Тема 5. Кодирование канала (часть 2) (Материалы лекций)

Если на выходе демодулятора находится непрерывный алфавит или его квантовое приближение (с более чем двумя квантовыми уровнями), говорят, что демодулятор принимает мягкое решение (зой десвюп). Если в системе используется кодирование, демодулятор подает такие квинтовые кодовые символы на декодер. Поскольку декодер работает на основе мягких решений, определяемых демодулятором, декодирование в гауссовом канале называется мягким. В канале с жестким решением процесс детектирования можно описать через вероятность символьной ошибки. Но в канале с мягкими решениями выбор детектора нельзя однозначно отнести к верному или неверному. Таким образом, поскольку определенного решения не существует, не может быть и выражения для вероятности ошибки; детектор может только определять семейство условных вероятностей или функций правлоподобия разных типов символов.

В принципе, декодеры с мягкими решениями можно сделать, но для блочных кодов они будут значительно сложнее декодеров с жесткими решениями; поэтому, как правило, блочные коды реализуются в системах с декодерами, работающими по принципу жесткого решения. Для сверточных кодов реализация и жестких, и мягких решений одинаково популярна. В этой главе мы предполагаем, что каналы являются двоичными симметричными и, следовательно, декодеры используют жесткие решения.

В главе 7 мы перейдем к обсуждению жесткого и мягкого декодирования для сверточных кодов, а также продолжим обсуждение моделей канала. 6.3.2. Степень кодирования и избыточность При использовании блочных кодов исходные данные делятся на блоки из й бит, которые иногда называют информационными битами, или битами сообщения; каждый блок может представлять любое из 2" отдельных сообщений. В процессе кодирования каждый А-битовый блок данных преобразуется в больший блок из н бит, который называется кодовым битом, или канальным символом. К каждому блоку данных кодирующее устройство прибавляет (н — й) бит, которые называются избыточными битами (гедцпдап| Ь|гз), битшни четности (рангу Ь)ьч), или контрольными битами (сйес)с Ь||а); новой информации они не несут.

Для обозначения описанного кода используется запись (н, /|). Отношение числа избыточных бит к числу информационных бит, (и — /г)//г, называется избыточностью (гедопдапсу) кода; отношение числа бит данных к общему числу бит, Мл, именуется стеленью кодирования (соде гаге). Под степенью кодирования подразумевается доля кода, которая приходится на полезную информацию.

Например, в коде со степенью 1/2, каждый кодовый бит несет 1/2 бит информации. В этой главе и в главах 7 и 8 мы рассмотрим методы кодирования, получающие избыточность за счет увеличения необходимой ширины полосы. Например, метод защиты от ошибок, использующий код со степенью 1/2 (100%-ная избыточность), будет требовать двойной, по сравнению с некодированной передачей, полосы пропускания. В то же время, если использовать код со степенью 3/4, то избыточность составит 33%, и увеличение полосы пропускания будет всего 4/3.

В главе 9 мы рассмотрим методы модуляции/кодирования для узкополосных каналов, где защита от ошибок происходит не за счет увеличения полосы пропускания, а за счет усложнения метода (и, как следствие, его аппаратной реализации), 6.3.2.1. Терминология в кодировании Разные авторы по-разному называют элементы на выходе кодирующего ус|ройствж кодовые биты (соде Ь(гз), канальные биты (сЬаппе! Ь(гз), кодовые символы (соде зушбо)з), ка- 346 Глава 6.

Канальное кодирование:часть 1 6.3.3. Коды с контролем четности 6.3.3.1. Код с одним коитропьныал битом Коды с контролем четности (рапгу-сЬес)г сок)е) для обнаружения или исправления ошибок используют линейные суммы информационных битов, которые называются символами (рангу рггпЬо)а), или битами четности (рапгу Ь1ы). Код с одним контрольным битом — это прибавление к блоку информационных битов одного контрольного бита. Этот бит (бит четности) может быть равен нулю или единице, причем его значение выбирается так, чтобы сумма всех битов в кодовом слове была четной или нечетной. В операции суммирования используется арифметика по модулю 2 (операция исключаюшего ИЛИ), описанная в разделе 2.9.3.

