ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 9

рис. !.20, б) цепи, к с л о жн ы м — цепи с числом узлов более двух и числом контуров более одного. Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологнчсскнх. Компонентные уравнения (уравнения вета е й) устанавливают связь между током и напряжением каждой ветви. Количество таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от входящих в ее состав идеализированных двухполюсных элементов.

При расширенном топо- логическом описании число ветвей и, следовательно, количество компонентных уравнений равны числу идеализированных двухполюсных элементов, а компонентные уравнения имеют наиболее простой вид— они вырождаются в рассмотренные ранее уравнения, связывакхцие между собой ток и напряжение на зажимах идеализированных активных и пассивных элементов. Таким образом, уравнения, составленные на основании закона Ома (1.9), (1.10), представляют собой компонентные уравнения для ветви, содержащей один идеализированный пассив- ный элемент — сопротивление. При сокращенном топологнческом описании количество компонентных уравнений уменьшается в соответствии с уменьшением числа ветвей, ио сами уравнения имеют более сложный вид Топологические уравнения отражают свойства цеди, которые определяются только ее топологией и не зависят от того, какие электрические элементы входят в состав ветвей.

К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа. (1.37) Первый закон Кнрхгофа устакавлквает связь между токами ветвей в каждом нз узлов ценя: алгебраическая сумма мгновенных значеннй токов всех ветвей, нодключенных к каждому нз узлов моделкруюгцей цени, в любой момент времени равна кулю, В соответствии с первым законом Кирхгофа для каждого нз узлов идеализированной цепи (как при расширенном, так и при сокращен- ном топологическом описании) может быть составлено у р а в н е н и е б а л а н с а т о к о в в узле ~я~~ гх =О, где 11 — номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу. Суммирование токов производится с учетом выбранных положительных направлений: всем токам, одинаково ориентированным относительно узла, приписывается одинаковый знак.

Условимся токи, направленные от узла, брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,— со знаком минус. Такой выбор не носит принципиального характера, а сделан только для удобства последующего изложения, поскольку изменение знаков, приписанных токам, соответствовало бы умножению правой и левой частей (1.37) на — 1. Токи ветвей, в которых содержатся управляемые или неуправляемые источники тока и напряжения, учитываются в уравнении (1.37) наравне с токами других ветвей.

° ФФФФ Пркмер 1.1. Саслювим уровяения баланса токов для всех узлов Чеки, схема которой изображена на рис. 1.24, а: узел (1) — 1, — 1з -1- ге+ ге — — О; узел (2).— гз (е + !з гг = О; (1,38) узел (3): — 1з Ч (в+ Ю О: узел (0): (г -т- (з — (в О. Если сгруппировать токи, направленные к узлу и перенести их в правую часть уравнения (1.37), а в левой части оставить токи, напРавленные от узла, то первый закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: сумма мгновенныхзначений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме токов, выпмкаюи(их из эпюго узла. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда (уравнения непрерывности) и отражает тот факт, что в узлах идеализированной электрической цепи заряды не накапливаются и не расходуются.

37 На основании первого закона Кирхгофа можно составить уравнение баланса токов и для так называемого о б о б щ е н н о г о у з л а, который представляет собой часть моделирующей цепи, охваченную произвольной замкнутой поверхностью. В этом случае в уравнении (!.37) алгебраически суммируются токи всех ветвей, входящих в гО (а) б) Рис. 1. 24. Примеры схем электрических цепей обобщенный узел, т. е. токи всех ветвей, пересекаемых указанной замкнутой поверхностью. Так, для обобщенного узла, выделенного пунктирной линией на рис. 1.24, а, уравнение баланса токов — г,— г,+г,=О.

(1.39) Нетрудно убедиться, что уравнение (!.39) вытекает из уравнений (1.38). Второй закон Кнрхгобгя устанавливает связь между изпряжениямн ветвей, входящих в произвольный контур: злгебрзическвя сумме мгновенных значений ияиряженнй всех ветвей, входящих в любой контур модеянрующей цепи, в кзждый момент времени равна нулю. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура можно составить уравнения баланса напряжений ветвей ~ ми=О, (1.40) где й — номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур. Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений н выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура, то оно входит в (1.40) со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

Изменение направления обхода контура, очевидно, соответствует умножению левой и правой частей (1.40) на — 1. ° ФФФФ Пример 1.2. Составим уравнения балинта напряягений ветвей для всех контуров цепи, схема которой приведена на рис. 1.24, б (номера напряткений ветвей совпадают с номерами соответствующих литов): контур 1: и — ит —— - О; контур 2: и.,'+ ит — —. О; 11.41) контурз; и,' и,, О, уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить не только дл о для напряжений ветвей, но и для напряжений элементов, входящих в вет ветви каждого контура.

