Расчет конструкций в MSC Nastran Шимкович, страница 10

3.18- 3.2вв. Основы расчета конструкций в М5С/Й4И ' ОСйОЕЬ|","МЕтОдО','',:„";":;;".„"„":,„".,"„",;-',;:,':".".ь , кОнф~ньф;зл8мйитс~в,;;;:~!::;.;„',;;:;;:,;",~.'.,'ф2:; .: "Стоический::~~аСчЬт-,:,::;:,::,'.-',.';,:. ' ". '.-", - С7РП~ЧРС~Ий '~ВСЧЕт:66ЛКИ."-,".::",~~5';; ' Собд~енние".чсктоты ... " ':.'"':,',: -, ВВ.'ФОРМЫ.,'КбЛфбСНййс;:::,';:.':105 * 'Ф, Д'„,":Ь7:;, ,с",, ' ° .,',, -,:, ", „..".' В даньк й паве расськ77ричсио кв о~ новные нс нвиия ьмаада ко.

Кечныл е. с-- мен~с в 7ЬКЗ1 и аримеры расчеса консьр к;ий, ба.7ирвкмдиеся на ьлем~ нее ььаве. 7ча 37ик лримерОх 777дь" демаь~ 6оьы в средь М5С Идйь„с 7ем ч.обы ° ';""."':~!~'.„-".-!'„;:.'-".".'-'.;::У-":„,!,.',;:;!,'„„".","; "'-;:;:!."„'!.'.:;:4!:!;.,:,'!„.."::";.'.„к кона~ ачавы и7О7еч'ь овдодел нео6 кодимь ми навыками и мас приссчгиьь 4.1. Основы метода конечных элементов В разделе приводятся исходные положения метода конечных элементов.

уравнения для определения неизвестных узловых смешений, вытекаюшие из принципа возможных персмешсниьь, а также описываются основные задачи расчета конструкций. Соотношения метода конечных элементов лаются в различных формах; в координатной, матричной и векторной. в каждом конкретном случае читатель может выбрать более удобный для него вид записи. В конце раздела рассматривается численный пример использования соотношений МКЭ.

Чььтатели. знакомые с МКЭ, данный раздел могут пропустить. 4. 1. 1. Исходные положения .1Хеьнод конечных элеиеиоьое в поп аедиие десятилетия полу'шл очень широкое распространение и стал одним из основных методов расчета конструкций. Это обусловлено универсальностью подхода. лежащего в основе МКЭ, заключающегося в представлении геометрии любого деформируемого тела в ниле совокупности элементов простейшей формы: треугольной, четырехугольной и др. (рььс.

4.1). Рис 41 Элементы бывают одномерными. плоскими и пространственными. с прямолинейными или криволинейными сторонами. Вдоль каждой из них может оыть два или более узлов. Во всех узлах задаются обобнЬенные координаты Х (рььс. 4.1), называемые узлоеыии смен»ениями, совокупность которых для данного элемента лившем в виде матрицы (Л) =(Л1,Л2, Ли), т гле М вЂ” общее число узловых смешений элемента; злак Т означает транспонированис матрицы.

Узловые смещения могут представлять собой компоненты вектора перемещения узлов вдоль осей координат. а также углы поворота элемента а узловых точках. В пределах каждого элемента лля компонент вектора перемещения»7 любой ~очки М (рис. 4.1) задают аппроксимацию через узловые смешения, которые яв:щются неизвестными величинами: и,(И) =Ф»(М)Л», 1=1,2 3, к =1,2,...1х(. (4.1) То же в матричной записи (и) = (Ф) (Л) и векторной форме ц =Ф,»дЛ» — — Ф»Л» =(Ф) (Л), ~ де величины Ф,».

(М) называются фун»а»иями формы элемента и выражают связь между узловыми смещениями и перемещением точки теда; в качестве функций формы обычно используют полиномы; вие элемента данные функции полагаются равными нулю; Ф» — — Ф,»д,„(Ф) =(ФыФз,...Фы),И, — единичные орты (рис. 4.1); здесь и далее, если пе оговорено особо, используется правило сулсчираеания по пошоряющнмся индексам, то есть запись вида а,Ь» необходимо воспринимать как сумму 2,а,Ь,.

Соотношения (4.1) подставляк»тся в уравнения равновесия тела, из которых и определяются узловые смещения (Л) для каждого элемента. 4. 1.2. Уравнения равновесия Уравнения равновесия тела при использовании МКЭ удобнее всего получить исходя из лрщщина еозможнь»т перемен»ений. Пусть и — поле перемещений точек деформируемого тела под действием приложенных к нему внешних нагрузок.

Сооощим каждой точке тела дополнительное малое смещение Ь»7, допускаемое наложепныхш на тело связяьш (возможное перемещение). В соответствии с указанным принципом прирашенис работы внутренних снл Ь(У равно работе внешних сил Ь(у на возможных перемешсниях тела, то есть ЬУ =ЬН' (4.2) Обозначим через у внешнюю нагрузку„распределенную по объему тела х) а через р — нагрузку, распределенную по его поверхности Б. Тогда ЬИ'=~с) Ьпг(У+~р.ЬйЖ Выражение дзя работы енутреннит сил имеет вид 1151 ЬУ=)»т.ЬЫР, гле (т = (т( 0(е, — тензар напряжений, е = е,.и,.и.