Если бит чегности выбран так, что результат четный, то говорят, что схема имеет полажитевлчую четнасть (ечеп рапгу); если при добавлении бита четности результируюший блок данных является нечетным, то говорят, что он имеет отрицательную четнасть (гхЫ рапгу). На рис. 6.8, а показана последовательная передача данных (первым является крайний справа бит). К каждому блоку добавляется один бит четности (крайннй слева бит в каждом блоке), дающий положительную четность. Бит четности 0 0 0 1 0 1 0 а) Горизонтальный контроль четности Вертикальный контроль четности Рис 6.3 Проверка чевнасти длл последовательной и параллельное структуры кода: а) последовательная структура; 6) параллельная структура 6.3.

Структурированные последовательности 347 нальные символы (сЬалпе! кушЬо)з), биты четности (рапгу Ьйа), символы четности (рапгу зушЬо)а). Вообше, по смыслу зти термины очень похожи между собой. В этой книге для двоичных колов термины "кодовые биты'*, "канальные биты", "кодовые символы" и "канальные символы" употребляются как синонимы. Следует уточнить, что названия "кодовые бнгы" и "канальные биты" подходят для описания только двоичных кодов. Такие обшие названия, как "кодовые символы" и "канальные символы", зачастую более предпочтительны, поскольку они могут означать как двоичное, так и любое другое кодирование. Отметим, по эти понятия не следует пугать с тем, что получается при группировке битов в передаваемые символы, о которых шла речь в предыдущей главе. Термины "биты четности" и "символы четности" примегиются только к тем составляюшим кода, которые представляют избыточные компоненты, прибавляемые к исходным данным.

Р(),л) = р)(1 — р)л (6.15) Здесь р — вероятность получения канального символа с ошибкой, а через с л! 1,) /!(л — /)! (6.16) обозначается число различных способов выбора из л бит 7' ошибочных. Таким обра- зом, лля кода с одним битом четности вероятность необнаруженной ошибки Р, в блоке из л бит вычисляется следующим образом: лЯ(ирли=летнее) (л — !) ) 2 (ири л = и ел ее иле), Ри) = ) ~, ~р )(1 — р) )=! Ы (6.17) Пример 6.1.

Код положительной четности Нужно создать код обнаружения ошибок (4, 3) положительной четности, причем символ четности должен располагаться на крайней левой позиции кодового слова. Какие ошибки может обнаружить код? Вычислите вероятность необнаруженной ошибки сообщения, предполагая, что все символьные ошибки являются независимыми событиями н вероятность ошибки в канальном символе равна р = 10 '. Решение Сообщение Четносп Кодовое слово 000 100 О!О 110 00! 101 011 111 0 0 000 1 1 ГОО 1 1 010 0 0 110 1 1 001 0 0 101 0 0 011 1 1 111 Четносп Сообщение Код может вьшвлягь все комбинации с одной яли тремя ошибками. Вероятность необнаруженной ошибки равна вероятности появления где-либо в кодовом слове двух вли четырех ошибок.

348 Глава 6. Канальное кодирование: часть ! В приемном оконечном устройстве производится декодирование, заключающееся в проверке, дают ли нуль суммы принятых битов кодового слова по модулю 2 (положительная четность). Если полученный результат равен 1, то кодовое слово заведомо содержит ошибки. Степень кодирования такого кода можно записать как х)(/(+ 1). Как вы думаете, может ли декодер автоматически исправить цифру, полученную с ошибкой? Нет, это невозможно. Можно только обнаружит!к что в кодовом символе присутствует нечетное количество ошибок.

(Если ошибка была внесена в четное число битов, то проверка четности покажет отсутствие ошибок; данный случай — это пример необнаруженной ошибки.) Предполагая, что ошибки во всех разрядах равновероятны и появляются независимо, можно записать вероятность появлениями' ошибок в блоке, состоящем из я символов: 6.5. Возможность обнаружения и исправления ошибок 6.5.1. Весовой коэффициент двоичнык векторов и расстояние между ними Конечно же, понятно, что правильно декодировать можно не все модели ошибки. Возможности кода для исправления ошибок в первую очередь определяются его структурой. Весовой коэф4ициент Хэмминга (Наппшпя ъе!я)гг) в(()) кодового слова Ю определяется как число ненулевых элементов в ().