rtc_lab_k_08 (Влияние положения полюсов)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ~ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ Лабораторная работа № 7К Влияние положения полюсов и нулей на ~-плоскости на частотные характеристики г~ифрового фильтра ЩФ) Голованов В.В. 2003 г. йевь работая Итоведовать, как форыиртьотоя вопдеоки и провалы АЧХ ЦФ в зависимости от расположения нулей и полюсов на к-плоскости.

Найти оптимальное расположение полюсов и нулей при минимуме порядка фильтра, чтобы удовлетворить предъявленным требованиям к АЧХ. Синтезировать фильтры со стандартными характеристиками (Баттерворта, Чебышева, эллиптический) для тех же исходных требований к АЧХ и сопоставить полученные результаты. Работа осуществляется с использованием программного пакета МАТ1.АВ. Ва ианты за ануй Затухание в полосе пропускания Р.р, дБ Затухание в полосе задерживания Вз, дБ Границы полосы заде живания Частота дискретшации Рв, кГц Границы полосы о скания Вариант Ур1, кГц 15 10 1.5 0.5 30 1б 20 1.5 1.5 40 О.б 0.3 50 15 17 12 гг 25 17.5 40 10 14 1.5 30 го 10 1.5 21 го 40 30 10 0.5 1.5 1.5 35 24 0.3 О.б 1.5 40 50 12 17 40 17.5 10 14 30 10 1.5 1.5 28 го 5.5 К аткие тео етические све ения Передаточную функцию цифрового фильтра (ЦФ) можно записать, зная нули и полюсы кк и рк .

Ко(к — к1)(к — к2)... (к — гД... (к — км) К(к)— (~ — Р1)(~ — Р2)" (~ — Рк) (~ — Ры) Ко(ехр(10) — к1)... (ехр()9) — кД... (ехр(10) — км) К(О) = (ехр() 0) — р1)... (ехр() О) — рк)... (ехр(19) — р1,1) где Кв — некоторый коэффициент (его можно положить равным единице), п1ах(М,К) — порядок ЦФ. При переходе к выражению для комплексной частотной характеристики делают замену к=ехр()2хГ/Гз)=ехр( 0), где 1 — текущая частота (в Гц), Гз — частота дискретизации (в Гц), 0 — угловой параметр, соответствующий нормированной частоте (при этом О=к соответствует частоте 1'=Уз/2).

Комплексная частотная характеристика в зависимости от углового параметра 0 приобретает вид: Каждую скобку вида (ехр() О) — к~) или (ехр(10) — рД можно рассматривать как вектор, направленный из нуля или полюса в текущую точку на единичной окружности, имеющую угловую координату О (см. рис.1).

Рис.1 При изменении углового параметра О векторы также изменяются, отслеживая положение текущей точки. Изменение модуля вектора дает вклад данного нуля или полюса в АЧХ ЦФ, а изменение угла между вектором и действительной осью к-плоскости — вклад в ФЧХ ЦФ. Вследствие того что функция ехр()0) изменяется периодически и изображающая точка, задающая текущую частоту, скользит по окружности единичного радиуса, возвращаясь в прежние положения, частотные характеристики ЦФ носят периодический характер, повторяясь с интервалом Л0=2к или М=Гя.

Для формирования АЧХ нужного вида следует разметить верхнюю полуокружность единичного радиуса на к-плоскости, обозначив полосы пропускания и задерживания. Для этого граничные частоты следует пересчитать в угловые параметры: О, =2Ы /Гя. Полюса нужно располагать в полосе пропускания внутри единичной окружности (для устойчивости фильтра требуется выполнение условия ~р~~ < 1 для любого К). Чем ближе полюс к окружности, тем более резкий и узкий всплеск АЧХ получится вблизи значения О, равного угловому положению полюса агя(р~) (здесь вектор, проведенный от полюса к окружности, самый короткий, а модуль этого вектора стоит в знаменателе выражения для АЧХ).

Нули размещают в полосе задерживания. Чем ближе нуль к единичной окружности, тем глубже провал АЧХ при значении О, равном угловому положению нуля агя(кД. На рис.2 приведена диаграмма полюсов и нулей ФНЧ с разметкой полос пропускания и задерживания в виде дуг единичной окружности и соответствующая этой диаграмме АЧХ фильтра. Каждому комплексному полюсу или нулю соответствует комплексно-сопряженный, расположенный в нижней полуплоскости. Рис. 2 По ок выполнения аботы 1.

Для выданного вам варианта задания выпишите в рабочую тетрадь значения частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания и задерживания и требуемых затуханий в этих полосах. Изобразите график допусков. Определите тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ППФ или ПЗФ).