— тензор деформаций, е( — слиничные орты, (, ( = 1. 2. 3. Тогда выражение (4.2) примет вид ~ст Ьеа(р=~д Ь(та(~'+~р.Ьй(Б. Г к в В случае милых деформаций тела е =%(, (4 А) где д, д„ м'И = -- "- '- + — 2 — (И вЂ” тешаорный оператор; с ( = 1, 2. 3; тг х,, х„— координатные оси, направленные вдоль единя шых векторов г,,г,.ез. Подставляя (4.1) в (4.4), подув((м выражение для компоне(гг тензора деформаций через узловые смещения 1(дф(к дФ1к 1, 4~ д.,- д; ~' или в матричной форме й= ЫМ.

(4А') где 1(Ву(= ~~'Ф~= ' - — — ' — + — — —; — матрица, связывакицая дефоръ(а(щи с узл 2, дх дх( ~ ловыми смещениями. "т Связь между компонентами гензора напряжений и деформаций для упругого тела выражается законом 1ука: (тв — Овыее(, (4.5) гле Вы( — упругие константы тела, ь). к.1= 1.

2, 3, или в матричной форме )Р)= 1ИЖ П((л(завив с(ола выражение (4,4'). найдем зависимость тензора деформаций от узловых смешений й= ЬМВ)И (4.5') Подставляя (4А-4.5) в (4.3), получим уравнение равновесия тела. содержащее перемещения его точек ~ОЧ(т Ь(%(й)Л' =~().Ь(тН'+~.Р.Ь(ТЖ. (4.6) Г ( в Применим теперь соотиошище (4.6) к конечному злемецту с некотории обьемом те,ограниченныв( поверхностыо 5е. Замечая. (топо(4.1) Ь(( =Ф, Ь)ч н подставляя (4.1) в уравнение (4.6). найдем бл; М -В%"Ф, г. «71г — 1Ч Ф,г(1« — 1Р Ф,«75 =О.

~лс й) =. 1, 2, ...Уй 4. 1.3. Матрица жесткости ! 1ос кольку Бл, — произвольные, отличные от нуля вг личины, то л:щ выполнения последнего равенства необхохимо„чтобьв все выражения н фигурных скобках обращались в поль. Иэ этих условий получаем систему линейных алгебраических уравнений, выражающую условия равновесия конечного зл: мента (К)()) =(Л, гле обозначсно Кч = ) Ъ Фг ПктФ Лг —.натрица жесткости зленента, которую с помощью ке «оогношсшй (гк4') п (4.5') можно так;кс зашюать в витке 7'; = ~ 7 ° Ф,«7Р'+ )г р ° Ф,г(5 — вектор узловых сил здсмтпа, Ге хе глс й ) = 1. 2, .. Х.

Совокупность уравпегпп1 (4.7) лля вссх элементов, дополненная урзвнснпяхш свят й, изложенных на тело (гранпчнь.с уг .ювия). представляет собой «истому уравнений равновесия рассматриваемого тола. Она записывав ~ ся н ниле. аналогичном (4 7) ~ ле (К) называется гтог агьной гиотрицеу жестко«ти теча: (Ц и (Д вЂ” векторы рядовых исрсме.пений и сил во«то тела. 4. 1.4. Основные задачи и уравнения расчета конструкций ; равнения типа (4.3) используются лля расчета коиструкпий на прочность при ~ т. ти нском пагружюн~~~ь 11з их решен~~я определяется вектор узловых «мештщп, л; лсе по соотношещшм (4 1) можно найти пг рсмсщсшщ |очек тела.

а по (4.4-4.5) или (4.4'-4.5') — лефорыаини и нащижсния. Пз (4.7) нетрудно полу'п1ть уравнения движения алсмснда Вводя по принципу ~ Лл«кнгн7 а объемные сиды ин«риип в интеграл лля узловых спл в (4.7) 4. д-г7 «)о' = — р, = — рФ, г., дг- получаем систему уравнений ;.%(л)+ <К) ().) =,Л, (4.9) где М,. = 3 рФ< .Ф<<(г' — .яап<рица масс элемента; р — плотность материала; гс (л) — вторая производная ио времени вектора узловых смещений. При наличии в системе сил вязкого сопротивления, пропорциональных скоростям точек. в (4.9) вводят лщтрицукоэфф«циенп<ов демпфирования (В), после чего уравнения дви;кения приобретают вид ',<Ч) ().<<+ (В) (л<+ (А) <л) =-(Д (4.9) Фарм'; аналогичную (4.9) или (4.9") принимает и система уравнений двигкеши для всего тела, используемая для расчета дпиахшки коиструкпий.

При отсутствии внешних сил система уравнений, подобная (4.9), ошщывает собственные кодебания тела. О<.в<скин«я в этом случае узловые смщиепия в виде ',л)с< . где о< — ча<"тога. с — врех<я. приходим к уравнснию ( — сох(<(П+ (КИ(Л<' = О, (4.10) Из условия неошчия нетривиальных ре<иенпй с<штепы (4.10) — равенства нулю ее определителя — находят собственные чпгв<ол<ь«о . оз,.... коле<бзиий и далее из системы (4.10) — соответствующие пм собственные ве<ыоры узловых смещений Г, ".3. < = 1, 2, .... называемые также собгтвеннычи <~н<ряа.чи юыебаиий конструкции. При исследовании задач упругой усьтойчиво< та элементов конструкций уравнения равновесия составляются < учетом изменения геометрии тела в деформированном состоянии.

В этом случае такгкс приходят к задаче из сщютвеипыс зпачсн<щ для уравнении вида ((К1 — р(К„)1(л<< —— О, (4.11) где с помощью.кавч<и<3ж г<о.кетриче<.к<эй жеста<э<тяп (КЭ1, называемой в з(БСУ Х4% дифф<-реициальиой, ущпывают работу внешних спл, обусловленную изменением геометрш< тела. 13 — параметр нагрузки. Приравнивая к нулю определитель системы (4.11): <(ег((К) — (3(К~)1= О.