Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 6

д. Решение этих и других подобных задач механики основано на исследовании уравнения движения материальной частицы У=та, (5.3) где а есть вектор ускорения, т — масса материальной точки и У вЂ” вектор силы. Сила У в ряде случаев представляется в виде векторной суммы нескольких сил У=У,+У,+..., (5.4) характеризующих различные эффекты. Возможность замены одновременно действующих нескольких сил одной силой, определенной по формуле (5.4), является опытным фактом, Рассмотрим теперь подробнее величины, входящие в уравнение (5.3).

Ускорение а представляет собой кинематическую величину. которую всегда можно получить опытно независимо от уравнения (5.3). Масса т определяет свойство инерции тела. Для материальной точки понятие массы можно ввести на основе третьего закона Ньютона (всякое действие представляет собой взаимодействие с равными, но противоположно направленными силами). В самом деле, каждой материальной точке можно приписать значение постоянной величины — ее массы, так что при движении любых' двух изолированных взаимодействующих материальных точек ЭХ, и ЛХ, или ЛХ, и 3Хз будут иметь место соотношения т,,а,+та =О, т,а +тэаз — — О. (5.

5) 2й овщхя ткогпя глзмкгности для гхзлььчгьььх вклнчан [г. Следовательно, отношение масс всегда можно определить из опыта независимо от уравнения (5.3) путем измерения отношения ускорений при движенни взаимодействующих тел. Постоянство массы, определяемой соотношениями (5.5) прн всевозможных движениях, является опытным фактом, выражжощпм собой закон природы, который, вообще говоря, может допускаю уточнения. 1',слн движение известно, то соотношение (5.3) может служить просто равенством, определяющим величину суммарной силы.

На практике уравнение (5.3) очень часто служит для вычислеьшя силы. В задачах об определении движения соотношение (5.3) можно использовать только в том случае, когда известна зависимость силы от величиьь, характеризующих движение (времени координат положения точки, скорости и т. п.). Эта зависимость может бьзть получена либо теоретически на основании дополнительных гипотез, которые обязательно должны быть проверены на опыте, либо непосредствепно опытным путем. Как при теоретических рассуждениях, так и в опытах определекие зависимости силы от различных физических величин получается с помощью уравнения (5.3). Из наблюдения и изучения простейших движений устанавливается зависимость произведения та от других параметров движения.

Затем полученные зависимости оообщаются на более сложный класс движений, справедливость обобщений опять должна проверяться на опыте путем сравнения выводов, полученных из уравнений движения, с результатазпл опыта. Таким образом, общий путь получения закона всемирного тяготения из законов Кеплера характерен для определения силы в зависимости от параметров движения. Аналогичным образом определяется сила взаимодействияэлектрических зарядов — закон 1йулопа, сила магнитного напряжения — закон Био — Савара, сила капиллярности — закон Вебера, сила трения между твердыми телами — закон трения Кулона, связь между напряжениями и деформациями в упругом теле— закон Гука, сила вязкого трения внутри жидкости — закон Ньютона и т.

п. с1асто высказывается мнение, что силу можно определить независимо от уравнения (5.3) статическим путем. В самом деле, в ряде важных случаев, в частности, когда можно принять, что сььла зависит только от положения, зависимость силы от координат зьояьно определить путем сравнения искомой силы с известными силами из рассмотрения частного случая движения — покоя, когда а = 0 '). ь) Нэ практике при определении спл чэсто пользуются еще тем, что системе сил ие меняется прп сообщении всей системе поступательного движения с постояниой скоростью, тэи как при этом ускорения ие измеинютси.

