В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача, страница 5

(а) Функдня д +з, является непрерывной в рассматриваемом интервале Их и может быть разложена в рвд Тейлора: Если ограничиться двуми первымн членами ряда. та уравнение (а) запишется в виде Щ„, = — — '„™ с(х ду Из дъ дх (б) Аналогичным образом можно найт» количество теплоты, подводимае к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей Оу и Ою Количество теплоты дО, подведенное теплапроводностью к рассматриваемому объему, будет равно: (,дх +др +дв У (в) 18 где дОг — количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводностн за время дт; дОз — ноличество теплоты, которое за время Лт выделилась в элементарном объеме Да за счет внутренних источников; дΠ— изменение внутренней энергии нлн эчтавьпии вешсства, садержашегося в элементарном объеме Да, за время дт.

Для нахождения составляюших г . хеа уравнения (1-22) выделим н теле эле. ментарный параллелепипед со сторонами Дх, Ду, Дз (рис. 1-1!). Параллелепипед расположен так, чтобы его гь "%все гРани были паРаллельны соатветствУ- 81 ююнм координатным плоскостям. дд ев Количества теплоты, каторос под- вез еух водится к граням элементарнога объд ема за время с!т в направлении осей Ох, Оу, Оз, обозначим соответственно дО'., дОэ, УО.. Количество теплоты, «отаров бу- Рвг. г-Ы.

К внваву ввддере 'в"ж дет отводиться через противоппложпого Гравневвя тспзепрсволнастк ные грани в тех же направлениях. обозначим соответственно Щ +з . дОгггт, Ф,огнь. Количество теплоты, подведенное к грани ду Из в направлении аси Ох ва время Ит, составляет г(О„=ды((гол Дт, где проекции плотности теплового потока на напрввлеяле нормали к ука.

ванной грани. Количестгю теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется нак С учетом сказанного в общем виде уравнение (1-27) запишется следуюшим образом: —,+ —,+ — "+ —.—.О. дЧ дм д "С ч дз' (1-ЗО) Наконец, для стационарной теплопроводности н отсутствия ввутренних источников теплоты выражение (1-27) принимает вид уравнения 5!апласа: дп дес дм дх» дз да — + —,+ —,=О. Нахождение частных решений этих уравнений в частных пронзволных и некоторых других является основным содержанием теории тепло.

проводности. (1-31) с-т. хслОвня ОднОвндчнОсти для лэОцяссОВ твплОЛРОВОднОсти Так как лиффереицпальнае уравнение теплопроволвостн вывадено на основе обецил законов физики, тапио описывает явление тенлапроподноетн в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное лнфференциальпое уравнение описывает целый класс явлений теплопровопности. Чтобы мз бессислепного количества выделить конкретно рассматриваемий продесс и дать его полное математическое описание, к лнфференцнальнаму уравнепясо необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматрипасмого пропесса. 21 дс (1-28) Коэффициент пропорциональности а, на/с, в уравнении (1-28) вазывается коэффициентом температур оцроводностн н является физическим параметром вещества.

Он сушествен лля нестационарных тепловых пронессов и характеризует скорость иЗменения темпера. туры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводностн является мерой теплоннердионных свойств тела. Из уравнения (1-28) следует, что изменение температуры во времени с)(едт для любой точки пространства пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость намеиения температуры в леобой точке тела будет тем больше, чем больше коэффндиент теьспературопроводноств а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех ~очках пространства будет происходить быстрее а том теле, которое обладает большиы коэффициентом температуропроводиости.

Коэффициент температуропроводности зависит от природы вашества. Например, жидкости н газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом темперзтуропроаодности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют больпеой коэффициент температуропроводности. Далее, если система тел не содер>Кит виутренвнх источников тепла (е)=О), тогда выражение (1-28) принимает форму урзвпее!Ня Фурье: де ( д 855 (1-29) Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т. е. с=с(х, х, х), то дифференциалЬное уравнение теплонроводностн нревраецаетса в уравнение Пуассона: Эти частные особенности, которые совместно с дяфференциальным уравнением дают полное математичесиое описание конкретного процесса теплосроводности„называготся условиями однозначности н ли краевыми услозиямн.