Рассчитайте угловые параметры, соответствующие граничным частотам по формуле: Нанесите угловые значения на график допусков, проведя ось О, параллельную оси частот Г 2. Изобразите в тетради диаграмму полюсов и нулей, разместив полюсы в полосе пропускания, а нули в полосе задерживания. Для начала возьмите фильтр второго порядка (два нуля и два полюса; можете в качестве первоначального варианта взять только два нуля или только два полюса). Запишите ориентировочные значения координат полюсов и нулей. 3. Загрузите МАТ1.АВ. В командном окне задайте оператор » зр1оо1 Будет загружена программа ЯРТоо1 (йупа1 Ргосезяпя Тоо1).

Откроется окно ЯРТоо1: я1аг1пр.зр1. Нажмите кнопку Меж в середине нижней части окна (под списком Е111етъ). Откроется окно Г111ег Веяртег. В раскрывающемся списке А1яопйип выберите последнюю строку Ро1е/2 его Ей1от. В графической части окна появится к-плоскость с нанесенными на нее полюсами и нулями. Нажмите кнопку Ре1е1е АП в нижней части окна.

Введите значение частоты дискретизации (в Гц) в поле Яатр1~щ Егециепсу. Пользуясь кнопками с нанесенными изображениями стрелок и ластика, расположенными под значением частоты дискретизации, а также перемещая мышь с нажатой левой кнопкой, разместите полюсы и нули на к-плоскости в соответствии с рисунком, сделанным вами при выполнении п.2. Редактируемые полюсы или нули отображаются на диаграмме крупными значками зеленого цвета. Их координаты отображаются в разделе Ярес1йса11опз. Следите за тем, остается ли фильтр устойчивым (строчка ЯТАВ1.Е в разделе Меам етеп1з).

Невыделенные полюсы и нули отображаются мелкими значками синего цвета. В разделе Ярес1йса11опз задайте систему координат (Ро1аг или Б.ес1апр~1аг). Переключитесь в окно ЯРТоо1: я1агШр.зр1. Нажмите кнопку Ъ'1еж под списком Е111егз. Откроется окно Е111ег Ъ'1ежет. Укажите в разделе Р1о1з только один график — АЧХ (Маяпйийе), задайте масштаб (1шеаг или йес1Ье1з). Разместите окна Е111ег У1еяег и Е111ег Реяупег рядом друг с другом на экране. Перенесите в тетрадь схематичное изображение АЧХ с указанием значений на границах полос пропускания и задерживания. Для более точного определения координат интересующих вас точек графика используйте маркеры.

Можно использовать способ увеличения нужной части графика, применяя протаскивание мыши с нажатой левой кнопкой (предварительно нужно нажать соответствующую кнопку панели инструментов). Изменяйте положения полюсов и нулей, добавляйте новые полюсы и нули, добиваясь обеспечения заданных требований к АЧХ. Стремитесь обойтись наименьшим количеством полюсов и нулей.

Когда задача будет решена, пер срисуйте полученную диаграмму полюсов и нулей в тетрадь. Укажите координаты полюсов и нулей. Рядом сделайте схематичное изображение АЧХ, соответствующее конечной диаграмме на к-плоскости. Просмотрите другие характеристики синтезированного ЦФ (ФЧХ, импульсную, переходную, характеристику группового времени запаздывания). 4. Синтезируйте с<классические» фильтры для тех же исходных требований, изучите их характеристики и сравните с характеристиками фильтра, синтезированного в п.З.

Для этого откройте окно Е111ег Реяупег путем нажатия кнопки Меж в окне ЯРТоо1: з1агШр.яр1. Укажите класс фильтра в раскрывающемся списке А1уопйип. В разделе Ярес1йса11опя укажите тип фильтра (1оъразя — ФНЧ, ЫяЬразя — ФВЧ, Ьапйраяз — ППФ, ЬапсЫор — ПЗФ) и задайте требования к АЧХ. Нажмите кнопку Арр1у.

Вернувшись в окно ЯРТоо1: я1агШр.зр1, выделите идентификатор синтезированного фильтра в списке Е111егя и нажмите кнопку Ъ'1еж. Откроется окно ЕЖег У1ежег. Просмотрите характеристики фильтра. Занесите примерный вид АЧХ и диаграммы полюсов и нулей в тетрадь, с указанием значений на границах полос пропускания и задерживания (их можно считать из раздела Меаяпетеп1з или измерить, применяя маркеры). Укажите также порядок фильтра (раздел Ярес1йсапопя, поле Отйег). 5. Если у Вас осталось время, выполните задание для другого варианта, попробовав синтезировать фильтр другого типа.

6. Напишите комментарии и выводы по проделанной работе. .