О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА Однако в связи с этим пеобходпмо иметь в виду следующее: Во-первых, сравш1вая при статнческои определении силы искомую силу с известными силами, мыпользуемся уравнением (5.3) прп ч — О, во-вторых, утверждение о справедливости зависимостей, найденных для силы при покое, также и при движении является дополнительной гипотезой, требующей опытной проверки, которая осуществляется с помощью уравнения (5.3). Часто опытная проверка не подтверждает сделанного предполояхения. Такой случай имеет место, например, с силами трения; оказынается, что трение при покое (при скорости Р =.= О) и при движении (при о ,—ь- ~0) может быть различным; так обстоит дело и с силой пружпяы, действующей на подвешенный груз.

Закон, определяющий силу в завнсимости от натяжения [формула (5.2)), справедливый для пружины любой массы при статических измерениях, перестает быть справедливым при движении, причем отклонения получаются тем бблыпнмн, чем больше масса пружины. Если масса пружины мала по сравнению с массой груза, то формулу (5.2) можно считать справедливой при движении груза. Часто вообще нельзя сказать, что сила определяется как функция времени, положения, скорости и ускорения. В самом деле, рассмотрим суммарную силу, действующую со стороны воды на лодку, совершающую сложные петлеобразные движения по поверхности воды.

Сила, действующая со стороны воды на лодку, зависит от состояния движения воды, которое определяется всем законом движения лодки. Пусть в двух различных движениях лодки для некоторого одного и того же момента времени (время можно отсчитывать от начала движения, когда вода н лодка покоились) положение, скорость и ускорение лодки одинаковы. Очевидно, нельзя сказать, что силы, действующие в этот момент со стороны воды на лодку, будут одинаковы; силы могут значительно различаться между собой. В первом движении в предыдущие моменты лодка могла сильно взволновать воду, тогда как прп втором движении лодки движение воды в рассматриваемом месте может быть более спокойным.

В этом примере очевидно, что силы, действующие на лодку, будутзависеть функциональным способом от закона движения, т. е. от всей истории движения; иными словами, будет иметь место как бы явление наследствен- ~ ~ости. Таким образом, опытные законы природы, подобные закону всемирного тяготения, закону Вука и т. п., получены из рассмотрения широких классов движения, в которых величина силы определялась как произведение массы на ускорение.

Следовательно, в конкретных задачах, связанных с определенном движения, мы не можем ввести в рассмотрение силы незавигнмо от уравнения 7 = — та, использованного применительно ь соответствующим опытам. 2б ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗГП!ННЫХ ВЕЛИЧИН [Гл, 1 Исследование механических явлений можно проводить аналогичным путем,ерли взять вместо силы за основную величину другое понятие, например, кинетическую энергию системы. Равенство) Е =',~)),— (5.6) мы можем рассматривать как определение кинетической энергии механической системы.

Исследуя экспериментально некоторые классы движений данной механической системы, мы можем подметить зависимость величины энергии Е от ряда других механических характеристик. Например, при движении консервативной системы устанавливается, что кинетическая энергия может быть представлена как некоторая функция координат точек системы и аддитивной постоянной Ь, значение которой выделяет известный подкдасс среди всех возможных движений системы: Е = — 11+Ь, (5.7) Величина гг носит название потенциальной энергии системы. Равенство (5.6) и закон (5.7), характеризующий консерватнвнуго систему, приводят н уравнению Е гв гг — +)г Ь, 2 (5.8) ') В конце ХЧШ в. главное внимание и усилия ученых-теоретиков были направлены на исследование и преодоление укааанных математических трудностей (задачи небесной механики, раавитие общей теории дифференциальных уравнений, вариационные принципы и т.

д.). Исходные уравнения движения рассматривались в общем виде, "в связи с этим была распространена точка арення о сводпмостн физических явлений к механическим движениям и о законченности механгпш как науки. Основная трудность усматривалась в интегрировании дифференциальных уравнений механики. Иавестное положение Лапласа гласило: дайте начальные условия, и этого достаточно. чтобы предсказать все будущее и восстановить все прошедшее. Однако нужно заметить, что даже в ',рамках классической механики теоретн- которое выражает собой закон сохранения механической энергии.