Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 7

В настоящее время в исследованиях ряда механических явлений мы еще не можем определять движения с помощью соотношения (5.3) или (5.7), так как наукой еще не решены окончательно простейшие задачи о зависимости силы и кинетической энергии от обстоятельств механического состояния системы. В аналитической механике всегда подразумевается, что законы для сил илп выражение потенциальной энергии известны. Основные задачи аналитической механики связаны с вопросами математического аппарата исследования: с методами интегрирования уравнений движения и установлением различных эквивалентных или более широких принципов, которые могут заменять исходные опытные законы ').

О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА 27 Главнейшая задача механического или вообще физического исследования многих явлений заключается в установлении законов для сил в зависимости от основных характеристик состояния движения и в связи с этим в выявлении определяющих характеристик и самой возможности установления подобных законов для практических целей. Основная заслуга Ньютона состоит в том, что он указал на произведение массы на ускорение как на величину, котораяможет иметь одинаковое значение для разных тел и различных движений, происходящих в разных местах пространства с различными скоростями, и главное как на величину, которую можно в ряде случаев определять в опытах в функции от времени, положения и скорости точек системы.

Однако определение силы в функции простейших характеристик движения, как мы видели, принципиально не всегда возможно. В этих случаях возникает вопрос, не удобнее ли вместо произведения массы на ускорение взять другие характеристики движения и исследовать их связьг' Рассмотрим еще кратко вопрос о силах инерции. Возьмем совокупность различных систем координат, движущихся друг относительно друга. Ускорение имеет различную величину и направление" в двух системах координат, совершающих разные движения. Связь мелтду ускорениями точки по отношению к системам координат, движущимся друг относительно друга, устанавливается в кинематике.

йты можем зависимость силы от основных характеристик движения устанавливать опытно в некоторой определенной системе координат, обычно в системе координат, связанной с Землей или с центром тяжести солнечной системы. Если нам известны законы для сил в некоторой системе координат, то мы легко найдем произведение массы на ускорение, т. е. силу в любой системе координат, движение которой относительно исходной системы задано. Как известно, в этом случае мы должны вводить в рассмотрение так называемые силы инерции.

Для наблюдателя, связанного неизменно с подвижной системой, действующие силы слагаются из сил, определенных в системе координат, в которой производился опыт (исходная система координат), и из сил инерции, которые для подвижного наблюдателя с механической точки зрения неотличимы от любых других сил.

ческую проблему о составлении дифференциальных уравнений движения нельзя считать простой н уже принципиально разрешенной. Как раа аадача о составлении уравнений движения, аадача о действующих силах. т. е. о правых частях дифференциальных уравненийдвижения, является основной задачей физических исследований, причем даже в условиях возможных применений классической механики эта задача не разрешена в очень многих случаях. В тех же случаях, когда для простейших приложений существует необходнмое приближенное решение, оно нуждается в постоянных уточнениях. 26 ОвгЦАЯ теОРБЯ РАзмеРностп ДлЯ РАзличных величин !Тл г й 6.

Структура функциональных связей между физическими величинами Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или непосредственно из опыта, представляют собой функциональные зависимости между величинами, характеризующими исследуемое явление. Численные значения этих размерных физических величин зависят от выбора системы единиц измерении, не связанной с суще тном явления. Поэтому функциональные зависимости, выражающие собой физические факты, которые не зависят от системы единиц измерения, должны обладать некоторой специальной структурой. Пусть мы имеем размерную величину а, которая является функцией независимых между собой размерных величия а„а„...,а„: а = )' (аы а„..., аз, ас.„,..., аз); (6.1) некоторые из этих параметров в рассматриваемом процессе могут быть переменными, другие — постоянными.

Выясним структуру функции ) (а„аю..., а,) в предположении, что эта функция выражает собой некоторый физический закон, независимый от выбора системы единиц измерения '). ') Подчеркнем, что по предположению функциональная связь (6Л) выражает собой только одно существенное физическое соотношение, определяющее величину а в функции независимых между собой определяющих величин а„а,...., а„, и, таким образом, не являетоя общим видом мыслимой математической связи между некоторой совокупностью размерных величин, независимой от выбора сиотемы единиц измерения.

