Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 5

Поэтому единая универсальная система единиц измерения, связанная с законами тяготения, распростанения света и вязкого трения в воде или с какими-нибудь другими физическими процессами, во многих случаях носила бы искусственный характер и была бы практически неудобна. Наоборот, практически в различных разделах физики удобно пользоваться системами единиц измерения с различными основными единицами в соответствии с существом и сравнительной значимостью физических понятий, применяемых для оппсания рассматриваемых явлений.

В механике за основные величины удобно взять силу, длину и время, причем в технической механике единицы для сил и длины удобнее взять инымн, чем в небесноймеханике; в электротехнике за основные величины выгоднее принять силу тока, сопротивление, длину и время (агнпер, ом, сантиметр и секунда) и т. д. Более того, при конкретном изучении отдельных специальных классов явлений численные значения количественных характеристик часто выгодно выражать в виде отношения к задаваемым пли наиболее характерным величинам по смыслу рассматриваемых частных задач. В разных случаях эти характерные основные величины могут быть различными.

$ 4. О формуле размерности Зависимость единицы измерения производной величины от единиц измерения основных величин может быть представлена в виде 4юрмулы. Эта формула называется формулой размерности, и ее ппи. Из-за нзопрэделэнностп понятия длины меридиана и из-за погрешностей ~ го измерений оказалось удобнеэ опрэдэлить эталон длины, как это указано в сноске ') на стр. 15. В качестве зталона массы принлта масса эталона из платпно-прпдкевого сплава.

который первоначально равнялся массе 1 кубического деппметра дистиллированной воды при 4' С и прп атмосферном давлении. 2О ОВШАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН (Гл. ! ) 'М Т'. Покажем, что такой вид формулы размерности определяется следующим физическим условием: отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, будем ли мы измерять площадь в квадратных метрах плн квадратных сантиметрах, отношение двух площадей, измеренных в квадратных метрах, будет таким же, как и отношение зтпх же площадей, измеренных в квадратных сантиметрах. Для основных величин зто условие является составной частью определения единицы измерения и удовлетворяется само собой.

Пусть мы имеем какую-нибудь размерную производную величину у; для простоты примем сначала, что величина д является геометрической и поэтому зависит только от длин, следовательно, у = / (х„х„..., х„), где х„х„..., х„суть некоторые расстояния. Обозначим через у' то значение величины у, которое соответствует значениям аргументов х'„х,,..., х'„, Чис.тенное значение у, а также у',зависит от единицы измерения для расстояний х„х„..., х„. Уменьшим зту единицу или масштаб расстояний в а раз. Тогда согласно сформулированному выше условию мы должны иметь: / (х, х.„,, „х„) / (х а, х,а,, х„а) (4.1) у /(ха хе,, х„) /(х1а, х,а,,, х„а) т. е.

отношение у'/у должно быть одинаковым при любом значе- нии масштаба длин а. Из равенства (4Л) получаем: /(х,а, х.,а... х„а) /(х а, х а... х„а) /(х1 х» "х ) /(х, х,..., х ) нли — — — = у(а). у (а) у' (а) у (!) у'(() (4 й) Следовательно, отношение численных значений производной можно рассматривать как сжатое определение и характеристику физической природы производной величины. О размерности можно говорить только применительно к определенной системе единиц измерения. В разных системах единиц измерения формула размерности для одной и той же величины может содержать различное число аргументов и может иметь различный вид. В системе единиц измерения СОВ формулы размерности всех физических величин имеют вид степенного одно- члена 5] О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА 'г ( геометрической величины, измеренной в разных масштабах длины, зависит только от отношения масштабов длин.