Условия однозначности включают в себя: геометрические условия, характеризующие форму и разыеры тела, в которых протекает процеес; физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела; временные (начальные) условия, характерязущщие распределение температур в изучаеМом теле в начальный момент времени; граничные угловая, хараитсрвзующне взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей Средой. Геометр ячес кими головня м в задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс. Физическими условиями задаюша фнзнчесхие параМетры тела Х, с, р и др. и может быть задан запои распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестацнонарных процессов и состоят в задании закона раепрелеления температуры внутря тела в начальный момент времени. В общем случае начали. пое условие" аналитически может быть записано следующим образом: при т=б 1 — ((х, д, 2), (1-32) В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается! ори т=б 1=1з=сопз1. (1-33) Граничные условия могут быть заданы несколькими спасобамщ а) Гр анни и не условия первого рада. Прн зтом задается распределение температуры на поверхностя тела для каждого момента времени: 1,=((х, у, л, т), (1-34) где )з — температура на поверхности тела; х, и, и — координаты поверхности тела. В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжения всего вреыени протекания процессов тепло- обмена, уравнение (1-34) упрощается и принимает зиш 1, сопя(.

б) Граиячные условна второго рада. Прн атом задзютгл зНачения теплового потоки дла каждой точки поверхности тела и любого момента вреыени. Аналитичесии зте можно представить следуюшям образом: 4 ((х, р, и, т), (1-33) где 4 — плотность теплового потока иа поверхности тела; х, р, и†ках и в случае (1-34) †координа на поверхности тала. В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности В во времени остается постоянной: (ы=(и=попай (1-36) а(г,— ! ).= — л[ — ), г дс ' [.') ' (1-33) где л — нормаль к поверхности тола; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при л-б). Окончагельно граничное условие третьего рада можно записать в виде (д ) Л( « (1-И) Уравнение (1-38) по существу является чжтным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Коэффициент теплоотдачн зависит от большого числа факторов. Однако но многих случаях коэффициент теплоотдачн можно счита.гь неизменным, лозовому мы булем в лальпейшем при решении задач теплопроаодностн принимать величину а постоянной. г) Граничные условия четвертого рода характеризу!Рт условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону тгплопроводности. Предполагается, что между теламн осушест- * Зто оа«аленке «вравеалава н эл«««Г«а» обратно«о напра«юаня т«юювота пото«» Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании Различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

в) Граничные условия третьего рода. При этом вада- ются температура окружающей среды ! и закон теплообмена между поверхностью тела л окружающей среэлй. Граничное условие третьего рода характеризует закан теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для аписания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона — Рихмана. Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров.

Полробно этн вопросы будут рассмотрены во второй и третьей частях учебника. Согласно закону Ньютсна — Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в едиаицу времеви, пропорционально разности температур поверхности тела !» и окружающей среды а«,(1«)! ): д= (1,— ! ф (1-37) где и — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(ма К). Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела н окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности н единицу времени при разности температур между поверхностью тела н окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с едннищя поверхности в единицу времени вследствие тепла. отдачи [ураннение (1-37)), должна равняться теплоте, подеодимой к единице поаерхносги в единицу времени вследствие тегчапроводности нз внутре«гнил об.ъемов тела [уравнение (1-10) *), т. е. Рнс гпв. К гренд ын Головням непюрюю род». Г лаю нгоро ТЕНЛОПРОЕОДНОСТЬ ПРН СТАЦИОНАРНОМ РЕУКНМЕ ья пшвддчп тншоты чирия плоскшо стинкп (р.=.а( Прн установившемся, или стацнонарнои, тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т. е.

дгрдт=б. При зтоьг лнфференциальиое уравнение теолопроводности будет иметь виде ОТ2+ — ' —...О ср (2-1) плн р'!+ о" = — 0 Л Если внутренвие источники ттптготы отсутствуют нсвие (2-1) упростится и примет ввдг рт(=6 (2-1') (От=-0), тс НРаз- (2.2) нли л»* Н ое (2 2') ' Гренвчные умов н»створ ого роде дают по слтдест г рввнл со р шнн темпервтгрныв полее обювте всследсе п г в вневюего в, в юмором тшло перелеетсн пу ем теплопюмодностм длн днсепшвов'формулнровк едш в ею слттсь елее е о необгодвмм доп лвнюленме .слепне о йропвюннн родессе «о ввею ем теле вляетгя идеальный контакт (температуры соприкасающихся поаерхностшг ОдияпкОВы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоком, проходящих через поверхность соприкосновения: ' (бп) ''Лггн/' В задачах с граничным условием четвертого рода задается отноюение таигенсов угла маклана касательных к температурным ирнвым в в точке соприкосвовеиия тел илн тела н сре- ды' (рис.