., П„г не зависят от выбора первоначальной системы единиц измерения, так как они имеют нулевую размерность относительно единиц измерения А„Ае,...

..., А». Очевидно также, что значения П, П„..., П„! вообще не зависят от выбора системы тех единиц измерения, через которые выражаются !с единиц измерения для величин а„а„..., аю Следовательно, эти величины можно рассматривать как безразмерные. !) Для простоты мы принимаем, что параметры а„ае,..., и, конечны и отличны от нуля. Последующие выводы распространяются на случаи, когда о„ае,..., ог могут обращаться в нуль илп бесконечность, если фуикпия г' при этих внеченинх аргументов непрерывна.

» с! СтРУКтУРА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ 31 Пользуясь относительной системой единиц измерения, соотно !пение (6.1) можно представить в виде (6.3) Таким образом, связь между и + 1 размерными величинами и, аы..., а„, независимая от выбора системы единиц измерения, принимает вид соотношения между и + 1 — й величинами П, П„..., П„», представляющими собой безразмерные комбинации из и + 1 размерных величин '). Этот общий вывод теории размерностей известен под названием П-теоремы.

Если известно, что рассматриваемая безразмерная величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция может зависеть только от безразмерных комбинаций, составленных из определяющих размерных величин. Очевидно, что в соотношении (6.3) систему безразмерных параметров П„П„..., П, „. можно, изменяя вид функции 1, заменять другой системой безразмерных параметров, являющихся функциями ы — )г параметров П„..., П„».

Нетрудно видеть, что из п параметров а„а„..., а„, среди которых имеется не более )г параметров с независимыми размерностями, нельзя составить больше п — й независимых безразмерных степенных комбинаций. Это непосредственно вытекает из вывода соотношения (6.3), если за величину а мы примем любую выбранную безразмерную комбинацию, определяемую величинами а„ат,..., а ° Всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.

В этом, собственно, и заключается источник полезных приложений метода теории размерности к исследованию механических задач. »1е»! меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, тем больше ограничена функциональная зависимость и тем проще вести исследование. В частности, если число основных единиц измерения равно числу определяющих параметров, которые имеют независимые размерности, то с помощью теории размерности эта зависимость полностью определяется с точностью до постоянного множителя.

В самом деле, если п = й, т. е. все размерности независимы, то из параметров а„а„..., а„нельзя образовать безраамерной комбинации, и поэтому функциональная ') Полученный вывод необходимо прокорректировать, если функция 1 (аг, а,,..., а», а»ег,..., а„) прн еначеннях первых» аргументов, равных нулю нлк бесконечности, терпят раарыв.

В соотношении (6.3) первые» аргументов можно заменить едкннцен только в тех точках, в которьгх а„аа,... а» отлвчны от нуля нлк бесконечностя! поэтому в таких точках число существенных аргументов е правой части (6.3) может превышать л — ». З2 овщля тковия глзмкгности для глзличных внличин [га. г зависимость (6.3) может быть представлена в виде т ш а а = са,'а,г...а„", где с есть безразмерная постоянная, а показатели т„т,„..., лг„ легко определяются с помощью формулы размерности для а. Что же касается безразмерной постоянной с, то ее можно определить либо опытом, либо теоретически, решая соответствтющую иатемагическую задачу.

Очевидно, что теория размерностей приносит тем бблыпую пользу, чем болыпе мы можем выбирать основных единиц измерения. Выгпе мы видели, что число основных единиц измерения можно выбирать произвольно, однако увеличение числа основных единиц связано с введением дополнительных физических постоянных, которые также должны фигурировать среди определяющих параметров. Увеличивая число основных единиц измерения, мы увеличиваем число размерных постоянных; в общем случае разность гг 'г 1 — й, равная числу безразмерных параметров, в которых формулируется физическое соотношение, остается постоянной.