Например, для величин ап аз,..., ав, д, Р, т, где у — ускорение силы тяжести, Р— вес и т — масса некоторого тела, наряду с (6.Ц верно соотношение Р а = ((аы з,..., аз) + Ф (аы зз,..., а,)!и —, (6. 1') которое для произвольной функции Ф (а,,.... аз) не зависит от выбора системы единиц измеренпя. Однако равенство (6.1) распадается на две вообще разные физические аакономерностп: соотношение (6.1') и связь Р = ту, пз воторых последняя в данном вопросе может рассматриватьоя как зпаразптическаяз, Можно было бы лривестп множество других искусственных прпыеров соотношений, неаавнсимых от единиц намерения и исключаемых прп. натой вып1е постановкой задачи.

Рассматриваемую физическую закономерность мы берем в форме (6.1) и в дальнейшем пользуемся только допущением о существовании такой связи. которая может быть в общем случае неоднозначной. Вопросы теоретического или экспериментального метода фактического установления втой связи в последующих рассуждениях не имеют значения. !1менно поэтому исследование соотношений между размерными величинами н неявной форме Ф (а, а„аз,..., ав) = 6 СТРУКТУРА ФУН1СЦИОНЛЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ Пусть среди размерных величин а„ах,..., а„первые )с величин ()с ( и) имеют независимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно й).

Независимость размерностей означает, что формула, выражающая размерность одной из величин, не может быть представлена как комбинация в виде степенного одночлена из формул размерности для других величин. Например, размерности длины Е, скорости ),!Т н энергии МЖТв независимы; размерности длины („ скорости (,(Т и ускорения (.!Тв зависимы. Среди механических величин обычно имеется не более трех с независимыми размерностями.

Мы предполагаем, что й равняется наиболыпему числу параметров с независимыми размерностями, поэтому размерности величин а, ат„,..., а„можно выразить через размерности параметров а„а„..., а, Примем й независимых величии а„ае,..., ах за основные величины и введем для нх размерностей обозначения (ав) =. А„[ав) = А„..., (ав) = Ав. Размерности оста.чьных величин будут иметь вид (а„) = А,"А,"*»...

А лв'. Изменим теперь единицы измерения величин а„а, ..., ах соответственно в и„а„..., ат раз; численные значения этих величин и величин а, ав„,..., а„в новой системе единиц будут соответственно равны: а' = а, а, '...ах са, и, ы а,=а,а„.

а,=- аеас, ав„, =- а,'а,*...а„: 'атви ах = алан. а„= а,ча.,'... авсеасс св ш с илп в форме нескольких неявных функций для величии а, б, с.. сов (а, б, с,..., ав, ав,..., ал) = О, ие лвляется рассмотрением вопроса в какой-то более общей форме. В таиой ч рактовке роль лпаравитическихв соотношений возрастает, причем в втовв случае не связанные с существом рассматриваемой задачи сложные вопросы разрешимости системы неявных уравнении не способствуют простоте получения основных результатов теории размерности.

3О ОБЩАЯ теОРиЯ РАЗмеРности ДлЯ РАзличных величин ~гв. ° В новой системе единиц измерения соотношение (6А) примет вид = у(ага„..., агою а,"'ав*... акегае!г,..., а,"а!о... акт!и„). (6.2) Это равенство показывает, что функция ( обладает свойством однородности относительно масштабов а„а„..., ад. Масштабы и„а,..., ат произвольны. Воспользуемся выбором этих масштабои для сокращения числа аргументов у функции !". Положим: 1 1 аэ = — Он=в а =— !в а т. е. выбереь! систему единиц измерения таким образом, чтобы значения первых й аргументов в правой части соотношения (6.2) равнялись единице ').