Представляя напряжение каждой ветви в виде суммы напряжений элементов этой ветви и принимая во внимание, „о положительное направление напряжения источника э. д. с. про,ивоположно направлению э. д. с., систему уравнений (1.40) можно преобРазовать к следУющемУ видУ: ч~з~и; = ~ ер е 4 Здесь и, — напряжения каждого из элементов рассматриваемого контура, за исключением напряжений источников э.

д. с.; в1 — э. д. с. источников напряжения, действующих в контуре. Используя (1.42), можно несколько видоизменить формулировку второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на элементах любого контура моделирующей цепи в каждый момент врелеени равна алгебраической сумме мгновенных значений з. д. с. источников напряжения, действующих в этом контуре.

Напряжения на элементах контура и э. д. с, источников напряжения входят в (1.42) со знаком плюс, если положительные направления напряжений на элементах и направления э. д. с. источников напряжения совпадают с направлением обхода контура. В противном случае соответствующие слагаемые в (1.42) берутся со знаком минус. ° ФФФФ Пример КЗ. Запишем уравнения баланса нанрюеений на влеиентах всех кантурвв цени (рис. 1.л4.

6): я,— ис — ияв=е; ияв+ их+ иг+ "аз = О ил~+ос+вяз=в Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии и отражает тот факт, что энергия, затраченная сторонними силами на перенос произвольного заряда внутри источников, входящих в контур, равна энергии, затрачиваемой источниками на перенос этого заряда через пассивные элементы контура.

Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии выполняется прн переносе заряда по любому замкнутому пути (не обязательно полностью проходящему через ветви цепи). Поэтому уравнения по второму закону Кнрхгофа можно составить для любой совокупности элементов, абра "ющих путь для электрического тока от произвольно выбранного узла (а) электрической цепи к узлу (б) с учетом напряженна между конечными точками этого пути и„в. Например, для ветвей 3 и 2 (рнс.

1.24, а), образующих путь для электрического тока между узлами (2) и (0) электрической цепи, уравнение по второму закону Кирхгофа с учетом напряжения и„между этими узлами запишет. ся в виде и„, + ип + ияв + ис, + и„= О. 39 Лля контуров, в которых есть источники тока, уравнения баланса напряжений составляют по общему правилу, причем напряжение на источнике тока учитывается в левой части уравнения (1.42). Так, для контура, образованного ветвями с сопротивлениями 1с,, ь(„1(4, емкостью С,, источником напряжения е и источником тока 1 (рис.

1.24, а), уравнение баланса напряжений и„, + и„ь + и„, 1- исэ (- ит — е. Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, а определяются только ее топологнческими особенностями, то уравнения баланса токов и напряжении можно применять для математического описания процессов в моделирующих цепях, составленных из двухполюсных элементов любого типа (как линейных, так и нелинейных) при любой форме токов и напряжений независимых источников. Очевидно, что количество уравнений баланса токов и напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи.

Можно убедиться, что не все из составленных уравнений будут линейно независимыми. Например, любое из четырех уравнений (1.38) может быть получено как линейная комбинация из трех других уравнений: так, уравнение для узла (О) можно получить суммируя уравнения, составленные для узлов (1), (2), (3), и умножая правую и левую части полученного уравнения на — 1. Аналогично уравнения (1.41) не являются линейно независимыми. В то же время на основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно составить несколько различных систем линейно независимых топологическнх уравнений. Например, любые три уравнения нз (1.38) и любые два уравнения из (1.41) образуют систему линейно независимых у равнений.

Будем называть системой независимых узлов и системой независимых контуров любые совокупности узлов н контуров цепи, для которых можно составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа. Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем соответствующих узлов и контуров являются основными задачами топологии цепей. Типологические графы электрических цепей В общем случае г р а ф есть совокупность отрезков произвольной длины н формы, называемых в е т в я м и (р е б р а м и ), и точек их соединения, называемых у з л а м и ( в е р ш и н а м и ).