Из соотношения (4.2) легко найти вид функции 1р (55). В самом деле имеем: — = 1(г(аг), = = 1~(аг). у (аг) ч (аг) у(() ' д(() Отсюда получаем: (4.5) таК КаК ПРИ Хг — — Х,а„Х' = Хги„..., Х„', = Х„аг ИМЕЕМ: а, и )1 Дифференцируя уравнение (4.3) по сгг и полагая а, = аг =- сг, получаем: ( Лгг ( гг НИ (а) ( 111 1Г(а) Ла а (, г(а )1.=1 а Интегрируя, найдем гр= Са Так как при а = 1 имеем 1(г =- 1, то С =- 1; следовательно, 1(г = Я (4 4) Этот вывод справедлив для любой размерной величины, зависящей от нескольких основных величин, если мы будем менять только один масштаб.

Нетрудно видеть, что если пзменяготся маггптабы а, б, у трех основных величин, то функция 1р будет пметь вид р =- а" б"у' Этим доказывается, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов. $ 5. О втором законе Ньютона При исследованиях механических или вообще физических явлений мы вводим,,во-первых, систему понятий — величин, характеризующих различные стороны изучаемых процессов (будем называть их просто характеристиками), и, во-вторых, систему единиц измерения, с помощью которой определяются численные значения введенных характеристик. Между характеристиками явления имеется ряд соотношений. Некоторые пз этих соотноше- 22 ОБщАя теОРия РАзмеРности для РАзличных Величин 1гл. г ний присущи только для конкретной системы и для отдельного частного процесса, другие соотношения могут быть справедливы для некоторых классов систем и движений.

Соотношения последнего рода имеют особую ценность, и отыскание подобных соотношений составляет важнейшую задачу физических исследований. Одним из средств определения соотноэпений между характеристиками могут служить методы теории размерности и подобия. Наша цель — показать в дальнейшем способы и приемы применения и'использования этих методов. Перед непосредственным изложением этих приемов рассмотрим на примерах сущность некоторых механических соотношений н общие характерные способы их получения. В связи с этим, а такяэе в связи с некоторым самостоятельным интересом мы рассмотрим основное соотношение механики, известное под названием второго закона Ньютона. Некоторые из соотнЬшений между характеристиками являются простыми следствиями, выражающими определение этих величин.

Например, величина скорости и равняется отношению пройденного пути к соответствующему промежутку времени; величина кинетической энергии материальной точки Е равняется тпз!2, где т есть масса материальной точки, и т. д. Помимо этих тривиальных соотношений, можно находить с помощью экспериментальных или теоретических исследований функциональные связи между численными значениями характеристик явления, вытекающве кз природыиособеняостейрассматрпваепого явления или класса явлений. Примером таких соотношений могут служить законы Кеплера о движении планет и закон всемирного тяготения.

Осветим кратко связь между этими законами. На основании многолетних и обширных наблюдений над движением планет в 1609 и 1619 гг. Кеплером были сформулированы следующие общие законы: 1. Планеты описывают около Солнца эллипсы, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса. 11. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, ометает в равные промежутки времени равные площади.

111. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам соответствующих средних расстояний планет от Солнца. Если определить величину силы взаимодействия Солнца и планеты как массу, умноженную на ускорение, то из законов Кеплера математическим путем можно вывести закон всемирного тяготения: (5.1) где Р есть сила притяжения, г — расстояние между материаль- О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА 23 ными точками, а т, и тх — их массы. Этот закон был установлен Ньютоном в 1682 г. и в дальнейшем был проверен и подтвержден сравнением полученных с его помощью многочисленных выводов с наблюдениями в природе и в специально поставленных опытах.

Другим примером может слун1ить закон Рука, выражающий зависимость между силой Г натянгения пружины и ее удлинением х. Этот закон выводится из наблюдений равновесия и движения груза, подвешенного на пружине, на основе определения величины силы как произведения массы на ускорение и в ряде случаев с использованием правила сложения сил. В математической записи этот закон имеет внд 'У= ах, (5,2) где а есть коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости пружины). Пользуясь этим законом, можно в различных частных случаях (грув подвешен на нескольких пруягинах, изменяется масса илн жесткость пружины, изменяются начальные условия движения и т. д.) теоретически определить закон движения, т. е. зависимость от времени всех механических величин, найти период колебания и т.