Увеличение числа основных единиц измерения может приносить пользу только в том случае, когда из дополнительных физических соображений ясно, что физические постоянные, возникающие при введении новых основных единиц измерения, несущественны. Например, если мы рассматриваем явление, в котором имеют место механические и тепловые процессы, то для измерения количества тепла и механической энергии мы можем ввести две различные единицы измерения — калорию и джоуль, но при этом необходимо ввести в рассмотрение размерную постоянную Х вЂ” механический эквивалент тепла.

Допустим теперь, что мы рассматриваем явление теплопередачи в движущейся несжимаемой идеальной жидкости. В этом случае не происходит превращения тепловой энергии в механическую или обратно, и поэтому тепловые и механические процессы будут протекать независимо от значения механического эквивалента тепла.

Если бы мы располагали возможностью изменять величину механического эквивалента тепла, то это никак не сказалось бы на значениях характерных величин. Следовательно, в рассматриваемом случае постоянная у не войдет в физические соотношения, и увеличение числа основных единиц измерения позволит получить с помощью теории размерности дополнительные важные сведения. В дальнейшем мы иллюстрируем эти выводы на примерах. й 7. Параметры, определяющие класс явлений При всяком изучении механических явлений мы начвнаем со схематизации, с выделения основных факторов, определяющих интересующие нас величины, и в широком смысле слова с построения модели исследуемых процессов при помощи простейгпих $71 ПАРАМЕТРЫ, ОПРГДЕЛЛЮЩПК КЛАСС НВЛКНПИ зз образов и явлений, уже выясненных и изученных.

Правильная схематизация очень часто представляет собой трудную задачу, требующую от исследователя большого опыта, интуиции и предварительного качественного выяснения механизма изучаемых процессов. Сущность некоторых задач заключается в проверке правильности гипотез, справедливость которых более или менее вероятна. Выделение определяющих факторов и глубокое проникновение в существо взаимных связей и закономерностей — это основа сознательного использования и управления явлениями природы для успешного разрешения многообразных задач, поставленных в жизни перед человечеством.

Свойства тел и элементарные физические законы, которые играют существенную роль и управляют явлением, характеризуются рядом величии, которые могут быть размерньп1и или безразмерными, переменными или постоянными. Механическая система и состояние ее движения определяются рядом размерных и безразмерных параметров и функций. Рассматривая совокупность различных механических систем, совершающих некоторые движения, мы всегда можем ограничить соответствующим образом класс допустимых систем и двигкеннй так, чтобы конкретная система и ее движение определялись конечным числом размерных и безразмерных параметров.

Ограничение класса допустимых систем и движений всегда может быть достигнуто дополнительными требованиями о фиксировании отвлеченных параметров и вида задаваемых функций задачи в безразмерной форме. Теория размерности позволяет получить выводы, вытекающие из возможности применять для описания физических закономерностей произвольные или специальные системы единиц измерений. Поэтому при перечислении параметров, определяющих класс движений, необходимо указывать все размерные параметры, связанные с существом явления, независимо от того, сохраняют ли эти параметры фактически постоянные значения (в частности, это могут быть физические постоянные) или о1п| могут изменяться для различных движений вьщеленного класса, Важно, что размерные параметры могут принимать разные численные значения в различных системах единиц измерения, хотя, возможно, 'и одинаковые для всех рассматриваемых двиягеннй.

Например, при рассмотрении движений, в которых вес тел существен, мы обязательно должны учитывать в качестве физической размерной постоянной ускорение силы тяягестид, хотя величина д постоянна для всех реальных движений. После того как ускорение силы тяжести д введено в качестве определяющего параметра, мы можем, ничего не усложняя, искусственно расширять класс движений путем введения в рассмотрение двиягений, в которых 34 ОВЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН игл.

1 ускорение д принимает различные значения. В ряде случаев подобный прием позволяет получить практически ценные качественные выводы. Как находить систему параметров, определяющих класс явленийт Таблицу основных параметров, определяющих явление, всегда легко выписать, если задача сформулирована математически. Для этого нужно отметить все размерные и безразмерные величины, которые необходимо и достаточно задать для того, чтобы численные значения всех искомых величин определялись уравнениями задачи.